(北师大版)厦门市高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）
A ．2450
B ．2451
C ．2452
D ．2453 2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
3．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .
由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271
B ．272
C ．273
D ．274
4．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =+++
+-=时，假设
*(n k k N =∈）
时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )
A ．(1)()23f k f k k +=+-
B ．(1)()21f k f k k +=+-
C ．(1)()21f k f k k +=++
D ．(1)()23f k f k k +=++
5．给出下面四个推理：
①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则
1212z z z z +≤+”；
②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；
③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；
④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212
(
,)22
x x y y ++”类比推出
“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212
(,
)2
2
ρρθθ++”．
其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，
n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂
直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（ ） A ．3m =，2n =
B ．2m =-，1n =-
C ．2m =，1n =
D ．2m n ==-
7．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ） A ．4
B ．2
C ．3
D ．1
8．我们把顶角为
的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作
D ；④以
为圆心，以长为半径作
A 交D 于
，则
为黄金三角形．根据上述作法，可以求出
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()2
22a b a b x y x y ++≥
+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +
- (0<x <1
3
)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25
D ．2
10．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）
A ．201620172⨯
B ．201501822⨯
C ．201520172⨯
D ．201601822⨯
11．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）
A ．类比推理
B ．三段论推理
C ．归纳推理
D ．传递性推理 12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ） A ．平面内的三条直线
，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线
，若
，则
.类比推出：空间中的三条向量
，若
，则
C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为
D ．若
，则复数
.类比推理：“若
，则
”
二、填空题
13．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212
n n n n N +
++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．
14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
222
233=333388=44441515=55
552424=则按照以上规律，若100100
100
100
n n
=，具有“穿墙术”，则n =_____． 15．观察下列各式：11=，141123+
=+，113
1121232
++=+++，1118
11212312345+++=++++++，由此可猜想，若111
1+
12123
123+10
m +
++=++++++
，则m =__________.
16．观察下面数表： 1， 3，5，
7，9，11，13，
15，17，19，21，23，25，27，29，
………..
设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.
17．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2
x 21
9
+],得到下列结论：
结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1. 结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1. 结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3. ……
照此规律，结论6为_____
18．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对
实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数
,,x y z 满足向量关系式__________．
19．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则()
1
2
AD AB AC =+，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为__________．
20．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．
三、解答题
21．若10a >，11a ≠，121+=+n
n n
a a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令11
2
a =
，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．
22．如图，已知点O 是ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO ，并延长交对边于
1A 、1B 、1C ，则
111
111
1OA OB OC AA BB CC ++=，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”.运用类比猜想点O 是空间四面体A BCD -内的任意一点，连接AO 、BO 、CO 、
DO ，并延长分别交面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 于点1A 、1B 、1C 、1D ，试写出结
论，并加以证明.
23．已知函数()2
2
31x f x x -=+．
（1）计算()()13,4,3f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明； （3）求值：()()()111122015232015f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++
+++
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
24．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n a S n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；
（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 25．观察下列不等式：
413<； 218125+<； 2211121237++<； 2221111612349
+
++<； ……
（1）由上述不等式，归纳出与正整数n 有关的一个一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到的结论.
26．是否存在常数c,使得不等式2222x y x y
c x y x y x y x y
+≤≤+++++对任意正数x, y 恒
成立？试证明你的结论.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】
设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：
()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,
化简可得()()()
1222112
n n n a n n -+--==-，
故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，
即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】
本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
2．C
解析：C 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=,
故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
3．A
解析：A 【分析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】
由图可知，()11f =，
()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，
…
()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=
故选A. 【点睛】
此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-
4．C
解析：C 【解析】
分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果. 详解：因为()()13521f n n =+++
+-，所以()()13521f k k =++++-
()()()11352121f k k k +=+++
+-++，所以()()121f k f k k +-=+,
选C.
点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.
5．C
解析：C 【详解】
分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．
详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则
1212z z z z +≤+”是正确的；
对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；
对于③中，由球的体积公式为34
3
V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；
对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,
)2C D π
，此时CD 的中点坐标为(,)24
π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212
(,
)2
2
ρρθθ++”，所以不正
确，
综上，正确命题的个数为三个，故选C ．
点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．
6．D
解析：D 【解析】
分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得到结论.
详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确， 可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-， 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则乙、丙判断不正确符合题意； 若判断正确，甲、丙判断不正确，
可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则甲、丙判断不正确，符合题意； 若丙判断正确，甲、乙判断不正确， 可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，
则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.
2m n ==-，则甲乙丙判断均错.
故选D.
点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.
7．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.
详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的， 只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.
点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.
8．B
解析：B 【分析】
不妨假设2AD =，则1DG =，故cos36︒= 故选B.
9．C
解析：C 【解析】
由题意可得f (x )＝3413x x +-＝2232313x x +
-≥()2
32313x
x ++-＝25， 当且仅当33x ＝213x -，即x ＝15
时取等号，故最小值为25. 故选：C
10．B
解析：B 【详解】
由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …
第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.
11．A
解析：A
【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理. 本题选择A 选项.
点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
12．D
解析：D 【分析】
对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案 【详解】
对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误 对于，若
，则若
，则
不正确，故错误
对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误 对于，在有理数中，由
可得，
，解得
，故正确 综上所述，故选 【点睛】
本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】分析题意根据数学归纳法的证明方法得到时不等式左边的表示式是解答该题的突破口当时左边由此将其对时的式子进行对比得到结果【详解】当时左边当时左边观察可知增加的项数是故答案是【点睛】该题考查的是有
解析：2k . 【分析】
分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221
k k k +=+
++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果.
【详解】
当n k =时，左边111
12321
k =+
+++-…， 当1n k =+时，左边111111
12321221
k k k +=+
++⋯+++⋯+--， 观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=， 故答案是2k . 【点睛】
该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.
14．9999【解析】分析：观察所告诉的式子找到其中的规律问题得以解决详解：按照以上规律可得故答案为9999点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数
解析：9999 【解析】
分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.
详解：=，==，，
按照以上规律=210019999n =-=. 故答案为9999.
点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
15．【解析】分析：观察下列式子右边分母组成以为首项为公差的对称数列分子组成以为首项以为公差的等差数列即可得到答案详解：由题意可得所以点睛：本题主要考查了归纳推理的应用其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察
解析：
20
11
. 【解析】
分析：观察下列式子，右边分母组成以3为首项，1为公差的对称数列，分子组成以4为首项，以2为公差的等差数列，即可得到答案. 详解：由题意11=，141123+
=+，1131121232
++=+++，1118
11212312345
+
++=++++++， 可得111
21020
1+
12123123+10
10111
⨯+
++=
=++++++
+， 所以2011
m =
. 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力.
16．13【解析】根据上面数表的数的排列规律13579…都是连续奇数第一行1个
数第二行2=21个数且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数且第1个数是15=24
解析：13 【解析】
根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，
第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1 第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1 第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1 …
第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，
第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3， 所以m+n=13； 故填13．
17．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比
解析：当1213x <<时，()12
2392
max f x =⨯-= 【解析】
由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律， 可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 12
2392
f x =⨯
-=． 点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
18．且【解析】此类比仅是数量的变化即在空间中四点共面的充要条件是：对于平面内任一点有且只有一对实数满足向量关系式且
解析：OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】
此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且
1x y z ++=
19．在四面体A －BCD 中G 为△BCD 的重心则【解析】由类比四面体中点类比
重心有由类比可得在四面体中为的重心则有故答案为在四面体中为的重心则有点睛:本题考查了从平面类比到空间属于基本类比推理利用类比推理可
解析：在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则1
()3
AG AB AC AD =++ 【解析】
由“ABC ”类比“四面体A BCD -”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体
A BCD -中，G 为BCD 的重心，则有1
()3AG AB AC AD =++，故答案为在四面体A BCD -中，G 为BCD 的重心，则有1
()3
AG AB AC AD =++. 点睛: 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题；由条件根据类比推理，由“ABC ”类比“四面体A BCD -”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题.
20．【解析】试题分析：在△DEF 中由正弦定理得于是类比三角形中的正弦定理在四面体S ﹣ABC 中我们猜想成立故答案为考点：类比推理 解析：
312
123
sin sin sin S S S ααα== 【解析】
试题分析：在△DEF 中，由正弦定理，得sin sin sin d e f
D E F
==．于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S ﹣ABC 中，我们猜想312
123sin sin sin S S S ααα==成立．故答案为312
123
sin sin sin S S S ααα==． 考点：类比推理．
三、解答题
21．（1）证明见解析（2）23452481635917a a a a ====，，，，猜想：a n 1
1221
n n --=+，证
明见解析 【分析】
（1利用反证法假设1n n a a +=，代入121+=
+n
n n
a a a 进而得出此数列是0或1的常数列，与10a >，11a ≠矛盾，所以假设错误；
（2）由112a =在通过递推公式直接写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，猜想出1
1221
--=+n n n a ，再
用数学归纳法进行证明． 【详解】
（1）证明：假设1n n a a +=，又a n +121n
n
a a =+，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而1210-==
===n n a a a a 或1211-=====n n a a a a ，这与题设10a >或11a ≠
相矛盾，所以1n n a a +=不成立．故1+≠n n a a 成立． （2）由题意得12345124816235917
a a a a a =
====，，，，， 由此猜想：1
1221
--=+n n n a ．
①当n ＝1时，a 10021
212==+，猜想成立，
②假设n ＝k 时，1
1221
--+=k k k a 成立，
当n ＝k +1时，()()1
111
11
111
2222221212121121
-+--+-+--⨯+====+++++k k k k k k k k k k k a a a ， 所以当n ＝k +1时，猜想也成立，
由①②可知，对一切正整数，都有a n 1
1221
n n --=+成立．
【点睛】
本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．
22．结论：
1111
1111
1OA OB OC OD AA BB CC DD +++=，证明见解析. 【分析】
设点A 、O 到平面BCD 的距离分别为h 、1h ，证明出11O BCD
A BCD V OA AA V --=，同理得出11O ACD A BCD V O
B BB V --=，11O ABD A BCD V O
C CC V --=，11O ABC
A BCD
V OD DD V --=，将四个等式全加可得结论. 【详解】
设点A 、O 到平面BCD 的距离分别为h 、1h ，则
11
1
h OA h AA =， A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC V V V V V -----=+++，
111
1
1313
BCD O BCD A BCD BCD S h
V h OA V h AA S h --⋅===⋅△△， 同理可得11O ACD A BCD V OB BB V --=，11O ABD A BCD V OC CC V --=，11O ABC
A BCD
V OD DD V --=， 上述四个等式相加得
111111111O BCD O ACD O ABD O ABC
A BCD
V V V V OA OB OC OD AA BB CC DD V -----++++++==. 【点睛】
本题考查类比推理，同时也考查了锥体体积公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
23．（1）
()()313113
1473,4,,517
35417
f f f
f ⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）
()12f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，证明见解析；（3）4029.
【解析】
试题分析：（1）借助题设直接求解；（2）借助题设条件和已知简捷求解;（3）依据题设和结论规律巧妙求解. 试题
（1）解得()()313113147
3,4,,517
35417
f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）猜想()12f x f x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，证明如下： ()2231x f x x -=+，则2
22
2
13131111x x f x x x ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
()()222222
22221133131321111x x x x x f x f x x
x x x +----+⎛⎫
∴+=+=== ⎪++++⎝⎭ （3）
()12
f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
()()()11122,32,,20152232015f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
∴+=+
=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
且()1121f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即()11f =
()()()1111220151220144029232015f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴++
+++
++=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
考点：函数的求值的整体思维法及有关知识的运用．
24．（Ⅰ）123135a a a ===，，（Ⅱ）猜想21n a n ，=-证明见解析
【解析】
分析：（1）直接给n 取值求出1a ，2a ，3a .(2)猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
详解：（Ⅰ）令1n =，则10a =，又11S a =，解得11a =；
令2n =，则2211a a =⇒=，解得23a =；
令3n =，则3322a a =⇒=，解得35a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =-； 下面用数学归纳法证明21n a n =-. 由（Ⅰ）可知当1n =时，21n a n =-成立；
假设当()
*
n k k N =∈时，21k a k =-，
则2
1k k a k S k =-⇒=.
那么当1n k =+时，()2
111k k k a k S a k +++=⇒=-，
由()2
2
111k k k k a S S a k k +++=-=-- 2
112k k a ka ++=-，
所以()2
1121k k k a a +++=，又0n a >，所以121k a k +=+，
所以当1n k =+时，()121211k a k k +=+=+-. 综上，21n a n =-.
点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。

②证明假设当n=k 时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立.由①②得原命题成立. 25．（1）2
221111234
+++++
21421
n n n <+.（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）根据式子左右规律得222
111
1234+
++++
21421
n n n <+.（2）利用分析法证明1n k =+时结论成立：先利用归纳假设得()()()24141
21211
1k k k k k ++<++++为证明目标，再移项通分化简，直到43>. 试题
解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n 有关的一般不等式为
2
221111234
+
++++
21421
n n n <+.
（2）以下用数学归纳法证明2
221111234
+
++++
21421
n n n <+（*N n ∈）. ①当1n =时，由题设可知，不等式显然成立. ②假设当n k =（*N k ∈）时，不等式成立，即2
221111234
+
++++
21421
k k k <+， 那么，当1n k =+时，有222111
1234
++++
+ ()()
22211412111k k k k k +<++++. 下证()()()24141212111k k k k k ++<++++，即证()()2
41142321
1k k
k k k +<-+++. 即证
()
211232141k k k k k +<
-+++ ()()
1
2123k k =++， 即证()()()2
412123k k k +>++， 即证22484483k k k k ++>++， 即证43>.而43>显然成立. 因此2
221111234
+
++++
()()22
211412111k k k k k +<++++成立. 所以当1n k =+时，不等式也成立. 根据①和②，不等式2
22111
1234
+++++
21421
n n n <+对任意*N n ∈都成立. 26．存在，23
c = 【详解】
主要考查不等关系与基本不等式． 解：当x y =时，由不等式可得23
c =． 下面先证
22
3(2)3(2)2(2)(2)223223+≤⋅+≤⇔+++≤++++++x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y 222⇔+≥x y xy ，此不等式显然成立．
再证
22
3(2)3(2)2(2)(2)223223+≥⋅+≥⇔+++≥++++++x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y 222⇔+≥x y xy ，此不等式显然成立．
综上可知，存在常数2
3
c =，使2222+≤≤+++++x y x y c x y x y x y x y 对任意正数x, y 恒
成立．。