高数极限知识点

一、微积分基础知识
1. 函数，导数与微分
函数：自变量，因变量，定义域，值域等；函数的一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。

导数：设函数y=F(x )当自变量在点x 处有一增量△x 时，函数y 相应的有一改变量△y=F(x + △x )-F(x )，那么当△x 趋于零时，若比值△y/ △x 的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=F(x )在点x 处导数，记作：
x
x F x x F x y dx dy x F y x x ∆-∆+=∆∆==
'='→∆→∆)()(lim lim )(00这时称函数y=F(x )在点x 处是可导的。

y=F(x )
x x+△x
y=F(x +△x )△y
)
(x F y =函数y=F(x )在x 处的导数等于曲线y=F(x )在点x 处的切线的斜率，即：
导数的几何意义：
α
tan )('=x F 力学中质点的位置矢量对时间的一阶导数就是该质点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是质点的加速度矢量，即：
, ,2
2dt r d dt d a dt r d
===υυy=F(x)
注意：以下是易混淆的两个表示：'
y 和
y
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：
dt dy
y =∙
22dt
y d dy dy dt d dt y d y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
∙
∙
∙后者：永远是函数对自变量的导数。

如对于函数y=y(x) ，则
dx
dy y =
'要优先掌握的基本求导公式：
x
x 1
)'(ln =
)'(=C 1
)'(-=n n
nx
x x x cos )'(sin =x
x sin )'(cos -=x
x e e =)'(;举例：
1
)'(-=+n n Anx C Ax t
t 6)'103(2=+2
36)'52(x x =+;
;;;;
x
x x 12)6()52(23='=''+函数的和、差、积、商的求导法则：
(1) (u ±v )'=u '±v '，(2) (Cu )'=Cu '(C 是常数)，(3) (uv )'=u 'v +u v '，
(4) 2
)(v v u v u v u '-'=' (v ≠0)。

复合函数的求导法则：
求导法则：
dx
du du dy dx dy y =
=
'其中：
)(u f y =)
(u u ϕ=例1 已知)
2ln(5+=x y y '
求：
解：函数是由
，复合而成u y ln =25+=x u dx
du du dy dx dy y =
='2
5)5(215
4
45+=⋅+='x x x x y 所以，
3
x e
y =例2
求
dx
dy 函数是由
和
复合而成
3
x u =解：u
e y =dx
du du dy dx dy ⋅=2
3x e u ⋅=3
23x e
x =2
2)
31sin(x y +=例3
求
dx
dy 和复合而成2
31x v +=2
22)31cos()31(12x x x ++=x
v u 62cos ⋅⋅=u y sin =解：2
v u =函数是由
、dx dv dv du du dy dx dy ⋅⋅=dx
dv dv du dx du ⋅= 若函数y=f(x )的导数为：
函数y 的微分：
dx
x F dy )('=)(x F dx
dy
y '==
'微分：
当自变量
有一个微小的变化量
时，
函数y 对应的变化量x
dx
dy
二.不定积分
不定积分：对函数y=y(x )=F(x )，如果在给定区间[a,b]上有则其则其逆运算就是求f(x ) 的不定积分（即：求f(x )的原函数）：dx
dy
x f y x =
==')(')(F C
x F dx y dx
x f dx dx dy
dy +====⎰⎰⎰⎰)(')(上式中可以看出：f(x )（被积函数）的）的原函数为F(x)+C ，原函数不止一个。

其中，C 为积分常数。

原函数的导数为被积函数
)
())((x f C x F ='+不定积分的性质：
性质1
函数的和的不定积分等各个函数的不定积
分的和，即
性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数
因子可以提到积分号外面来，即
⎰[f (x )+g (x )]dx =⎰f (x )dx +⎰g (x )dx ．
⎰kf (x )dx =k ⎰f (x )dx (k 是常数，k ≠0)．
C e dx e x
x +=⎰
举例：C kx kdx +=⎰C x n dx x n n ++=
+⎰1
1
1特殊情况
C
x dx +=⎰被积函数是？
C x n k dx kx n n ++=
+⎰1
1
C ke dx ke x x +=⎰
C
x xdx +=⎰
22举例：
C x xdx +=⎰sin cos C
x xdx +-=⎰cos sin C
x dx x +=⎰ln 1
特点：不定积分的原函数一定有待定系数C 。

对原函数求导数，一定得到被积函数。

要优先掌握的基本积分表：
C
e
dx e x
x +=⎰C
kx kdx +=⎰C x n dx x n n
++=+⎰11
1C x dx x +=⎰ln 1
C
x xdx +=⎰sin cos C
x xdx +-=⎰cos sin 举例：
求导数
k C kx ='+)(n
n x C x n ='+++)1
1(
1
x
C x cos )(sin ='+⎰⎰
-=-dx
x x dx x x )5()5(2
1252
举例：
⎰⎰-=dx
x dx x 2
12
55C
x
x
++⋅
-+=
++)12
1()12
5(12
11512
51C x x +-=23
27
3
10
72⎰⎰-+-=-dx x
x x x dx x x 223231
33)1(⎰-+-=dx
x
x x )1
33(2⎰⎰⎰⎰-+-=dx
x dx x dx xdx 21
133C x
x x x +++-=
1ln 33212
举例：
)
()()()(a F b F x F dx x f b
a
b
a
-==⎰
定积分
复习：
C x F y +=)(若为的原函数
)(x f 则：)
())((x f dx
C x F d dx dy y =+=='dx
x f dy )(=不定积分
微分：⎰
+=C
x F dx x f )()()
(x f y =y x
O
)
(i f ξx
∆a b
x
f S i i ∆≈∆)(ξi
第
个子区间的面积：
定积分的含义：求阴影部分面积
⎰=b
a
ab dx
x f S )(dx
f dS i i )(ξ=0
→∆x dx
时为
-----微分式
定积分的主要性质：⎰⎰
-=a
b
b
a dx
x f dx x f )()(⎰⎰
=b
a
b
a
dx
x f k dx x kf )()(⎰⎰⎰
±=±b a
b a
b a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([123
5
)2()3(22
232
23
2
=-==⎰
x
xdx 举例：
计算方法上比较与不定积分的区别：不定积分的原函数是
C
x F +)(定积分有积分的上下限。

注意有时上限可以使变量，如
8
332
32
2
-==⎰
t t
dt t t t
⎰⎰
-=-1
2
1251
2)5()5(dx
x x dx x x 举例：
10
2
32
7|)310
72(C x x +-=)0310072()1310172(23
27
23
27
---=21
64-
=1．标量
定义：只有大小，没有方向的量。

表示：数字（可带正负号）。

加法：代数和。

三、矢量分析基础具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。

矢量表示：A
印刷体常用黑体字：A
2.矢量的定义：
矢量的大小称为矢量
的模，记有向线段的长
度，它是一正实数，记做
或斜体字
A
A
A
A
模等于1的矢量的称做单位矢量。

在直角坐标系xyz 中沿x 、y 、z 轴的单位矢量分别记作、和
或
、和。

i j
k
i j k 1
3.矢量的加法、减法：
矢量的加法应满足平行四边形法则，而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；如图所示。

C A
B
D
E
D
C B A E +++=C A
B
D
E
D
C B A E +-+=
k
A j A i A z y x
++=A 4. 矢量的正交分解把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。

A
x
y
z
x
A O
z A y
A •中学的表达•要适应新的表达方式•要学会正确的表达方式
•印刷体与手写体
k
t z j t y i t x t r
)()()()(++=如果A 点为某质点任意时刻所在的位置坐标，则
5.矢量的数乘：某实数与矢量相乘
以实数乘以矢量称为矢量的数乘，记作，显然有：
A λλA
k
A j A i A k A j A i A A z y x z y x
λλλλλ++=++=)(实数只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸
缩为原来的倍。

的方向为：时，与方向不变；时，与方向相反。

λλA λ0>λA
A
<λ一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：
k
B A j B A i B A k B j B i B k A j A i A z z y y x x z y x z y x
)()()()
()(±+±+±=++±++=±B A k dt t dA j dt t dA i dt
t dA dt t d z y x
)()()()(++=A 对矢量函数求导数，是对它的各个分量分别求导，这时矢量导数就变成了标量函数的求导，但是如果坐标也在变，也必须对单位矢量求导，如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量。

6.矢量函数的导数、积分-----单位矢量为特殊常数导数：
0)
(=dt
d C
C 是常矢量时
保留矢量符号不变，
只对矢量符号前面的标量求导数或积分
积分：
k a j a i a k dt
j dt d i dt d dt d a z y x z y x ++=++==υυυυk dt a j dt a i dt a dt a d t t z
t t y t t x t t
⎰⎰⎰⎰⎰++==0
0000)()()(υυυk a j a i a dt a d z y x
++==υk
j i z y x
υυυυ++=0
υυυυυ
-=⎰d 坐标值为（2，3）用矢量表达
j
i
θυθυυsin cos 000+=j
i r
32+=某斜抛运动如图
j
g g a
-==θ
0υ
g
θ
υυcos 0=x gt
y -=θυυcos 0j
gt i
)sin (cos 00-+=θυθυυt x )cos (0θυ=2
2
1)sin (gt t y -=θυj
gt t i t r
]2
1)sin [()cos (200-+=θυθυ例如在斜抛运动中
j g g a
-==j
gt t t g t t r 20202
1
21)(-=+=v v
四.矢量的标积和矢积
已知两矢量和，夹角记作：，则：
A
B
),(B A
（1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）：
矢量的标积的结果为标量
α
cos ),cos(1A i A A i A A x =⋅⋅=⋅=
A
y x
α
β
βcos A j A A y =⋅=
2A
=⋅A A 1=⋅=⋅=⋅k k j j i i 0
=⋅=⋅=⋅k j k i j i 如果垂直,两个矢量点乘必为零
)
,cos(B A B A B A B A B A B A z
z y y x x
⋅=++=⋅A
B
)
,(B A ∠P
力F 对物体做功：
r
F A ∆⋅=θcos F r
∆θ
r
F A
∆⋅=r
d F dA
⋅=⎰
⋅=
末
初
r
d F A 举例：
（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：
k
B A B A j B A B A i B A B A x y y x z x x z y z z y
)()()(-+-+-=)
,sin(B A B A B A ⋅=⨯∴矢积的结果
的结果为矢量；大小为以A 、B 为边的平行四边形的面积
B A ⨯z
y
x
z y x
B B B A A A k j i B A
=⨯方向垂直于矢量
组成的平面B A 和（3）矢量的矢积的方向判断
右手定则
k
j i =⨯A
B B A
⨯-=⨯0
=⨯=⨯=⨯k k j j i i （4）矢量的矢积的运算：
)()(B A B A ⨯=⨯λλB
C A C B A C ⨯+⨯=+⨯)(j i k =⨯i k j =⨯k
i j
-=⨯j
k i -=⨯i
j k -=⨯如果平行,两个矢量叉乘必为零⊥
=r v ωω
r
α
v
P
o '
o
//
r ⊥
r ⊥+=r r r //⊥
⨯+⨯=r r ωω//)(//⊥+⨯=⨯r r r
ωωυω =⨯=⊥r r
⨯=ωυ举例：。