高中数学恒成立与存在性问题

高中恒成立问题总结

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。

XXX 核心思想:

1.恒成立问题的转化:

恒成立;

2.能成立问题的转化:

能成立;

3.恰成立问题的转化:

若在D 上恰成立在D 上的最小值;

若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则

;

设函数,，对任意的，存在，使得，则

;

设函数,，存在，存在，使得，则

;

设函数,，存在，存在，使得，则;

5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方;

若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方.

6.常见二次函数

①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.

()a f x >⇒()max a f x >()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立()a f x >⇒()min a f x >()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立A x f D x ≥∈)(,⇒)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(⇒)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >⎧⎨∆<⎩00

a <⎧⎨∆<⎩2

()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<

例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取

值范围．

二﹑二次不等式恒成立问题 例2．已知关于

的不等式对一切实数恒成立，求

实数的取值范围．

例3．已知函数，若对于任一实数，与

的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )

A ．(0，2)

B ．(0，8)

C ．(2，8)

D ．(－∞，0)

例4．已知函数，在恒有，求实数的取值范围。

40≤≤p 342-+>+p x px x x x 03)1(4)54(22>+---+x m x m m x m ()()()2

2241,f x mx m x g x mx =--+=x ()f x ()g x m ()2

22f x x kx =-+1x ≥-()f x k ≥k

形如“”或“”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则();在上恒成立，则()”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型． 例5.当时，不等式恒成立，则的取值范围是.

例6．已知二次函数，若时，恒有，求

的取值范围．

例7．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．

()a f x ≥()a f x ≤)(x f a ≥D x ∈max )]([x f a ≥D x ∈)(x f a ≤D x ∈min )]([x f a ≤D x ∈(1,2)x ∈2

40x

mx ++

)([]1,0∈x 1)(≤x f a

例8．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫－23

5，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－23

5，1 C ．(1，＋∞) D.⎝

⎛⎦⎤－∞，－235

四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理） 例9.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是 (A) (B) (C)（D ）

三﹑绝对值不等式恒成立问题 例10．对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

()()f x g x ≥x R ∈||x ax ≥a 1a <-||1a ≤||1a <1a ≥x a x x <--+21a

例11.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是 (A) (B) (C)（D ）

四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题

例12．当时，不等式恒成立，求的取值范围．

五.形如“”型不等式 例8．已知函数，，若当时，恒成立，求实数的取值范围．

x R ∈||x ax ≥a 1a <-||1a ≤||1a <1a ≥)2

1,0(∈x x x a log 2

1

)(+=

x x f )2lg()(t x x g +=[]1,0∈x )()(x g x f ≤t