陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三数学上学期第一次联考试题文(含解析)

精品文档，欢迎下载！
陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三数学上学期第一次联
考试题 文（含解析）
一、选择题
1.已知集合{
}|2x
P y y ==，{|Q x y ==
，则P Q =I （ ）
A. []1,1-
B. [)0,+∞
C. (][),11,-∞⋃+∞
D. (]0,1
【答案】D 【解析】 【分析】
分别求两个集合，再求交集. 【详解】∵{}|0P y y =>，
10x -≥，解得：1x ≤
∴{}|1Q x x =≤，
∴(]0,1P Q =I . 故选：D.
【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型. 2.复数
21i
i
-等于（ ） A. 1i -+ B. 1i -
C. 1i +
D. 1i --
【答案】A 【解析】 【详解】
()()()
2121111i i i i i i i +==-+--+ 3.已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()77,x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为$24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，…7x 的平均数为1，则7
1
i
i y
==∑（ ）
A. 2
B. 11
C. 12
D. 14
【解析】 【分析】
根据(),x y 在回归直线上，代入求y ，再求
7
1
i
i y
=∑.
【详解】∵1x =，且()
,x y 在线性回归直线$24y x =-+上， ∴242142y x =-+=-⨯+=，
则
7
1
77214i
i y
y ===⨯=∑.
故选：D.
【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点(),x y .
4.经过原点并且与直线20x y +-=相切于点()2,0的圆的标准方程是（ ） A. ()()2
2
112x y -++= B. ()()22
112x y ++-= C. ()()2
2
114x y -++= D. ()()2
2
114x y ++-=
【答案】A 【解析】 【分析】
设圆心为(),a b ，根据条件列关于,a b 的方程，求圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为(),a b ， 则222a b r +=①，
()
2
222a b r -+=②，
12
b
a =-③； 由①②③组成方程组，解得 1a =，1
b =-，22r =；
故所求圆的标准方程是()()22
112x y -++=.
【点睛】本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型.
5.已知向量()
1,3a =r ，()3,b m =r .若向量a b ⊥r r
，则实数m 等于（ ）
A. 33
B. 33-
C. 3
D. 3-
【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.
【详解】向量()
1,3a =r ，()3,b m =r ，若向量a b ⊥r r
，
则330a b m ⋅=+=r r
，
则实数3m =-， 故选：D
【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型. 6.．阅读如图的程序框图. 若输入6n =, 则输出k 的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】
试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1； 第二圈，n=13,n=27,否k=2；
第三圈，n=27,n=55,否k=3；
第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B ． 考点：本题主要考查程序框图．
点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果． 7.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
A. 1CC 与1B E 是异面直线
B. AC ⊥平面11ABB A
C. AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥
D. 11//A C 平面1AB E
【答案】C 【解析】 【分析】
逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析； B.根据AC 与AB 的夹角判断； C.利用面面垂直的性质定理证明； D.利用11//AC A C ，判断线面是否平行.
【详解】A. 1CC 与1B E 都在平面11B BCC 内，所以是共面直线，不是异面直线，故不正确； B.若AC ⊥平面11ABB A ，则AC 应垂直于平面内的任一条直线，但AC 与AB 的夹角是
60o ，不垂直，故不正确；
C. AE 与11B C 是异面直线，
Q 平面ABC ⊥平面11BB C C ，且平面ABC I 平面11BB C C BC =，
又ABC ∆Q 是正三角形，且E 是BC 的中点，
∴AE BC ⊥,
AE ∴⊥平面11BB C C ，
11AE B C ∴⊥
故C 正确；
D. 11//AC A C , 又AC 与平面1AB E 相交，那么11A C 与平面1AB E 相交，故不正确. 故选：C
【点睛】本题考查线线和线面关系的判断，意在考查空间想象能力和推理与证明，属于中档题型.
8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设
22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）
的概率是（ ）
A.
4
13
B.
13
13
C.
926
313
【答案】A 【解析】 【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得
222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒
所以13
DF AB =.
所以所求概率为2
4=13DEF ABC S S ∆∆=
. 故选A.
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
9.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3711a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） A. 7S B. 8S
C. 13S
D. 15S
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质可知371173a a a a ++=，可知7a 是定值，再利用等差数列的前n 项和公式计算.
【详解】371173a a a a ++=是
一个定值， 只有：()
11313713132
a a S a +==是一个定值.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列的前n 项和，意在考查基本计算，属于基础题型.
10.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当02x ≤<时，
()3f x x x =-，则在区间[]0,6上函数()y f x =的图象与x 轴的交点的个数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B 【解析】 【分析】
首先由题意判断函数的周期2T =，再根据02x ≤<时的零点个数，判断在[]0,6上的零点个数.
【详解】因为()f x 是R 上偶函数，且满足()()11f x f x +=-，
∴满足()()()111f x f x f x +=-=-， 令1x t +=，则1x t =-，∴()()2f t f t =-； ∴()f x 是最小正周期为2的周期函数，
当02x ≤<时，()3
0f x x x =-=解得0x =或1x =，
故()0f x =在区间[)0,6上解的个数为6，
又因为()()600f f ==，故()0f x =在区间[]0,6上解的个数为7， 即函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为7. 故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的性质求函数的零点个数，属于基础综合问题，本题的关键是根据函数性质判断函数的周期，当函数有两个对称轴时，可判断函数是周期函数.
11.已知点P 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，
且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）
C. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
设渐近线与1PF 交于点M ，,O M 分别是12F F 和1PF 的中点，则2//OM PF ，由题意可知，
12PF F ∆是直角三角形，设1PF m =，2PF n =，12PF F ∆内建立边长的等量关系，求双曲
线的离心率.
【详解】设渐近线与1PF 交于点M ，,O M 分别是12F F 和1PF 的中点，则2//OM PF ， 由题意，12PF F ∆是直角三角形， 2PF 的斜率为b
a
-， 设1PF m =，2PF n =，则
m b
n a
=①, ∵2m n a -=②，2224m n c +=③，
由①②可知，2
2
2ab m b a a n b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=
⎪-⎩
，()242
2244ab a c b a b a ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭- 解得：2b a =， ∴5c a =， ∴5c
e a
=
=.
故选：D.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c
e a
=
求解；2.公式法：22
21
11c b e a a
b c ==+=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 12.函数()2
23,0
,0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩
，若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是（ ） A. (],0-∞
B. [)1,-+∞
C. []1,0-
D.
(],1-∞-
【答案】B 【解析】 【分析】
首先画出函数的图象，根据()()f a f b t ==可知0t ≥，并解出a 和b ，表示
313222t a b t t t --+=+
=-+-(
)
2
1
112
t =---，根据+a b 的范围，再代入分段函
数求值域.
【详解】
设()()f a f b t ==， 作出()f x 的图象， 由图象知，0t ≥，
由()2
f a a t ==，得a t =，
由()23f b b t =--=，得32
t
b --=， 则313222t a b t t t --+==-+(
)
2
1
112
t =--，
∵0t ≥0t ≥， 则)
2
1
1112
m t =-
-≤-，
即1m a b =+≤-，
此时()()23231f a b f m m +==--≥-=-， 即()f a b +的取值范围是[)1,-+∞， 故选：B.
【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是
+a b 用t 表示，并求其范围.
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数()3log ,041,0
x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，则()()2f f -=_____.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求
()2f -，再求()()2f f -的值.
【详解】∵函数()3log ,0
41,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩
，
∴()()24219f -=-⨯-+=，
()()()329log 92f f f -===.
故答案为：2.
【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单计算题型.
14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____. 【答案】
1
3
【解析】 【
分析】
根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率. 【详解】∵甲和乙都不可能是第一名， ∴第一名只可能是丙、丁或戊，
又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，
∴这三个人获得第一名是等概率事件， ∴丙是第一名的概率是13
. 故答案为：
13
. 【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.
15.若变量x ，y 满足约束条件28
{0403
x y x y +≤≤≤≤≤，则2z x y =+的最大值等于（ ）
A. 7
B. 8
C. 10
D. 11【答案】C
【解析】
试题分析：作出不等式组
28
{04
03
x y
x
y
+≤
≤≤
≤≤
所表示的可行域如下图所示，
直线4
x=交直线28
x y
+=于点()
4,2
A，作直线:2
l z x y
=+，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max
24210
z=⨯+=，故选C.
考点：本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题. 【此处有视频，请去附件查看】
16.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为________．
【答案】144π
【解析】
【分析】
易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.
【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球O的半径为R，此时V O－ABC＝V C－AOB＝×R2×R＝R3＝36，
故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.
故答案为144π.
【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 三.解答题（本题共5小题，共70分） 17.已知函数()2
2cos
sin 2x f x a x b ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
. （1）当1a =时，求()f x 的单调递增区间；
（2）当0a >，且[]0,x π∈时，()f x 的值域是[]3,4，求a ，b 的值. 【答案】（1）()32,244k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）21,3a b == 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，利用降幂公式2
2cos
1cos 2
x
x =+，和辅助角公式化简函数()214f x x b π⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭，再求函数的单调递增区间；
（2）类似于（1）的化简()2sin 4f x a x b a π⎛
⎫=
+++ ⎪⎝
⎭，先求4x π+的范围，再求
sin 4x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的范围，再用,a b 表示函数的最值，列方程组求解.
【详解】（1）当1a =时，
()2
2cos sin 1cos sin 2x x b x x b f x =++=+++214x b π⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭.
由()222
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得：()32244
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；
（2）因为
()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()1cos sin 2sin 4a x x b a x b a π⎛
⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，
[]50,,sin 4444x x x π
ππππ⎡⎤⎛
⎫∈⇒+
∈⇒+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭2,12sin ,224a x a a π⎡⎤⎛
⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦
， 所以，()(
)
,
21f x b a b ⎡⎤∈++⎣
⎦
，又()f x 的值域是[]3,4，
所以3b =，2121
a =
=-+. 【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.
18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，其范围为
[]0,10，分别有五个级别：[)0,2T ∈畅通；[)2,4T ∈基本畅通；[)4,6T ∈轻度拥堵；
[)6,8T ∈中度拥堵；[]8,10T ∈严重拥堵.晚高峰时段（2T ≥），从某市交通指挥中心选取
了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.
（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[)4,6，[)6,8，[]8,10的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率. 【答案】（Ⅰ）2,3,1；（Ⅱ）3
5
P = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）分别求[)4,6，[)6,8，[]8,10这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽
取的路段的个数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，分别设2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，选取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，3B ，选取的1个严重拥堵路段为C ，然后按照列举法求概率. 【详解】（Ⅰ）由直方图可知：
()0.10.21206+⨯⨯=，()0.250.21209+⨯⨯=，()0.10.051203+⨯⨯=.
所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个. 拥堵路段共有69318++=个，按分层抽样从18个路段中选出6个， 每种情况分别为：
6
6218⨯=，69318⨯=，63118
⨯=， 即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1.
（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，选取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，
3B ，选取的1个严重拥堵路段为C ，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：
()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，
()12,B B ，()13,B B ，()1,B C ，()23,B B ，()2,B C ，()3,B C ，共15种可能，
其中至少有1个轻度拥堵的有：
()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，
共9种可能，所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为：93
155
P =
=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为8
3
，求该四
棱锥的侧面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）623+. 【解析】
试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设
PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且
2
2,2
AD a PO a ==
，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四
棱锥的侧面积.
试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD P ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．
（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．
由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =
，2
PE x =
． 故四棱锥P ABCD -的体积311
33
P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得
318
33
x =，故2x =． 从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD
-侧面积为
111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21
sin606232
BC +︒=+． 20.已知函数()2
x
e x
f x a =-，曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为1y bx =+.
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求()f x 在[]0,1上的最大值.
【答案】（Ⅰ）1a =，2b e =-；（Ⅱ）()max 1f x e =-. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义可知()11f b =+，和()1f b '=，求a ，b 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()2
x
f x e x =-，先求()2x f
x e x '
=-，再求()2x f x e ''=- ，利
用()f x ''的正负，分析()f x '的单调性，并求()f x '的最小值，并判断()y f x =的单调性，求函数的最大值.
【详解】（Ⅰ）()'2x
f x e ax =-，
由题设得()'12f e a b =-=，()11f e a b =-=+， 解得1a =，2b e =-
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2
x
f x e x =-，所以()'2x f x e x =-，()''2x
f x e =-，
所以()'f x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 所以()()''ln 222ln 20f x f ≥=->，
所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()max 11f x f e ==-.
【点睛】本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数()f x ''的正负，分析()f x '的单调性，
21.如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率3e =.
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动
点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）是定值，52 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据已知条件列方程组2
222
a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，求解椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点C 的坐标，并求直线OC 的方程20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，根据三点共线求1y 和2y
，并表示2125OM ON y y y ==.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知：2
22
2
a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b =⎧⎨=⎩，
所以椭圆Γ的方程：2
214
x y +=；
（Ⅱ）由已知，点C 的坐标为11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，得直线OC 的方程为20x y -=， 设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，
因P ，A ，M 三点共线，故01
10222y y y x =--，整理得0100222y y x y -=--，
因P ，B ，N 三点共线，故02201
12y y y x --=，整理得020022
x y x y =-+， 因点P 在椭圆Γ上，故22
0044x y +=，
从而()000012200000022222224y x x y y y x y x y x y --=
⋅=---+--0022
000021
4442
x y x y x y -==+--，
所以2125
52
OM ON y y ===
为定值.
【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N 的纵坐标并用点P 的纵坐标表示，并将OM ON 表示
2125y y y =，这样问题迎刃而解.
22.已知直线l ：1cos {
sin x t y t α
α
=-+=（t 为参数，a 为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：2
6cos 50ρρθ-+=. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；
（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为(,)x y ，求x y +的取值范围. 【答案】（1）56
6
π
π
或
；（2
）3⎡-+⎣ 【解析】
【详解】（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2
650x y x +-+= 即2
2
(3)4x y -+=曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆. 直线l 的方程为:sin cos sin 0x y ααα-+=
∵直线l 与曲线C 相切
2=
即1
sin 2α=
∴a=566
ππ或
（2）设32cos ,2sin x y θθ=+=
则x y +=32cos 2sin θθ+
+3)4
π
θ=++
∴x y +
的取值范围是3⎡-+⎣.
.
23.若实数x ，y ，m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （Ⅰ）若2x 比1接近3，求x 的取值范围；
（Ⅱ）已知,a b ∈R ，0m >且a b ¹，求证：1a mb m ++
接近0.
【答案】（Ⅰ）15,22⎛⎫
⎪⎝⎭
；（Ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可知23132x -<-=，转化为解含绝对值不等式；
（Ⅱ）利用分析法转化为证明
001
a mb
m +-<+，然后两边平方，逐步转化为
使命题成立的充分条件.
【详解】（Ⅰ）由已知得23132x -<-=， 则2232x -<-<，∴15
22
x <<， ∴x 的取值范围为15,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（Ⅱ） 要证1a mb m ++接近0，
只需证
001
a mb
m +-<+，
只需证
2
1
a mb
m +<
+，
只需证()(
)()2
2
2
1a mb a mb
m +<++，
即证(
)22
2amb a b
m <+.
∵,a b ∈R ，0m >且a b ¹，∴(
)2
2
2amb a b
m <+显然成立，
∴1a mb m ++接近0.
【点睛】本题考查解含绝对值不等式，以及分析法证明不等式，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型.。