概率统计练习册习题解答

苏州科技学院 《概率论与数理统计》
活页练习册习题解答
信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组
2013年12月
习题1-1 样本空间与随机事件
1．选择题
（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB
AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C
（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）
A {}123T T T t ++>
B {}123TT T t >
C {}{}123min ,,T T T t >
D {}{}
123max ,,T T T t >
2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解：{
} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。

3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：
（1）只有一个是次品；
（2习题1-2 随机事件的概率及计算
1．填空题
（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则
)(A P )(AB P
=)(
B A P 0 ，)(B A P
（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB
()P A B 0.6
2．选择题
（1）如果()0P AB =，则（ C ）
(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容
(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）
（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5
只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。

4．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解：（1）设A =“他们的生日都不相同”，则365
()365
r r
P P A =； （2）设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则
212223214121141241212
4
41()1296C C P C C C P C P B +++==； 或 4124
41
()1()11296
P P B P B =-=-=. 习题1-3 条件概率
1．选择题：
（1）设A ，B 为两个相互对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则( C )。

（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = （C ）0)(=B A P （D ）)()()(B P A P AB P =
（2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的
成品率为（ Ｃ ）
（A ） 1p q -- （B ）1pq - （C ）1p q pq --+ （D ）(1)(1)p q -+- 2．填空题:
(1) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则=)(B P
B A 、
相互独立，则
)(B P (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率___2
3
p =
__。

3．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ，每种报警系统都使用时，对系统A 其有效的概率是0.92，对系统B 其有效的概率为0.93，在A 失效的条件下，B 有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：设=A “报警系统A 有效”，=B “报警系统B
有效” （2）因为：862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P
4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率α；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.
解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =， （1）
001122()()(|)()(|)()(|)
P A P B P A B P B P A B P B
P A B α==++
5．据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐
血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%．如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？ 解 设A =“50岁男性患有结肠癌”，B =“大便隐血检查呈隐血” 由题意，003.0)(=A P ，997.0)(=A P ，50.0)(=A B P ，03.0)(=A B P 由贝叶斯公式（1.3.5），
习题2-1 随机变量及其分布函数
1．判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ） 解：
1()
F x 是；
2()
F x 不是，因为
2()01
F +∞=≠.
.
习题2-2 离散型随机变量
1．填空题
(1) 设随机变量X 的分布律为:{},N
a
k X P =
= N k ， ,2,1=，试确定___1______a =。

(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X 表示任意取出的产品中的次品数，则X
(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以X
表示射击的次数，则X 的分布律为
2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .
3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问
(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X ，则()3.0~P X 。

4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；
（2）至少有3
张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

解：设中奖的彩票数为X ，则(2000,0.001)X
B .
（1）
2000
(1)1(0)1(0.999)0.8648P X P X ≥=-==-≈. （2）由于20000.0012⨯=，故
习题2-3连续型随机变量
1. 设连续型随机变量X 的密度函数为
试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函数；（3）13(
)22
P X <<。

（2）当0x <时，()0F x =；
当2x >时，()1F x =. 故，
2. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩
⎨⎧<≥-=-000
)1()(x x e A x F x ，，,
试求：（1）系数A ；（2）X 的密度函数；（3）(13)P X <<。

解：（1）由1)(=+∞F 知，
A
e A x F x x x =-==-+∞
→+∞
→)1(lim )(lim 1。

（2）
⎩⎨
⎧≤>='=-.0,0;
0,)()(x x e x F x f x （3）()()
3
11311)1()3()31(-----=---=-=<<e e e e F F X P 。

3. 设K 在(0，5)内服从均匀分布, 求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率。

解：所求的概率为：
4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度
21000
1000
()0x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩，，其他
，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概
率是多少？
从而所求概率为
5. 设连续型随机变量~34X N （，），（1）求{}{}
2,52>≤<X P X P ；（2）确定常数C 使
{}{}C X P C X P >=≤。

习题2-4 二维随机变量及其分布
1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。

现从中随机抽取一件，记 试求),(21X X 的联合分布列。

解：
3．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：
2,
01,02(,)0
x cxy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨
⎩其他
，
求：（1）常数c ；（2）{1}P X Y +≤；（3）X 和Y 的边缘密度函数。

当
10><x x 或时，()0=x f X ；
求Y 的边缘密度函数：
()()⎰
+∞
∞
-=
dx
y x f y f Y ,。

当
20><y y 或时，()0=y f Y ；
()121,10;P X X ===
4. 设),(Y X 服从}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，求：
（1）),(Y X 的联合概率密度函数；（2）}{2
X Y P <；（3）X 和Y 的边缘密度函数。

解：（1）由（X ，Y ）服从G
上的均匀分布知，（X ，Y ）的联合密度为：
（3）先求X 的边缘密度：
()()⎰
+∞
∞
-=
dy
y x f x f X ,。

再求Y 的边缘密度函数：
()()⎰+∞
∞
-=dx
y x f
y f Y
,
习题2-5 条件分布及随机变量的独立性
1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为
12
5
,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。

所以，X 与Y 不独立。

2.
3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 试判定X 与Y 是否相互独立。

解：
()(,)X f x f x y dy
+∞
-∞
=⎰
.
当0x ≤或1x ≥时，
()0
X f x =；当01x <<时，
20
()12x
X f x dy x
==⎰.
()(,)Y f y f x y dx
+∞
-∞
=⎰
.
由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，
(,)()()
X Y f x y f x f y ≠⋅，
且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立. 4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为
201,01
(,)0x y cxy f
x y <<<<⎧=⎨
⎩
其他， 求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。

求X 的边缘密度：()()⎰
+∞
∞
-=
dy
y x f x f X ,。

当
10≥≤x x 或时，()0=x f X ；
当10<<x 时，
()⎰
==
1
226x
dy xy x f X 。

求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞
∞
-=dx
y x f
y f Y ,。

当
10≥≤y y 或时，()0=y f Y ；
当
10<<y 时，
()⎰
==
1
2
236y dx xy y f Y 。

由于对任x ，y ，有
()()()y f x f y x f Y X =,。

所以，X 与Y 相互独立。

5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）内服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
,
00,
2
1)(2/y y e y f y Y ．
（1）求X 与Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为 022
=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率。

解：由X ~U (0，1)知X 的密度为：
()X f x =
1,01;0,
x <<⎧⎨⎩其他.
由X Y 与独立知，(X ,Y )的一个联合密度为： 方程有实跟的概率为：
习题2-6 随机变量函数的分布
1． 试求：(1)12-=X Y ，(2)2
X Z =的分布列。

解：
2．设随机
变量
(0,1)X
U ，试求X Y e =的密度函数。

解：由(0,1)X
U 知其密度函数为1,01,()0,.x f x <<⎧⎪=⎨
⎪⎩其他设X Y e =，函数()x y g x e ==. 则
min{(),()}0g g α=-∞+∞=，max{(),()}g g β=-∞+∞
=+∞.所以，当(0,)y ∈+∞时，3．设连续型随机变量X 的密度函数为 1
,10,
21
(),
02,40,x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
其他.
试求2Y X =的密度函数()Y f y 。

解：先求Y 的分布函数()Y F y ，在对其求导数. 2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.
4. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨
⎧≤≤-=其它
,
010),1(2)(x x x f ， 求函数32+=X Y 的密度函数
()Y f y 。

习题3-1 数学期望
1．填空题
（1）设二维随机变量
(,)(10,2,1,1,0)X Y N ，则(25)E XY Y -++=（2
）设随机变量(2)X
P ，(0,6)Y
U ，若233Z X Y =--，则()E Z 2．设X 的分布列为： )(X E ；（
2）)1(+-X E ；（3）)(2X E 。

求（
1
）解
：
3．设连续型随机变量X 的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<<=其他,021,210,
)(x x x x x f ，
求（1）EX ，（2）||EX X E -。

解：
12
1
()()(2)1
E X x f x dx x xdx x x dx +∞
-∞
==+-
=⎰
⎰⎰，
4．设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布列为
求：（1）)(X E ,)(Y E ；（2）)2(Y X E -,)3(XY E 。

(2) (2)10.4(2)0.2(1)0.10.1E X Y -=⨯+-⨯+-⨯=-， (3)3()31
0.10.3E XY E XY ==⨯⨯=。

5．设),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）)(X E ; （2）)23(Y X E +- ;（3）)(XY E 。

解：由题意知(,)X Y 的联合密度为：
（2）(32)3()2()12()E X Y E X E Y E Y -+=-+=+
2)xy dy dx
=112习题3-2 方差
（3）填空题
（1）设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1~(0,6)X U ，2~(0,4)X N ，3X 服从参数为3的泊松分布，记12323Y X X X =-+，则()D Y
（2）已知)2,2(~-U X ，2
21Y X =+
，则()E Y =，()D Y =__25645_______。

（3）设二维随机变量(,)(1,2,1,1,0)X Y N ，则(25)D X Y -++=___5_____，Y X Z +-=2分布为
____(5,5)N ______。

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,21arctan 21,0)(x x x x x F π
，
求（1）X 的密度函数；（2）(),()E X D X 。

3．设随机变量()X
P λ且[(1)(2)]1E X X --=，随机变量1
(8,)2
Y
B 且X 与Y 相互独立，试求
(34)E X Y --及(34)D X Y --。

解：由()X
P λ知()E X λ=，()D X λ=. 所以，222()()(())E X D X E X λλ=+=+. 又
221[(1)(2)]()3()222E X X E X E X λλ=--=-+=-+，故1λ=. 所以，()1E X =，()1D X =. 由于
1(8,)
2B ，故(34)()3()415E X Y E X E Y --=--=-.
由于X 与Y 相互独立，故(34)()9()19D X Y D X D Y --=+=。

4．设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,
01
0,12),(2x y y y x f ,试求)(X D 及)(Y D 。

212)x y dy dx 1220
(12)x
x y dy dx ⎰
212)y y dy dx 220
12)x
y y dy dx ⎰25。

习题3-3 协方差与相关系数
习题3-4 其他特征数
1．填空题 （1）设随机变量(2)X
P ，(0,6)Y
U 且
XY ρ=
233Z X Y =--，则()D Z =___23____。

（2）设),(Y X 服从二维正态分布，则0=),(cov Y X 是X 与Y （3）设),(Y X 服从二元正态分布(0,1,1,4,0.5)N ，则2
(23)E X XY -+=___4_____。

2. 选择题
（1）设X 与Y 的相关系数0XY ρ= (A)X 与Y 相互独立； (B)X 与Y 不一定相关； (C)X 与Y 必不相关； (D)X 与Y 必相关
（2）设随机变量X 与Y 的期望和方差存在，且,)(DY DX Y X D +=-，则下列说法哪个是不正确的。

(A)()D X Y DX DY +=+； (B)EY EX XY E ⋅=)(； (C)X 与Y 不相关； (D)X 与Y 独立
3. 已知二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布为 8
/18/18/11
8/108/108/18/18/11
1
01--X
Y
， （1）求协方差),(cov Y X 及相关系数XY ρ；（2）X 与Y 是否相互独立？是否不相关？ 解：X 及Y 的边缘分布列为：
不相关。

4．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
试求：（1）相关系数XY ρ；（2）X 与Y 是否相互独立？是否不相关？
（2）由于
0XY ρ≠，所以，X 与Y 相关. 从而，X 与Y 不相互独立.
习题4 大数定律与中心极限定理
1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：
（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。

解 （1）设X 表示1000个产品中废品的个数，则)03.0,1000(~B X ， 所以 1.29)1()( ,3003.01000)(=-==⨯==p np X D np X E 所求概率 )10|30(|)103010()4020(<-=<-<-=<<X P X P X P 在切比雪夫不等式 中取10=ε，就有
所以 50)1()( ,1005.0200)(=-==⨯==p np X D np X E 所求概率 )20|100(|)12080(<-=<<X P X P 在切比雪夫不等式 中取20=ε，就有
2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在5200~9400之间的概率。

解 以X 表示每毫升含白细胞数，由题设 而概率
在切比雪夫不等式
8889.09/8)2100|7300(|=≥<-X P 。

3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。

问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

解 设X 表示同时开动机床的台数，则)7.0 ,200(~B X
又设同时开动台数不超过N 的概率为95%。

由中心极限定理
得67.150=N ，取151=N ，应供电能226515151=⨯个单位才能满足要求。

4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。

在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。

求
(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率； (2)保险公司亏本的概率。

解 设X 表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则)006.0,10000(~B X ，由题意，保险公司的收益为1200001210000=⨯元，支出为1000X 。

由中心极限定理
（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为 （2）保险公司亏本的概率为 可见保险公司一般不会亏本。

5. 设随机变量4821,,,X X X 相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布。

令∑==48
1
481i i X X ，试用中心极限定理计算)04.02
1
(<-
X P 的值。

解 因为,
48,2,1),1,0(~ =i U X i 所以
从而 于是
6630.018315.021)96.0(2=-⨯=-Φ≈。

习题5—1 数理统计的基本概念 习题5—2 统计量和抽样分布
1.填空题
（1）．设随机变量X 与Y 相互独立且X ～2
(,)N μσ，Y ～2
()n χ，则Z =
～()t n 。

（2）设总体X 服从正态分布)1,0(　N ，而1521,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量
~)
(22
152112
10
21X X X X Y ++++= (10,5)F 分布。

（3）设)(~),(~22
12n V n U χχ，且U ，V 相互独立，则~//1
2
n U n V F =21(,)F n n 。

2.选择题
（1）=)9,7(95.0F （ D ）。

（A ）)7,9(95.0F （B ）
)9,7(105.0F （C ） )
9,7(195.0F （D ）)7,9(1
05.0F
（2）设总体X ～),N(2
σμ，其中μ已知，2
σ未知，1
23
,,X
X X 是从中抽取的简单随机样本，下列各项中不
是统计量的是（ A ）。

（A ）
222
1
23
21
()X X X σ++ （B ）13X μ+ （C ）123max(,,)X X X （D ）1231()3X X X ++ （3）设随机变量21
),1)((~X
Y n n t X =>，则（ C ）。

(A) )(~2
n Y χ (B) )1(~2
-n Y χ (C) )1,(~n F Y (D) ),1(~n F Y 3．设某种电灯泡的寿命X 服从指数分布()E λ，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本
12100,,,X X X 的联合概率密度函数。

解：
100
1
100
100
121001(,,
,)()i
i x i i f x x x f x e
λ
λ=-=∑
=∏=
其中
0,1,2,
,100
i x i >
=
4.抽取10只辽宁绒山羊产绒量（单位：g ）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。

5.设125,,
,X X X 是独立且服从相同分布(0,1)N 的随机变量，
(1)试给出常数c ，使得2212()c X X ⋅+服从2
χ分布，并指出它的自由度；
(2)试给出常数d
，使得d t 分布，并指出它的自由度.
解：（1）因为
22
212(2)
X X χ+，所以1c =，自由度为2。

(3)
t 6.附加题
设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=（2005年数学三）
求：（I ） i Y 的方差(),1,2,
,i D Y i n =；
（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov
习题5—3 正态总体统计量的抽样分布
1.填空题
（1）设71,,X X 为总体)5.0,0(~2
N X 的一个样本，则=>∑=)4(
7
1
2i i
X
P 0.025
（2）设总体),(~2
σμN X ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则=)(X D 2
n
σ．
2.选择题
（1）假设总体X ～2(1,
2)N ，10021,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，X 为其样本均值，且X ～
2(,)N μσ，则下列成立的是（ D ）。

（A ）μ=1，σ=0.04 （B ）μ=100，σ=0.2 （C ）μ=0.01，σ=0.04 （D ）μ=1，σ=0.2 （2）设10021,,,X X X 为来自总体)4,(~2
μN X 的一个样本，而12100,,
,Y Y Y 为来自总体)3,(~2μN Y 的一
个样本，且两个样本独立，以Y X ,分别表示这两个样本的样本均值，则Y X -所服从的分布是（ B ）。

（A ）70,
100N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）10,4N ⎛⎫
⎪⎝⎭
（C ）(0,7)N （D ）(0,25)N
3．从正态总体2
(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？
4. 从正态总体2
(,0.5)N μ中抽取容量为10的样本1210,,,X X X ，
（1）已知0μ=，求
10
21
4i i X =≥∑的概率；（2）未知μ，求()10
2
1
2.85i i X X =-<∑的概率.
2(0,0.5N 2(10)
χ，116)0.5i = ⎝∑查附表4得上述概率为0.1。

2(,0.5N μ2(9)
χ，
(22.85P P χ==< ⎪ ⎭查附表4得
()211.40.25
P χ≥=，故上述概率为0.75.
5.设总体)6,50(~2
N X ，总体)4,46(~2
N X ，从总体X 中抽取容量为10的样本，其样本方差计 为2
1S ；从总体Y 中抽取容量为8的样本，其样本方差记为2
2S ，求下列概率：
（1）)80(<-<Y X P ； （2）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<28.82221S S P
(0,1)
N
查附表6得
0.05(9,7) 3.68
F =，即
()()0.05(9,7) 3.680.05
P F F P F ≥=≥=
6．附加题
设总体)0)(,(~2
>σσμN X ，从该总体中抽取简单随机样本)2(,,,221≥n X X X n ，其样本的均
值∑==n
i i X n X 21,21求统计量∑=+-+=n
i i n i X X X Y 1
2)2(的数学期望()E Y 。

(2001年数学一)
习题6-1 点估计
1. 选择题
（1）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单随机样本，则2
()E X 的矩估计是（ D ）
（A ）221
11()1n i i S X X n ==--∑（B ）2221
1()n i i S X X n ==-∑（C ）221S X +（D ）22
2
S X + （2）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个简单随机样本，2
(),()E X D X μσ==，12
21
1
()n i i i C X
X θ-+==-∑为 2
σ的无偏估计，C ＝（ C ）
（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - （3）设总体X 服从正态分布()2
1
2
,,,,
,n N
X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（ A ）
（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X （4）设总体X 服从正态分布),(2
σμN ，12,X X 是从此总体中抽取的一个样本．下面几个都是μ的无偏估计，最有效的估计量是 ．
（A ）11221ˆ33X X μ
=+ （B ）21213ˆ44X X μ
=+ （C ）31211
ˆ22
X X μ=+ （D ）1X 2. 设总体X
其中)10(<<θθ为未知参数，已知取得了样本值123121x x x ===，，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

求导
45()10120L θθθ'=-= 3. 设总体X 的概率密度为
n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，求θ的矩估计和最大似然估计。

b) 构造似然函数
1
1
1
1
21)();,,,(-==-∏∏==θθθθθn
i i n
n
i i
n x x x x x L
n
i x i ,,2,1,10 =
<<.
两边取对数得
∏=-+=n
i i x n L 1
)
ln()1(ln ln θθ
4．证明题：设总体X 服从泊松分布，即λλ-=
=e k k X P k
!
)( ),2,1,0(⋅⋅⋅=k ， n 21X X X ⋅⋅⋅、、为样本，证
明∑=-n i i X X n 1
21是2
λ的无偏估计。

证明： λλ-=
=e k k X P k
!
)(， 所以λλ==)(,)(X D X E 有λλ==)(,)(i i X D X E
习题 6-2 区间估计
1. 设有一组来自正态总体2
(,)N μσ的样本观测值：
0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， ⑴ 已知0.01σ=，求μ的置信区间（设置信度为0.95）； ⑵ 2
σ未知，求μ的置信区间（设置信度为0.95）．
（1）0.01σ=
μ 的置信区间为
（2）2
σ未知
μ 的置信区间为
=[0.05006，0.5172].
2. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：kg ）：
42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
试求抗弯强度标准差σ的置信度为0.90的置信区间。

对于
22
0.050.95
10.900.1
(10)18.307(10) 3.94
ααχχ-====
3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别在两条流水线上抽取样本：1212,,,X X X ⋅⋅⋅ 及1217,,,Y Y Y ⋅⋅⋅，
算出22
1210.6(),9.5(), 2.4, 4.7X g Y g S S ====，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为12,,μμ（1）设两总体方差22
12σσ=，求12μμ-置信水平为95％的置信区
间；（2）求21σ/2
2σ的置信水平为95％的置信区间。

解： 总体),(~211σμN X ，
),(~2
22σμN Y （1）2
221σσ=未知，21μμ-的置信度为0.95 的置信区间为
对于
0.02510.950.05
(27) 2.0518
t αα-===查表
故21μμ-的置信度为0.95 的置信区间为[-0.401，2.601].
(2) μ1，μ2 未知
所以2221/σσ的置信度为1-α的置信区间为
对于05
.095.0
1==-αα
又
22
122.4, 4.7
s s ==
习题 6-3 非正态总体均值的置信区间 习题 6-4 单侧置信限
1. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶
路程（Km ）如下：
41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800
设汽车轮胎行驶路程服从正态分布),(2
σμN ，求： （1） μ的置信度为95%的单侧置信下限； （2） 2
σ的置信度为95%的单侧置信上限。

（1）方差2σ未知，对于
0.0510.95
0.05
(9) 1.833
t αα-===查表
所以参数 μ 的置信度为0.95 的单侧置信下限为 （2） μ 未知，对于
2
0.9510.950.05
(9) 3.325
ααχ-===查表
所以参数
σ 的置信度为0.95 的单侧置信上限为
习题 7-1假设检验的基本概念
1. 填空题
（1）设显著性水平为α，当原假设0
H
正确时，由于样本的随机性，作出了“拒接接受假设”的决策，因而犯
错误，犯该错误的概率为α。

（2）假设检验的步骤为（1 （2量及其分布 ；（3）确定拒接域 ；（4）作拒接或接受原假设的判断 。

2. 选择题
（1）在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列结论
正确的是（ B ）。

(A) α减少β也减少 (B) α与β其中一个减少时另一个往往会增大 (C) α增大β也增大 (D) A 和C 同时成立
习题 7-2-1 正态总体参数的假设检验
1. 选择题
（1）总体2
~(,)X N μσ，对数学期望
μ进行假设检验，如果在显著水平0.05α=下接受了
000:(H μμμ=为已知常数），那么在显著水平0.01α=下（ A ）。

(A ) 必接受0H (B) 必拒接0H
(C) 可能接受也可能拒接0H (D) 不接受也不拒接0H
2 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布)108.0,550.4(2
N ，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果
4.550(α＝0.05)？
在H0成立条件下，U ～N(0，1)，查表知: P{｜U ｜＞1.96}＝0.05.
而｜U0｜＝1.833＜1.96，
故接受H0，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.
3. 过去某工厂向A 公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B 公司订购原料，
随机抽取向B 公司订的8次货，交货天数为：46 38 40 39 52 35 48 44, 问B 公司交货日期是否较A 公司为短(
α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H0 : μ≥49.1. 使用统计量
α＝0.05，自由度为
7，查t 分布临界值表
t0.1(7)＝1.895，故H0在检验水平α＝0.05的拒接域为
因此
S ＝5.7257.
所以应拒接H0，即可以认为B 公司交货日期显著比A 公司要短.
4. 用一台自动包装机包装葡萄糖，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机标准差有无变化？(α＝0.05) 解 待检验的假设是H0 : σ2
＝152 选取统计量
当H0成立时，22(1)n χχ-。

α＝0.05，查χ2分布临界值表得临界值
由于
2
2.1817.535χ<<, 故接受H0，即不能认为标准有显著变化.
5．某市质监局接到顾客投诉，对某金商进行质量调查，现从其出售的标志18K 的项链中抽取9件进行检测，检测标准为：标准值18K 且标准差不得超过0.3K 。

检测结果如下：17.3 16.6 17.9 18.2 17.4 16.3 18.5 17.2 18.1，假定项链的含金量服从正态分布，试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？（显著性水平
01.0=α）
解： 计算9个数据的均值和标准差：5.17=x ，7416.0=s ，
检验均值：00:
μμ=H ，01:μμ≠H ， 0226.2-，查表355.3)8(005.0=t ，保留原假设，可以认为商家产品的平均含金量为18k。

检验标准差：00:σσ≤H ，01:σσ>H 差过大。

综上分析，尽管由于均值仍可认为是18k ，但由于标准差过大，导致产品质量不稳定，故而不合格产品增多。

商家应减少产品质量的波动。

习题 7-2-2 两个正态总体参数的假设检验
1. 设用甲、乙两种方法生产同一种药品，其成品得率的方差分别为22
120.46,0.37σσ==.现测得甲方法生产的
药品得率的25个数据，得 3.81x =；乙方法生产的药品得率的30个数据，得 3.56(/)y g L =单位：.设药品得率服从正态分布.问甲、乙两种方法的药品平均得率是否有显著差异？(0.05)α= 解 由题意，需要检验的假设为
2
11210:,:μμμμ≠=H H
2. 为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，如服药后延长的睡眠时间分别近似服
从正态分布，其数据如表所示
问在显著水平05.0=α下，两种安眠药的疗效有无显著差异？
解 此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间X ～N(μ1，σ21
)，乙组服药后延长的睡眠时间Y ～N(μ2，σ2
2).
待检验的假设是：(1)H0 : σ21
＝σ22
，(2)H0 : μ1＝μ2. (1)H0 : σ2
1
＝σ22
选取统计量
22S ＝3.20，2
w
S ＝3.605，W S ＝1.899.
(2)H0 : μ1＝μ2 选取统计量
在H0成立时，T ～t(n1+n2-2).
查α＝0.05，自由度为18的t 分布临界值，得 t0.05(18)＝
2.101.
由于｜T0｜＝1.86＜2.101，故接受H0，即不能认为两种安眠药有显著差异.
3. 一家冶金公司需要减少排放到废水中的生物氧需求量（BOD ），用于废水处理的活化泥供应商建议，可用纯氧取代空气吹入活化泥以改善BOD （值越小越好）．现从两种处理的废水中分别抽取了容量为10和容量为9 的样本，
已知BOD 含量服从正态分布，问：
（1）该公司是否应该采用氧气法来减少BOD 含量(05.0=α)？ （2）如可以采用氧气法，求减少的BOD 含量的95%的置信区间． （建议使用Excel 数据分析工具库，或其他统计软件计算）
（1）2
221122210:;:σσσσ≠=H H
计算得：20.0251.8446(9,8) 3.38813F F =≤=，所以接受0H ，认为2
221σσ=.
又：211210:;:μμμμ>=H H
)2(~1
1212
1-++
-=n n t n n S Y
X T w ，其中2)1()1(212
22211-+-+-=
n n S n S n S w 计算：0.052.03843(17) 1.7396t t =>=，拒绝0H ，接受1H ，即认为氧气法比空气法显著减少了BOD 含量．该公司可以采用氧气法降低BOD 含量。

（2）在2
22
1,σσ未知且相等的假设下，两个正态总体均值差21μμ-的置信度为1-α 的置信区间
为
计算得：减少BOD 含量的置信区间为：[-33.804，0.582]。