第八章 多元函数(内)
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微 积 分 第八章 多元函数微积分
(2)平面方程 平面方程. 平面方程 设有点A(1, 2, 3)和B(2, −1, 4), 求线段 的垂直 例3 设有点 , , 和 , , , 求线段AB的垂直 平分面的方程. 平分面的方程 由题意知道, 解:由题意知道, 所求的平面就是与 和B等距离的 由题意知道 所求的平面就是与A和 等距离的 点的几何轨迹. 点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 , , 为所求平面上的任一点, 为所求平面上的任一点 |AM|=|BM| , = 即
x
微 积 分 第八章 多元函数微积分
o
坐标面 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一 个平面, 这种平面称为坐标面 平面称为坐标面. 个平面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和 面和zOx面. 三个坐标面分别称为 面和 面 卦限: 卦限 坐标面把空间分成八个 八个部 坐标面把空间分成八个部 每一部分叫做卦限 卦限, 分, 每一部分叫做卦限, 分别用 字母I、 、 、 等表示 等表示. 字母 、II、III、IV等表示.
2 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 1
2
2
2
1
2
2
2
= DE + FG
2
p1 p + ( x OF ) = ( OD − OE2) 2= ( OG 2−− x1) 2 + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) F
2 2
2 2 E = ( x21 x求空间中点 例 − 求空间中点(2,4,-1)到坐标轴 到坐标轴 1 ) + ( y2 − y1 )
微 积 分 第八章
z轴 原点
• ⋅
z
o
y
y轴
x
x轴
说明： 通常把x轴和 轴和y轴 说明 ： 通常把 轴和 轴
配置在水平面上, 配置在水平面上 而z轴则 轴则 是铅垂线. 是铅垂线
多元函数微积分
坐标轴的正向: 坐标轴的正向 三个坐标轴的正方 遵循右手系法则,即 向,遵循右手系法则 即: 遵循右手系法则 右手伸直,大拇指朝上为 右手伸直 大拇指朝上为 z 轴的正方向，四指指 轴的正方向， 向为 x 轴的正方向 然 轴的正方向,然 后掌心不动， 后掌心不动，四指弯曲 90度后的指向为 y 轴 度后的指向为 的正方向, 的正方向 这样就建立 空间直角坐标系。 了空间直角坐标系。
⋅
微 积 分
第八章
多元函数微积分
垂直于三个坐标轴,那么这三个平面必然交于一个点 垂直于三个坐标轴 那么这三个平面必然交于一个点. 那么这三个平面必然交于一个点 z 在直角三角形 ∆p1 p2 H 中 显然有 可见空间中任何一个点 p 必然与一个三元有序数组 p p H p= + p H p 1 = H AB (a, b, c) 有一一对应关系 于是 我们称三元有序数组 有一一对应关系.于是 于是,我们称三元有序数组 = AB + ( p B − HB ) p2(x2, y2,z2) CB) 为点 (pp的坐标 记作 p (a, b, c) z (a, b, c == FG 的坐标,记作 AB + B − p A) ⋅ 、 + (z p1(x1, y1,z1) AC三= DE − z ) = AB 空间两点间的距离 y o ⋅ 而在直角三角形 y∆ABC 2中2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点 则这 p1 ( x1 , 1 , z1 ), p ( x 为空间任意两点, H p 1设 = HB A x AB = AC + CB 两点之间的距离为
微 积 分
第八章
多元函数微积分
二、空间中点的坐标 设 p为空间中任意一个点 过 p点分别作三个平 为空间中任意一个点, 轴垂直, 面,并使得其分别与 ox 轴 oy 轴 oz 轴垂直 则该三个平 并使得其分别与 面分别与三个坐标轴各有唯一一个交点A、B、C, 设 面分别与三个坐标轴各有唯一一个交点 OA = a, OB = b, OC = c, 那么 z 点 p 唯一确定了一个三元的 C c 有序数组 ( a , b , c ); 反过来 对 反过来,对 于任意一个三元有序数 p 组 (a, b, c), 必可以分别在 ox B y 轴、 oy 轴、 oz 轴上找到一 o b A 个点A、 、 使得 个点 、B、C,使得 a 然后, OA = a, OB = b, OC = c, 然后 x 图 8-1 分别过A、 、 三点作平 分别过 、B、C三点作平 见右图所示),使其分别 面(见右图所示 使其分别 见右图所示
微 积 分 第八章 多元函数微积分
(1)球面方程 球面方程
的球面的方程. 例1建立球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为 的球面的方程. 建立球心在点 、半径为R的球面的方程
是球面上的任一点, 解:设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么 设 , , 是球面上的任一点 |M0M|=R, = , 即 或 (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2. − − − 因为球面上的点的坐标一定满足 上述方程, 上述方程, 而不在球面上的点的 坐标都不满足这个方程, 坐标都不满足这个方程, 所以上 述方程就是所求的球面的方程. 述方程就是所求的球面的方程.
微 积 分 第八章
z
o x
y
多元函数微积分
坐标面: 坐标面: 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定 一个平面, 这种平面称为坐标面. 一个平面 这种平面称为坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和 面和zOx面. 三个坐标面分别称为 面和 面
z
oyz
y
oxz
2
2
ox 的距离. D 因此 B x 轴的距离C 显然即为点(0,4,(2,4,-1)到 (0,4,解 点(2,4,-1)到 轴的距离,显然即为点(0,4, , 2 p1 p2 = 1)到原点(0,0,0)的距离, 于是其距离为: 到原点(0,0,0)的距离, 1)到原点(0,0,0)的距离x 于是其距离为
第八章 多元函数微积分
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6 §8.7 §8.8 §8.9
微 积 分
空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数 全微分 复合函数的微分法 隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分
多元函数微积分
第八章
第八章 多元函数
§8.1 空间解析几何简介 一、空间直角坐标系 为了确定空间上一个点的 位置， 位置，我们需要引入空间直 角坐标系． 角坐标系． 为此,过空间中一点 为此 过空间中一点 o , 分别作 三条互相垂直的数轴 ox, oy , oz (见右图所示)，常称这三条 见右图所示) 数轴为三个坐标轴， 数轴为三个坐标轴，分别 记为 ox 轴、 oy 轴 和 oz 轴.
在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.
曲面方程的定义: 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 如果曲面 与三元方程 F(x, y, z)=0 , , = 有下述关系: 有下述关系: (1)曲面 上任一点的坐标都满足 曲面S上任一点的坐标都满足 曲面 方程F(x, y, z)=0; 方程 , , = ; (2)不在曲面 上的点的坐标都不 不在曲面S上的点的坐标都不 不在曲面 满足方程F(x, y, z)=0, 满足方程 , , = , 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面 的方程, 而曲面 就叫做曲面S的方程 那么, 方程 , , = 就叫做曲面 的方程, 而曲面S 就叫做方程F(x, y, z)=0的图形 的图形. 就叫做方程 = 的图形
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 4) 2
等式两边平方, 等式两边平方方程.
2x−6y+2z−7=0. − + − = .
一般地, 平面方程为三元一次方程: + + + = 一般地 平面方程为三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0
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(3) 圆柱面的方程 表示怎样的曲面？ 例4方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？ 方程 在空间直角坐标系中, 面上的圆x 解:在空间直角坐标系中, 过xOy面上的圆 2+y2=R2 在空间直角坐标系中 面上的圆 平行于z 轴的直线l, 则直线l上的点都满足方程 作 平行于 轴的直线 , 则直线 上的点都满足方程 x2+y2=R2, 这说明直线 一定在 2+y2=R2表示的曲面上. 这说明直线l 一定在x 因此这个曲面可以看成是由平 行于z轴的直线 沿 xOy面上的圆 行于 轴的直线l沿 面上的圆 轴的直线 x2+y2=R2移动而形成的. 移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面. 这曲面叫做圆柱面. xOy面上的 面上的 叫做它的准线, 圆 x2+y2=R2 叫做它的准线 , 这平 行于z轴的直线 叫做它的母线. 轴的直线l叫做它的母线 行于 轴的直线 叫做它的母线.
( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2
o
B((04,−11) 0, ,4,− ) G
A A( 2,4,−1)
y
d =
(0 − 0 ) + (4 − 0 ) + (− 1 − 0 )
2 2
图 8-2 2
=
17
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第八章
多元函数微积分
四、曲面与方程
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(x − x0)2 +(y − y0)2 +(z − z0)2 = R.
研究曲面的两个基本问题: 研究曲面的两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时 方程; 方程; (2)已知坐标 、y和z间的一个方程时, 研究这方程所 已知坐标x、 和 间的一个方程时 间的一个方程时, 已知坐标 表示的曲面的形状. 表示的曲面的形状 方程x 表示怎样的曲面？ 例2 方程 2+y2+z2−2x+4y=0表示怎样的曲面？ + = 表示怎样的曲面 通过配方, 解:通过配方, 原方程可以改写成 通过配方 (x−1)2+(y+2)2+z2=5. − + . 这是一个球面方程, 球心在点(1, 这是一个球面方程 球心在点 -2, 0)、半径为 R = 5. 、 一般地, 一般地, 三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0 (A≠0) + + + = 的图形就是一个球面. 的图形就是一个球面.
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§8.2 二元函数的概念 1. 二元函数的定义 定义8.2 设D是二元有序数组构成的集合 是 是二元有序数组构成的集合,E是 定义 是二元有序数组构成的集合 一实数集, 如果对于D中的每一个元素 一实数集 如果对于 中的每一个元素( x, y ), 按照某 在集合E中都有唯一确定的实数 一对应关系 f ,在集合 中都有唯一确定的实数 z 与 之对应, 的二元函数,记作 之对应 则称 z 为 x 、y 的二元函数 记作 z = f (x, y). 称为自变量,称 为因变量, D为该函数 其中 x, y 称为自变量 称 z 为因变量, 称D为该函数 定义域, 为对应法则. 的定义域 称 f 为对应法则 该定义可以推广到三元以上的函数情形. 注1:该定义可以推广到三元以上的函数情形 该定义可以推广到三元以上的函数情形 以上的函数统称为多元函数 多元函数.可见 注2:二元及二元以上的函数统称为多元函数 可见 二元及 二元函数是多元函数中最简单的,又因二元函数与其 二元函数是多元函数中最简单的 又因二元函数与其 它多元函数有极类似的性质,故我们研究二元函数即 它多元函数有极类似的性质 故我们研究二元函数即 可.
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例3 求函数 z = x + y 的定义域 并画出其所表 的定义域,并画出其所表 y 示的平面区域. 示的平面区域 要使该函数有意义, 解: 要使该函数有意义 须有
x≥0 −∞ < y < +∞
(2)平面方程 平面方程. 平面方程 设有点A(1, 2, 3)和B(2, −1, 4), 求线段 的垂直 例3 设有点 , , 和 , , , 求线段AB的垂直 平分面的方程. 平分面的方程 由题意知道, 解:由题意知道, 所求的平面就是与 和B等距离的 由题意知道 所求的平面就是与A和 等距离的 点的几何轨迹. 点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 , , 为所求平面上的任一点, 为所求平面上的任一点 |AM|=|BM| , = 即
x
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o
坐标面 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一 个平面, 这种平面称为坐标面 平面称为坐标面. 个平面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和 面和zOx面. 三个坐标面分别称为 面和 面 卦限: 卦限 坐标面把空间分成八个 八个部 坐标面把空间分成八个部 每一部分叫做卦限 卦限, 分, 每一部分叫做卦限, 分别用 字母I、 、 、 等表示 等表示. 字母 、II、III、IV等表示.
2 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 1
2
2
2
1
2
2
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= DE + FG
2
p1 p + ( x OF ) = ( OD − OE2) 2= ( OG 2−− x1) 2 + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) F
2 2
2 2 E = ( x21 x求空间中点 例 − 求空间中点(2,4,-1)到坐标轴 到坐标轴 1 ) + ( y2 − y1 )
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z轴 原点
• ⋅
z
o
y
y轴
x
x轴
说明： 通常把x轴和 轴和y轴 说明 ： 通常把 轴和 轴
配置在水平面上, 配置在水平面上 而z轴则 轴则 是铅垂线. 是铅垂线
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坐标轴的正向: 坐标轴的正向 三个坐标轴的正方 遵循右手系法则,即 向,遵循右手系法则 即: 遵循右手系法则 右手伸直,大拇指朝上为 右手伸直 大拇指朝上为 z 轴的正方向，四指指 轴的正方向， 向为 x 轴的正方向 然 轴的正方向,然 后掌心不动， 后掌心不动，四指弯曲 90度后的指向为 y 轴 度后的指向为 的正方向, 的正方向 这样就建立 空间直角坐标系。 了空间直角坐标系。
⋅
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垂直于三个坐标轴,那么这三个平面必然交于一个点 垂直于三个坐标轴 那么这三个平面必然交于一个点. 那么这三个平面必然交于一个点 z 在直角三角形 ∆p1 p2 H 中 显然有 可见空间中任何一个点 p 必然与一个三元有序数组 p p H p= + p H p 1 = H AB (a, b, c) 有一一对应关系 于是 我们称三元有序数组 有一一对应关系.于是 于是,我们称三元有序数组 = AB + ( p B − HB ) p2(x2, y2,z2) CB) 为点 (pp的坐标 记作 p (a, b, c) z (a, b, c == FG 的坐标,记作 AB + B − p A) ⋅ 、 + (z p1(x1, y1,z1) AC三= DE − z ) = AB 空间两点间的距离 y o ⋅ 而在直角三角形 y∆ABC 2中2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点 则这 p1 ( x1 , 1 , z1 ), p ( x 为空间任意两点, H p 1设 = HB A x AB = AC + CB 两点之间的距离为
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二、空间中点的坐标 设 p为空间中任意一个点 过 p点分别作三个平 为空间中任意一个点, 轴垂直, 面,并使得其分别与 ox 轴 oy 轴 oz 轴垂直 则该三个平 并使得其分别与 面分别与三个坐标轴各有唯一一个交点A、B、C, 设 面分别与三个坐标轴各有唯一一个交点 OA = a, OB = b, OC = c, 那么 z 点 p 唯一确定了一个三元的 C c 有序数组 ( a , b , c ); 反过来 对 反过来,对 于任意一个三元有序数 p 组 (a, b, c), 必可以分别在 ox B y 轴、 oy 轴、 oz 轴上找到一 o b A 个点A、 、 使得 个点 、B、C,使得 a 然后, OA = a, OB = b, OC = c, 然后 x 图 8-1 分别过A、 、 三点作平 分别过 、B、C三点作平 见右图所示),使其分别 面(见右图所示 使其分别 见右图所示
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(1)球面方程 球面方程
的球面的方程. 例1建立球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为 的球面的方程. 建立球心在点 、半径为R的球面的方程
是球面上的任一点, 解:设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么 设 , , 是球面上的任一点 |M0M|=R, = , 即 或 (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2. − − − 因为球面上的点的坐标一定满足 上述方程, 上述方程, 而不在球面上的点的 坐标都不满足这个方程, 坐标都不满足这个方程, 所以上 述方程就是所求的球面的方程. 述方程就是所求的球面的方程.
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z
o x
y
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坐标面: 坐标面: 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定 一个平面, 这种平面称为坐标面. 一个平面 这种平面称为坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和 面和zOx面. 三个坐标面分别称为 面和 面
z
oyz
y
oxz
2
2
ox 的距离. D 因此 B x 轴的距离C 显然即为点(0,4,(2,4,-1)到 (0,4,解 点(2,4,-1)到 轴的距离,显然即为点(0,4, , 2 p1 p2 = 1)到原点(0,0,0)的距离, 于是其距离为: 到原点(0,0,0)的距离, 1)到原点(0,0,0)的距离x 于是其距离为
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§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6 §8.7 §8.8 §8.9
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空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数 全微分 复合函数的微分法 隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分
多元函数微积分
第八章
第八章 多元函数
§8.1 空间解析几何简介 一、空间直角坐标系 为了确定空间上一个点的 位置， 位置，我们需要引入空间直 角坐标系． 角坐标系． 为此,过空间中一点 为此 过空间中一点 o , 分别作 三条互相垂直的数轴 ox, oy , oz (见右图所示)，常称这三条 见右图所示) 数轴为三个坐标轴， 数轴为三个坐标轴，分别 记为 ox 轴、 oy 轴 和 oz 轴.
在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.
曲面方程的定义: 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 如果曲面 与三元方程 F(x, y, z)=0 , , = 有下述关系: 有下述关系: (1)曲面 上任一点的坐标都满足 曲面S上任一点的坐标都满足 曲面 方程F(x, y, z)=0; 方程 , , = ; (2)不在曲面 上的点的坐标都不 不在曲面S上的点的坐标都不 不在曲面 满足方程F(x, y, z)=0, 满足方程 , , = , 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面 的方程, 而曲面 就叫做曲面S的方程 那么, 方程 , , = 就叫做曲面 的方程, 而曲面S 就叫做方程F(x, y, z)=0的图形 的图形. 就叫做方程 = 的图形
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 4) 2
等式两边平方, 等式两边平方方程.
2x−6y+2z−7=0. − + − = .
一般地, 平面方程为三元一次方程: + + + = 一般地 平面方程为三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0
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(3) 圆柱面的方程 表示怎样的曲面？ 例4方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？ 方程 在空间直角坐标系中, 面上的圆x 解:在空间直角坐标系中, 过xOy面上的圆 2+y2=R2 在空间直角坐标系中 面上的圆 平行于z 轴的直线l, 则直线l上的点都满足方程 作 平行于 轴的直线 , 则直线 上的点都满足方程 x2+y2=R2, 这说明直线 一定在 2+y2=R2表示的曲面上. 这说明直线l 一定在x 因此这个曲面可以看成是由平 行于z轴的直线 沿 xOy面上的圆 行于 轴的直线l沿 面上的圆 轴的直线 x2+y2=R2移动而形成的. 移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面. 这曲面叫做圆柱面. xOy面上的 面上的 叫做它的准线, 圆 x2+y2=R2 叫做它的准线 , 这平 行于z轴的直线 叫做它的母线. 轴的直线l叫做它的母线 行于 轴的直线 叫做它的母线.
( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2
o
B((04,−11) 0, ,4,− ) G
A A( 2,4,−1)
y
d =
(0 − 0 ) + (4 − 0 ) + (− 1 − 0 )
2 2
图 8-2 2
=
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四、曲面与方程
微 积 分 第八章 多元函数微积分
(x − x0)2 +(y − y0)2 +(z − z0)2 = R.
研究曲面的两个基本问题: 研究曲面的两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时 方程; 方程; (2)已知坐标 、y和z间的一个方程时, 研究这方程所 已知坐标x、 和 间的一个方程时 间的一个方程时, 已知坐标 表示的曲面的形状. 表示的曲面的形状 方程x 表示怎样的曲面？ 例2 方程 2+y2+z2−2x+4y=0表示怎样的曲面？ + = 表示怎样的曲面 通过配方, 解:通过配方, 原方程可以改写成 通过配方 (x−1)2+(y+2)2+z2=5. − + . 这是一个球面方程, 球心在点(1, 这是一个球面方程 球心在点 -2, 0)、半径为 R = 5. 、 一般地, 一般地, 三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0 (A≠0) + + + = 的图形就是一个球面. 的图形就是一个球面.
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§8.2 二元函数的概念 1. 二元函数的定义 定义8.2 设D是二元有序数组构成的集合 是 是二元有序数组构成的集合,E是 定义 是二元有序数组构成的集合 一实数集, 如果对于D中的每一个元素 一实数集 如果对于 中的每一个元素( x, y ), 按照某 在集合E中都有唯一确定的实数 一对应关系 f ,在集合 中都有唯一确定的实数 z 与 之对应, 的二元函数,记作 之对应 则称 z 为 x 、y 的二元函数 记作 z = f (x, y). 称为自变量,称 为因变量, D为该函数 其中 x, y 称为自变量 称 z 为因变量, 称D为该函数 定义域, 为对应法则. 的定义域 称 f 为对应法则 该定义可以推广到三元以上的函数情形. 注1:该定义可以推广到三元以上的函数情形 该定义可以推广到三元以上的函数情形 以上的函数统称为多元函数 多元函数.可见 注2:二元及二元以上的函数统称为多元函数 可见 二元及 二元函数是多元函数中最简单的,又因二元函数与其 二元函数是多元函数中最简单的 又因二元函数与其 它多元函数有极类似的性质,故我们研究二元函数即 它多元函数有极类似的性质 故我们研究二元函数即 可.
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例3 求函数 z = x + y 的定义域 并画出其所表 的定义域,并画出其所表 y 示的平面区域. 示的平面区域 要使该函数有意义, 解: 要使该函数有意义 须有
x≥0 −∞ < y < +∞