专题10 圆锥曲线 -备战2021年高考数学(理)之纠错笔记系列(解析版)

专题10 圆锥曲线
易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”
如图，已知点0(1
)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅，求动点P 的轨迹．
【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，
由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．
【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，
由QP QF FP FQ ⋅=⋅，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:
（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．
（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．
（4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法. 2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||PA d =
. （1）求动点P 的轨迹C 方程；
（2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点(3,0)D ,求直线AM 的方程.
【答案】（1）2212x y +=；（2）1)y x =+.
【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA =， 又:2l x =-，∴|2|d x =+，
2
=
，
∴2
2
21
(1)(2)2
x y x ++=
+， ∴22
22x y +=，
∴点P 的轨迹方程为2
212
x y +=.
（2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>， ∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -，， ∴B 为AD 中点， ∵//AM BN ，
∴1212,322x x y y +==， ∴1223x x =-，
又221112x y +=，∴()2
22223412
x y -+=， 又2
2
2212
x y +=，∴2151,42x x ==-，
∵0y >，∴1y =
，∴1
112AM y k x ==+，
∴直线AM 的方程为1)2
y x =
+. 【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．
易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
已知曲线C ：y ＝x 2－2x ＋2和直线l ：y ＝kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求
线段AB 中点的轨迹方程.
【错解】依题意，由⎩⎨⎧
y ＝x 2－2x ＋2，
y ＝kx ，
分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，①
(k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②
设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有122
12212121x x x k y y k y k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩
，
故线段AB 中点的轨迹方程为2
2
0x y x --=.
【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y 的允许范围，故应对x ，y 加以限制．
【试题解析】依题意，由⎩⎨⎧
y ＝x 2－2x ＋2
y ＝kx
，
分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②
设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋x 2
2＝11－k 2
， ③
y ＝y 1
＋y 2
2＝k
1－k 2
， ④
又对②应满足2222
122
2122
10
44(2)(1)0201201k k k k k y y k k y y k ∆⎧-≠⎪=-⨯-⨯->⎪⎪⎨+=>-⎪
⎪⎪=>-⎩
，解得2
2<k <1.
结合③④，则有x >2，y > 2.
所以所求轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2)． 【参考答案】轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2).
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （
2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ,y 的取值范围.
2．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为
A ．22
18
y x -=
B ．2
2
1(1)8
y x x -=≤-
C ．
2
2
18
x y
D ．2
2
1(1)8
y x x -=≥
【答案】B
【解析】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ， 则由题意可得121,3MC r MC r =+=+，
相减可得21122MC MC C C -=<，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支，
由题意可得22,3a c ==，所以b =，
故点M 的轨迹方程为2
2
1(1)8
y x x -=≤-，故选B.
【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以
12,C C 为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能
力，属于基础题.
易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件
若方程
2
2
1
86
x y
k k
+=
--
表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．【错解】由
80
60
k
k
->
⎧
⎨
->
⎩
，可得68
k
<<，所以实数k的取值范围为(6，8)．
【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．
【试题解析】由
80
60
86
k
k
k k
->
⎧
⎪
->
⎨
⎪-≠-
⎩
，可得68
k
<<且7
k≠，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．
【参考答案】(6，7)∪(7，8)．
平面上到两定点
12
,
F F的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P的轨迹是椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作
12
2
F F c
=.
定义式：
1212
2(2)
PF PF a a F F
+=>.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
3．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是A．椭圆B．直线
C．圆D．线段
【答案】D
【解析】虽然动点M到两个定点F1，F2的距离为常数8，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．
平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.
易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论
已知椭圆的标准方程为22
21(0)36x y k k
+=>，并且焦距为8，则实数k 的值为
_____________．
1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
2．求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>或
22
221(0)
y x
a b
a b
+=>>.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,
a b c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系
222c a b =－）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).
求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
4．关于曲线C ：22
2214
x y a a +=-性质的叙述，正确的是
A ．一定是椭圆
B ．可能为抛物线
C ．离心率为定值
D ．焦点为定点
【答案】D
【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误； 因为24a -可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则
()
2
2
2
44c a a =--=，∴2c =，2
e a
=
，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点.
若曲线为双曲线，方程为2222
14x y a a -=-，
则()
22244c a a =+-=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-为定点，故选D.
【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.
易错点5 忽略椭圆的范围
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率
3
e=，已知点
3
(0,)
2
P到椭圆
的最远距离为7，求椭圆的标准方程．
1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的范围就是方程中变量x ,y 的范围，由22
221x y a b +=得
222211x y a b =-≤，则||x a ≤；22
2211y x b a
=-≤，则||y b ≤.故椭圆落在直线x =±a ，y =±b 围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x ，y 的取值范围.
2．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P
点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：
①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；
③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.
（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种：
①利用定义转化为几何问题处理；
②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.
5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)B
，且过点2
P ． （1）求椭圆C 的方程及其离心率；
（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时，求此时MON △的面积的最大值．
【答案】（1）2214x y +=
，e =
；（2）1. 【解析】（1）由题意可得1b =．
又)2
P 在椭圆C
上，所以222()12a +=，解得2a =，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=，
所以c =
=C
的离心率c e a =
=
（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠．
由22
,
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()
222418440k x kmx m +++-=， 所以22222
(8)4(41)(44)6416160km k m k m ∆=-+-=-+>，
设()()1122,,,M x y N x y ，则212122
2
844
,4141
km m x x x x k k --+==++．
()()()22
12121212121212
OM ON
kx m kx m k x x km x x m
y y k k x x x x x x +++++===
22
222
22
44841414441
m km
k km m k k m k --⨯+⨯+++=-+222444
m k m -=-， 由题意，OM ON k k 为定值，所以21444
k -=-，即2
14k =，解得12k =±．
此时
MN
=
=
=， 点O 到直线y kx m =
+
的距离d =
．
11|22MON S MN d m =
=
△
==．
显然，当21m =（此时2
1
4
k =
，21m =满足226416160k m ∆=-+>），即1m =±时，S 取得最大值，最大值为1．
易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件
已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P
的轨迹分别为 A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条直线
D ．双曲线的一支和一条射线
在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．
当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．
6．如图，在ABC △中，已知||AB =且三内角A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程．
【答案】22
1(26
x y x -=>．
【解析】由题意可得(A -，B ．
因为2sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得||||||22BC AB AC +=，
故|||||1
2
|||AC BC AB AB -=<=
， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为22
221()x y x a a b
-=>，
因为a =c =所以2
2
2
6b c a =-=，故所求轨迹方程为22
1(26
x y x -=>． 【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
易错点7 忽略双曲线中的隐含条件
已知M 是双曲线22
16436
x y -=上一点，
F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =_____________．
【错解】由双曲线的定义可知，12||||216||MF MF a ==-，因为1||17MF =，所以2||1
MF =
1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件． 2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.
3．由22221(0,0)x y a b a b
-=>>,知x 2
a
≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a
所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.
7．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若
1=
3
PFQ π
∠,则双曲线的离心率e 等于 A 1 B
C 1
D 2+
【答案】B
【解析】由双曲线的对称性可知，12PF F △是以点2F 为直角顶点，且126
PF F π∠=
，则122PF PF =，
由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F △中，21212
2tan 23PF a PF F F F c ∠=
=
=，c
e a
∴==，故选B. 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题.
易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论
已知双曲线的渐近线方程是
2
3
y x =±
，焦距为226，求双曲线的标准方程．
1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的2
2
,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.
2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为
221(0)Ax By AB +=<.
8．已知双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，且过点()1
2P ，--，则该双曲线的标准方程为__________．
【答案】22
133
y x -=
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，可设双曲线方程为
()220x y λλ-=≠， ∵双曲线过点()1
2P ，--，
∴14λ-=，即3λ=-．
∴所求双曲线方程为22
133y x -=，
故答案为22
133
y x -=．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．
易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况
若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2
2
14
y x -=只有一个公共点，则k =
___________．
【错解】由题意可得:(1)1l y k x =-+，代入双曲线方程得
【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程
消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个
1． 直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． （2）有一个公共点，分两种情况：
①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴； ②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．
9．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点． 【答案】见解析．
【解析】由22
416
x y y kx -==⎧⎨⎩消去y 得22
(4)160k x --= ①，当240k -=，即2k =±时，方程①无解；
当240k -≠时，22
04(4)(16)64(4)k k ∆=---=-，
当0∆>，即22k -<<时，方程①有两解； 当0∆<，即2k <-或2k >时，方程①无解； 当0∆=，且240k -≠时，这样的k 值不存在．
综上所述，（1）当22k -<<时，直线与双曲线有两个公共点；
（2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； （3）当2k ≤-或2k ≥时，直线与双曲线没有公共点．
【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．
易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件
已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．
【参考答案】2
189y x =+.
1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．
2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．
10．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．
【答案】220(0)y x x =>或)00(y x =<．
【解析】设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ，∵动圆P 与y 轴相切，∴R x =， ∵动圆与定圆C ：2252)5(x y -+=外切，∴5PC R =+，∴5PC x =+． 当点P 在y 轴右侧，即x ＞0时，5PC x =+，点P 的轨迹是以(5，
0)为焦点的抛物线，则圆心P 的轨迹方程为2
20(0)y x x =>；
当点P 在y 轴左侧，即x ＜0时，
5PC x =-+，此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴，即方程)00(y x =<．
故点P 的轨迹方程为2
20(0)y x x =>或)00(y x =<．
【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行转化．
易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论
设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.
【错解】易知准线方程为x ＝－m
4，
因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m
4＝－2，解得m ＝8，
故抛物线方程为y 2＝8x .
【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．
【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m
4，
由条件知1－(－m
4)＝3，所以m ＝8.
此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m
4，
由条件知－m
4－1＝3，所以m ＝－16，
此时抛物线方程为y 2＝－16x .
所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .
1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：
图 形
标准方程 22(0)
y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p => 22(0)x py p =->
焦点坐标
(,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2
p -
注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0．
2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
11．顶点在原点，且过点(1,1)-的抛物线的标准方程是 A ．2y x =-
B ．2x y =
C ．2y x =-或2x y =
D ．2
y
x =或2x y =-
【答案】C
【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2
y ax =，将(1,1)-代入得1a =-，2
y x ∴=-；
当焦点在y 轴上时，设方程为2
x ay =，将(1,1)-代入得1a =，2
x y ∴=．故选C ．
本题若只考虑焦点在x 轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在y 轴的正半轴上的情况，则会出现漏解．
易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况
求过定点(11)
P -,，且与抛物线2
2y x =只有一个公共点的直线l 的方程．
直线l y kx b =+：与抛物线2
2(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p b x y k ⎧⎨==+⎩
的解
的个数．
（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．
（2）若0k =，则直线y b =与抛物线2
2(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当
直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．
12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A ．
本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.
一、曲线与方程 1．求曲线方程的步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 2．两曲线的交点
（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
二、椭圆 1．椭圆的定义
平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =.
定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程
焦点在x 轴上，22
221(0)x y a b a b +=>>；
焦点在y 轴上，22
221(0)y x a b a b
+=>>.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：2
2
2
,0,0a c b a b a c -=>>>>. 3．椭圆的几何性质
标准方程
22
221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22
221y x a b
+=(a ＞b ＞0) 图
形
范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点
左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0) 下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )
三、双曲线 1． 双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言：1212202，
MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支；
当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；
当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程
（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，
0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+.
（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22
221y x a b
-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，
－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+． 3．双曲线的几何性质
标准方程
22
2
21x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22
2
21y x a b
-=(a ＞0，b ＞0) 图形
范围 ||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0)
下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )
顶点
12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -
轴
线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；
实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b
渐近线
b y x a
=±
a y x b
=±
在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件
12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算
中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线
四、抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为2
2(0)y px p =>； （2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； （3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； （4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->. 注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 3．抛物线的几何性质
标准方程
22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->
图 形
几 何 性 质
范 围 0,x y ≥∈R
0,x y ≤∈R
0,y x ≥∈R
0,y x ≤∈R
对称性
关于x 轴对称
关于x 轴对称
关于y 轴对称
关于y 轴对称
焦点 (,0)2p
F (,0)2p F -
(0,)2p F
(0,)2p F -
准线方程 2
p x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
4．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
5．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物
线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，
11(,)A x y ，22(,)B x y ，则
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物。