福建省建瓯市第二中学高考数学专题复习 抛物线测试题

抛物线
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的焦点,则a=( )
A.1
B.4
C.8
D.16
2.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( )
A.x2=4y
B.x2=-4y
C.y2=-12x
D.x2=-12y
3.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
4.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( )
A.5
B.4
C.
D.
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的3个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以
|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形( )
A.不存在
B.必是锐角三角形
C.必是钝角三角形
D.必是直角三角形
6.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是( )
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=16x或y=0(x<0)
7.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.
8.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=.
9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足NF=MN,则∠NMF=.
10.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C在抛物线上,若=0,求||+||+||的值.
11.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.
12.(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
1．答案:C
解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为,双曲线的焦点为(0,2),依题意则有=2,解得a=8.
2．答案:D
解析:由题意得c==3,
∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).
∴该抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.
3．答案:A
解析:由题意,得1+=5,∴p=8.∴m=4.∴M(1,4).
又A(-,0),∴直线AM的斜率为k AM=.
∴.∴a=.
4．答案:C
解析:设抛物线的焦点为F,则F(1,0).
由抛物线的定义可知d1=|PF|,
∴d1+d2=|PF|+d2.
∴d1+d2的最小值为|PF|+d2的最小值,
即点F到直线x+2y-12=0的距离.
∴最小值为.
5．答案:B
解析:设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),
由抛物线定义得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能构成三角形,|FC|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角形必是锐角三角形.
6．答案:C
解析:∵点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且P点到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则p=8.故点P的轨迹方程为y2=16x.
7．答案:x2+(y-4)2=64
解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=-4,则圆心为(0,4),半径长r=8.所以,圆的方程为x2+(y-4)2=64.
8．答案:
解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可得,x1+1=3,
∴x1=2.∴A点坐标为(2,2),
则直线AB的斜率为k==2.
∴直线AB的方程为y=2(x-1).
由消去y得,2x2-5x+2=0,
解得x1=2,x2=.∴|BF|=x2+1=.
9．答案:
解析:过N作准线的垂线,垂足是P,则有PN=NF,
∴PN=MN,∠NMF=∠MNP.
又cos∠MNP=,∴∠MNP=,即∠NMF=.
10．解:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
∵F(1,0),
∴=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,
∴
∴||+||+||=x1++x2++x3+=3+3=6.
11．解:如图,依题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.
设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,
即x1++x2+=8.①
又A(x1,y1), B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
由
消去y,得x2-3px+=0,
∴x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.
∴所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x. 12．解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,
由,结合c>0,
解得c=1.
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,
即y=x2,求导得y'=x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,
即x1x-2y-2y1=0,
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.
所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
联立方程
消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.
由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=, 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=-2y0+1.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.
所以-2y0+1=2+2y0+5=2.
所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.。