2019-2020学年银川市名校数学高二下期末监测试题含解析

2019-2020学年银川市名校数学高二下期末监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ） A ．55种 B ．60种 C ．65种 D ．70种
【答案】D 【解析】 【分析】
根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】
解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有1
55C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有21
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有31
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有4
55C =种；
共560+60+5=70+种. 故选：D . 【点睛】
本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.
2．设()()2,01
,0
x a x f x x a x x ⎧-≤⎪
=⎨+->⎪⎩
，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．[]2,1- B ．[]0,1
C ．[]1,2
D ．[]0,2
【答案】B 【解析】 【分析】
当0x >时，可求得此时()()min 12f x f a ==-；当0x ≤时，根据二次函数性质可知，若0a <不合题意；若0a ≥，此时()()2
min 0f x f a ==；根据()0f 是()f x 在R 上的最小值可知()()01f f ≤，从而构造
不等式求得结果. 【详解】
当0x >时，()12f x x a a a x =+
-≥=-（当且仅当1x =时取等号） 当0x ≤时，()()2
f x x a =-
当0a <时，()f x 在(),0-∞上的最小值为()f a ，不合题意 当0a ≥时，()f x 在(),0-∞上单调递减 ()()2
min 0f x f a ∴==
()0f 是()f x 在R 上的最小值 22a a ∴≤-且0a ≥ []0,1a ∴∈
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果. 3．下列集合中，表示空集的是（ ）
A ．{}0
B ．
(){}
,0x y y x =
≤
C ．{}
2
560,x x x x N ++=∈ D ．{
}
24,x x x Z <<∈
【答案】C 【解析】 【分析】
没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案. 【详解】
A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；
B.集合由满足条件的0y x =
≤上的点组成，不是空集，故不正确；
C.2560x x ++=，解得：2x =-或3x =-，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；
D.满足不等式的解为3x =±，所以集合表示{}3,3-，故不正确. 故选：C 【点睛】
本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.
4．如图，,,A B C 表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（ ）．
A ．0.994
B ．0.686
C ．0.504
D ．0.496
【答案】B 【解析】 【分析】
由题中意思可知，当A 、B 元件至少有一个在工作，且C 元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率． 【详解】
由题意可知，该系统正常工作时，A 、B 元件至少有一个在工作，且C 元件在元件， 当A 、B 元件至少有一个在工作时，其概率为()()110.910.80.98--⨯-=， 由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为0.980.70.686⨯=， 故选B ． 【点睛】
本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题．
5．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46π
C ．26π
D 6π
【答案】D 【解析】 【分析】
先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方
体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一:
,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，
PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，
//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，
2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=
364466,62338
R V R =
∴=π=⨯=ππ，故选D ．
解法二:
设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，
//EF PB ∴，且1
2
EF PB x =
=，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒2
13,2
CE x AE PA x ∴=-==
AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x
+--∠=
⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，
D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，22431
42x x x x +-+∴=， 221
2
2122
2
x x x ∴+=∴=
=
，2PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=
，34466633V R ∴=π==π，故选D . 【点睛】
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
6．已知 0.30.3a =， 1.30.3b =，0.31.3c =，则它们的大小关系是 A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a b c >>
【答案】A 【解析】
由指数函数0.3x
y =的性质可得 1.30.300.30.31<<<，而0.31.31>，因此0.30.3 1.31.30.30.3>>，即
c a b >>。

选A 。

7．已知1cos 3α=
，2π(π)α∈，
，则cos 2
α
等于( )
A ．
3 B ．3
-
C ．
3
D ．3
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可知2π(π)α∈，
，则π
π22α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，
又由半角公式可得cos 2
3
α
===-
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．已知函数21()ln(||1)(1)f x x x -=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的解集为（ ）
A ．1
(,1)3
B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞
C ．11(,)33
-
D ．11
(,)
(,)33
-∞-+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】
由已知可得：()f x 是偶函数，当0x ≥时，()f x 在[)0,+∞为增函数，利用()f x 的单调性及奇偶性将
()()21f x f x >-转化成：21x x >-，解得：113
x <<，问题得解.
【详解】
因为()()
()()()()1
1
2
2
ln 11ln 11f x x x x x f x --⎡⎤
-=-+--+=+-+⎣⎦
=
所以()f x 是偶函数.
当0x ≥时，()()()
1
2ln 11
f x x x -=+-+
又()=ln 1y x +在()0,∞+为增函数，()
1
21y x -=+在()0,∞+为减函数
所以()()()
1
2
ln 11
f x x x -=+-+在[)0,+∞为增函数
所以()()21f x f x >-等价于21x x >-，
解得：1
13x <<
故选：A 【点睛】
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化思想及函数单调性的判断，属于中档题。

9．已知函数()2
1,1254,12x
x f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨⎪-+->⎪⎩
，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少
于2个，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(
]1,2ln2,64⎡-∞-⋃⎢⎣ B
．1,64⎡⎢⎣
C ．(
]1,2ln2,64e ⎡-∞-⋃-⎢⎣ D
．1,64⎡+⎢⎣
【答案】C 【解析】
分析：根据()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，可得函数()f x 的图象与
y mx m =+的交点个数不少于2个，在同一坐标系中画出两个函数图象，结合图象即可得到m 的取值范
围.
详解：
()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，
∴函数()y f x =的图象与函数y mx m =+的图象的交点个数不少于2个，
函数()2
1,1254,12x
x f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨⎪-+->⎪⎩
，
∴1x ≤时，函数()f x 为指数函数，过点(0,1)，1
(1,)2
A
1x >时，函数2
3
()(2)2
f x x =--+
，为对称轴2x =，开口向下的二次函数
. (1)y mx m m x =+=+，
∴y mx m =+为过定点(1,0)-的一条直线.
在同一坐标系中，画出两函数图象，如图所示. （1）当0m ≥时，
①当y mx m =+过点1(1,)2
A 时，两函数图象有两个交点，
将点1(1,)2
A 代入直线方程
1
2
m m =+，解得14m =.
②当y mx m =+与2
5()42
f x x x =-+-相切时，两函数图象有两个交点.
联立2
542y mx m
y x x =+⎧⎪⎨=-+-⎪⎩
，整理得2
5(4)()02x m x m +-++= 则2
5
(4)4()02
m m ∆=--+=
，解得6m =
6m =
如图当1[,64
m ∈+，两函数图象的交点个数不少于2个. （2）当0m <时，易得直线y mx m =+与函数2
5
()4(1)2
f x x x x =-+-
>必有一个交点 如图当直线y mx m =+与1()(1)2x
f x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭
相切时有另一个交点 设切点为1(,())2
t
t ，
1
'()ln 2()2
x f x =-⋅，
∴切线的斜率1'()ln 2()2t k f t ==-⋅， 切线方程为11ln 2()()22t
t
y x t ⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭
切线与直线y mx m =+重合，即点(1,0)-在切线上.
∴110ln 2(1)
221ln 22t t
t
t m ⎧⎛⎫⎛⎫
-=---⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎪
=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得21log 2ln 2t e m e =--⎧⎨=-⎩ 由图可知，当(,2ln 2]m e ∈-∞-,两函数图象的交点个数不少于2个. 综上，实数m
的取值范围是1
(,2ln 2][,64
e -∞-⋃+ 故选C.
点睛：本题考查函数零点问题，考查数形结合思想、转化思想及分类讨论的思想，具有一定的难度. 利用函数零点的情况，求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解 （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比2q =-，则2
2
S a =（ ） A ．
13
B ．
14
C ．12-
D ．
12
【答案】D 【解析】 【分析】
由等比数列的通项公式与前n 项和公式分别表示出2S 与2a ，化简即可得到2
2
S a 的值 【详解】
因为等比数列{}n a 的公比2q =-，则21121112
S a a q q a a q q ++===， 故选D ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，属于基础题。

11．已知集合{}1,2A =，{}1,3,B m =，若{}1,2,3,4A B =，则m 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可得4B ∈，则4m =. 【详解】
由{}1,2,3,4A
B =，得4A ∈或4B ∈
又由{}1,2A =，得4A ∉， 则4B ∈，即4m = 故选：D 【点睛】
本题考查了集合的并集运算，属于基础题.
12．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线(
)2
0,N σ
的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A ．123σσσ<<
B ．132σσσ<<
C ．213σσσ<<
D ．321σσσ<<
【答案】A 【解析】
分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小. 详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，
σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题：本题共4小题
13．函数1
2
y x =的定义域是________ 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】
将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域. 【详解】 函数1
2y x =
即y x =
根据二次根式有意义条件可知定义域为[)0,x ∈+∞ 故答案为: [)0,+∞ 【点睛】
本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础题. 14．函数()ln f x x x =-的极值点为x =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】 求出导函数'()f x ，并求出导函数的零点，研究零点两侧'()f x 的符号，由此可得．
【详解】
11'()1x f x x x
-=-
=，由'()0f x =得1x =， 函数定义域是0x >，当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >．∴1x =是函数的极小值点． 故答案为1． 【点睛】
本题考查函数的极值，一般我们可先
'()f x ，然后求出'()f x 的零点，再研究零点两侧'()f x 的正负，从
而可确定是极大值点还是极小值点．
15．已知命题p ：∃x∈R，e x －mx ＝0，q ：∀x∈R，x 2－2mx ＋1≥0，若p∨(q)为假命题，则实数m 的取
值范围是________. 【答案】[0,1]. 【解析】 【分析】
根据复合函数的真假关系，确定命题p ，q 的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论． 【详解】
若p ∨（¬q）为假命题，则p ，¬q 都为假命题，即p 是假命题，q 是真命题，
由e x
﹣mx=0得m=x
e x
，
设f （x ）=x e x ，则f′（x ）=2x x e x e x ⋅-=()2
1x
x e
x
-，
当x ＞1时，f′（x ）＞0，此时函数单调递增，
当0＜x ＜1时，f′（x ）＜0，此时函数单调递递减，
当x ＜0时，f′（x ）＜0，此时函数单调递递减，
∴当x=1时，f （x ）=x e x
取得极小值f （1）=e ， ∴函数f （x ）=x
e x
的值域为（﹣∞，0）∪[e ，+∞）， ∴若p 是假命题，则0≤m ＜e ；
命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m≤1.
所以当p∨(q)为假命题时，m 的取值范围是[0，1].
故答案为：[]0,1
【点睛】
“p q ∨”，“p q ∧”“p ⌝”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题,p q 的真假；（3）确定“p q ∨”，“p q ∧”“p ⌝”等形式命题的真假.
16．集合{}1,0,1-的所有子集个数为_________．
【答案】8
【解析】
试题分析：∵集合{}1,0,1-有3个元素，∴集合{}1,0,1-的所有子集个数为328=
考点：本题考查了子集的个数
点评：解决此类问题常常用到：若集合有n 个元素，则该集合的所有子集个数为2n 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，） （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，，且线段的中点为，求.
【答案】 (Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】 试题分析：（I ）由极坐标与直角坐标互化的关系式
可将曲线极坐标方程化为普通方程.（II ）将直线的参数方程代入取曲线的普通方程中，为中点，由的几何意义知故得到
关于的方程，求出倾斜角.
试题解析：
（I ）曲线,即, 于是有
, 化为直角坐标方程为:
（II ）方法1: 即
由的中点为得,有,所以 由 得
方法2:设,则
, ∵,∴,由 得.
方法3: 设,则由是的中点得
, ∵,∴,知 ∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得, 即 由得 ,因为 ,所以.
18．在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知3tan()6A π
-=．
(Ⅰ) 求A ；
（Ⅱ）若2a b ==，求△ABC 的面积．
【答案】 (Ⅰ) 3A π=
(Ⅱ
)2
【解析】
【分析】 （Ⅰ）方法一：由A ∈（0，π）可得5666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
，利用6tan A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，即可得出，方法二：利用6666166tan A tan tanA tan A tan A tan ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭
，即可得出； （Ⅱ）方法一：由余弦定理得 a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得c ，即可得出三角形面积计算公式，方法二：由
23sinB sin =
，从而7
sinB =，可得cosB ．可得sinC=sin （A +B ），利用三角形面积计算公式即可得出．
【详解】
(Ⅰ)方法一：()0,A π∈ 5,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭
由tan 6A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭得66A ππ-=，因此3A π= 方法二：tan tan 66tan tan 661tan tan 66A A A A ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝
⎭
== 由于0A π<<，所以3A π
=
(Ⅱ)方法一：由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-
而2a b ==，3A π
=
得2742c c =+-，即2230c c --=
因为0c >，所以3c =
故△ABC 的面积133sin 2s bc A == 方法二：由正弦定理得7
2sin sin 3B π
=从而21sin 7B = 又由a b >，知A B >，所以B 为锐角，27cos 7
B = 故()321sin sin sin sin cos cos sin 33314
C A B B B B πππ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭
所以133sin 2s ab C == 【点睛】
本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．如图所示，已知F 是椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>的右焦点，直线AB ：220x y 与椭圆C 相切于点A ．
（1）若2a =b ；
（2）若FA FB =，0FA FB ⋅=，求椭圆C 的标准方程．
【答案】（1）22
b =；（2）2255183x y += . 【解析】
【分析】
（1）把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得x 的一元二次方程，直线与椭圆相切，则0∆=，结合2
a =
可求得b ；
（2）利用（1）中结论2214a b +=可求得A 点坐标22(,)2
a b -，作AC x ⊥轴于点C ,BD x ⊥轴于点D ,由AF BF =,090AFB ∠=,则有ACF FDB ∆≅∆，因此AC FD =,=CF BD ,这样可由,A F 点坐标表示出
B 点坐标，由B 在直线220x y 上可得25382
a c -=，这样结合2214a
b +=，222a
c b -=可解得,,a b c 得椭圆标准方程．
【详解】
（1）由直线与椭圆方程联立得222222204a b x a x a a b ⎛⎫+++-= ⎪⎝
⎭，①， 因直线与椭圆相切，则0∆=，因此可得2
214
a b +=； 若2a =，则2b = ； （2）将2214a b +=代入方程①式可得42204
a x a x ++=， 因此22A a x =-，2214A a y
b =-=，因此点22,2a A b ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 作AC x ⊥轴于点C ,BD x ⊥轴于点D ,∵AF BF =,090AFB ∠=,
则有ACF FDB ∆≅∆，因此AC FD =,=CF BD ,
∴2
14
a FD =-，22a BD c =+， ∴221,42a a B c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭
，∵B 在直线112y x =+上， 因此221(1)1224a a c c +=+-+，化简得25382
a c -=； 又由22
225144
a a
b
c +==-，
则可得244382
c c +-=，即有220c c +-=，∵0c >， ∴1c =，
则2
85a =，235b =，因此所求的椭圆方程为2255183x y += . 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程．考查直线与椭圆位置关系．直线与椭圆相切，只能由直线方程与椭圆方程联立，消元后得二次方程，则有结论0∆=．第（2）小题有一定的难度，关键是还要一个,,a b c 的关系式，题中解法是通过几何方法，由,A F 点坐标表示出B 点坐标，B 僄代入直线方程得到关系式．另一种方法是FA FB ⊥，然后取AB 中点为M ，则有FM AB ⊥（不需要再求线段长了），这样两个垂直也可以建立起,,a b c 的关系式．
20．某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究．株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等．下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：
（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；
（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）．
【答案】（1）20n =，补图见解析（2）估计这n 株株高的中位数为82（3）见解析
【解析】
【分析】
根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列．
【详解】
解：（1）由第一组知10.002520n
=，得20n =，
补全后的频率分布直方图如图
（2）设中位数为0x ，
前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<，
前四组的频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>，
∴[)075,95x ∈，
∴()0750.02250.15x -⨯=， 得0245823
x =
≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82. （3）由题设知132,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则()2
2749020400
P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ ()127139112020200P X C ==⋅⋅= ()22213169220400
P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ X 的分布列为 X
0 1 2 P
49400 91200 169400
【点睛】
本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题. 21．在平面直角坐标系xoy 中，圆112(32x cos C y sin ααα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩：为参数)，以坐标原点o 为极点，轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为
()3R π
θρ=∈．
()1分别求圆1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
()2设直线l 交曲线1C 于,O M 两点，曲线2C 于,O N 两点，求MN 的长；
()3P 为曲线2C 上任意一点，求1OP OC ⋅的取值范围．
【答案】（1
）2cos ρθθ=+，2220x y y +-=；（2
）4；（3）OM ON 、
. 【解析】
【分析】
()1消去参数得到普通方程，利用这个是可得到1C 的直角坐标，直接利用转换关系对极坐标方程进行转换
可得到曲线2C 的极坐标方程；()2
利用方程组和两点间的距离公式分别求出2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,相减求出结
果．()3利用向量的数量积和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质可求出结果．
【详解】
()1
圆112(2x cos C y sin ααα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩：为参数)，
转换为直角坐标方程为：22(1)(4x y -+=，
22
20x y x +--=，利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩
转换为极坐标方程为：22cos sin ρρθθ=+
，即2cos ρθθ=+．
曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，
转化为2
2sin ρρθ=， 利用222
x y y sin ρρθ
⎧+=⎨=⎩整理得：2220x y y +-=． ()2直线l 的极坐标方程为()3
R πθρ=∈．
转换为直角坐标方程为：y =，
由于直线l 交曲线1C 于,O M 两点，
则：22(1)(4x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，
解得：0
0x y =⎧⎨=⎩
或4OM ==，
所以：4MN OM ON =-=
同理：直线l 交曲线2C 于,O N 两点，
则：2220x y y y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，
解得：00x y =⎧⎨=⎩
或3
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
．
所以：ON =
=
所以：(1C ． ()3由于1OC OP ⋅，
则(101,C =，
P 为曲线2C 上任意一点，()cos ,1sin P θθ+，
则：()cos ,1sin OP θθ=+，
所以1cos 2sin 6OC OP πθθθ⎛
⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭
， 1OC OP ⋅的范围是OM ON 、
. 【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程化为直角坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转换，平面向量的数量积公式的应用，两点间距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换及辅助角公式与角函数的有界性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
22．已知函数f(x)＝e x , g(x)＝lnx.
(1)设f(x)在x 1处的切线为l 1, g(x)在x 2处的切线为l 2,若l 1//l 2,求x 1＋g(x 2)的值;
(2)若方程af 2(x)－f(x)－x ＝0有两个实根,求实数a 的取值范围；
(3)设h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,求实数b 的取值范围. 【答案】 (1)0.
(2) 0<a<1.
(3) b≥ln2＋203
－.
【解析】
分析：（1）求导，利用l 1//l 2时k 值相等，即可求出答案；
（2）参变分离，利用导数的应用以及数形结合即可得到答案；
（3）由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝e x
(lnx －b),求导，因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以()0h x '≤在[ln2,ln3]上恒成立，再参变分离，分析讨论即可.
详解：(1) f′(x)＝e x , g′(x)＝
由题意知：1x e ＝
故x 1＋g(x 2)＝x 1－ln 1x e ＝0.
(2) 方程af 2(x)－f(x)－x ＝0，ae 2x －e x －x ＝0，a ＝
令φ(x)＝
, 则φ′(x)＝－ 当x<0时，e x <1,e x －1<0,所以e x ＋2x －1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)单调增；
当x>0时，e x >1,e x －1>0,所以e x ＋2x －1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)单调减.
从而φ(x)max ＝φ(0)＝1
又，当x>0时，φ(x)＝>0
原方程有两个实根等价于直线y ＝a 与φ(x)的图像有两个交点，故0<a<1.
(3)由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝e x (lnx －b),得h′(x)＝e x (lnx ＋－b)
因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以h′(x)＝e x (lnx ＋－b)≤0在[ln2,ln3]内恒成立 由于e x >0，故只需lnx ＋－b≤0在[ln2,ln3]内恒成立
即b≥lnx＋在[ln2,ln3]内恒成立
令t(x)＝lnx ＋, t′(x)＝－＝
当ln2≤x<1时，t′(x)<0，故t(x)单调减；
当1≤x≤ln3时，t′(x)>0，故t(x)单调增.
下面只要比较t(ln2)与t(ln3)的大小.
思路：[详细过程略]
先证明：x1+x2>2
又，ln2+ln3=ln6<2
故当x1=ln2时，ln3< x2
即t(ln3)<t(ln2)
所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋
所以b≥ln2＋.
点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．。