二元函数极限 共33页

PP0
PP0
PE1
PD
推论2 设E1, E2 D，P0是它们的聚点，
若
存
在
极
限 l i mf
PP0
(P)

A1，Pl i Pm0 f
(P)

A2
PE1
PE2
但A1

A2，
则l i mf PP0
(P)不
存
在 .
PD
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推论3 极限lim f (P) A的充要条件是： PP0 PD
证明 lim f(x,y)0 (x,y) (0,0)
证 作极坐标变换 xrco ,syrsin ， 这(x 时 ,y) (0,0)等价于 都 对r有 任 0， 何
由 于 | f(x,y)-0||xyx x2 2 y y2 2|
1r2|sin4|1r2
4
4
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都有 f (P ) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时， 存在非正常极限 ,记作
lim f ( P ) 或 lim f ( P )
( x , y ) ( x0 , y0 )
P P0
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例 5设 f(x ,y ) 2 x 2 1 3 y 2,证 (x ,y l) 明 i(0 ,0 m )f(x ,y ) 证因 明为 2x21 3 由 2y 4(x21 y2)M
PP0 PD
简记为
limf(P)A
PP0
也记为
limf(x,y)A
(x,y) (x0,y0)
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极限的方邻域定义：
设 f ( x, y ) 为 D R2 上的二元函数，P0 (x0, y0 )为 D
的一个聚点， A 是一个实数. 若 0,0,
使得当 |x x 0 | , |y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( x , , y ) D
|x - 2 ||x y 2 | |y - 1 ||y 3 |
因为 (x,y)(2， 1)，不妨限制在点 (2, 1) 的
1的方 {x (,y 邻 )||x-2 域 |1|y ,-1|1内 } 讨
于是有 |x y 2 | |x 2 | |y 1 | 5 7
定(0 点 ,0)时 , 因 而 (x,y l) if(0 (,m 0 x 有 ),fy()x ,y f)( x,lx m i0)m fx (x 1, m m m )2 x1 m m 2
y m x
这说明动点沿不 m的 同直 斜线 率趋于原点 应的极限值,也 因不 此同 所讨论的极 在.限不
z = x2 + y2 + 1
在平面上的(0,0)点处
有
lim(x2
x0

y2
1)

1
y0
(和的极限等于极限的和)
故：在xoy平面上
.
点 (x,)y 以 任 何 方 (0,式 0)
1
都有 z 1
.
o
例如： (x,) y沿 y k .x (0,0)
有 z 1
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若 对y 每 E y,y 一 y0,存 个 在 x l ix 0m f极 (x ,y)限 ,
记作 (y)limf(x,y),
x E x
xx0 xEx
若 存 在 极 L限 lim(y),则 称 此 极 限 为 yy0 yEy
二 元 函f数 先 对x后 对y的 累 次 极 , 并限 记 作
二元函数的极限 累次极限
一 二元函数的极限
定义 为D
1 设 f 为定义在 的一个聚点， A
是D一 个R2实上数的. 二若元 函 数0,，P00,
使得当 PU0(P0;)D时，都有
| f(P)A|
则称 f 在 D 上当 P → P0 时，以 A 为极限，记为
lim f (P) A
的一个聚点， A 是一个实数. 若 0,0,
使得当 0(x x 0)2 (yy 0)2,(x ,y ) D
时，都有
|f(x,y)A|
则称 f 在 D 上当 ( x, y ) → (x0, y0 ) 时，以 A 为极 限，记为
lim f(x,y)A
(x,y)(x0,y0) (x,y)D
就有
|x 2 x y y 2 | 7 x - ( 2 | ||y - 1 | ) 7 2
所 l以 im (x2x yy2)7 (x,y) (2,1)
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例2 设
f(x,y)xyxx22 yy22, (x,y)(0,0)
0
(x,y)(0,0)
也记为
limf(x,y)A
(x,y) (x0,y0)
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注：从形式上看，二元函数极限的定义与一元 函数极限的定义类似. 但二元函数极限远比一元 函数极限要复杂得多，这主要体现在，平面上 P → P0 的方式，要比直线上 x → x0 的方式要复 杂得多. 但不管以什么方式 P → P0 , f 都要以 A 为极限.
时，都有
|f(x,y)A|
则称 f 在 D 上当 ( x, y ) → (x0, y0 ) 时，以 A 为极 限，记为
lim f(x,y)A
(x,y)(x0,y0) (x,y)D
也记为
limf(x,y)A
(x,y) (x0,y0)
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极限的圆邻域定义：
设 f ( x, y ) 为 D R2 上的二元函数，P0 (x0, y0 )为 D
对 于D的任一满足条Pn件 P0， 且lnim Pn P0 的 点 列{Pn},它 所 对 应 的 函 数 列 { f (Pn)}都收敛.
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例3
讨论f
( x,
y)

xy x2 y2
当(x, y) (0, 0)时是否存在极. 限
解当动 (x,y点 )沿着y直 m线 而 x 趋于
同 时 以 任 何 方x式 0, y0趋 ，这 于种 极 限 也 称
重 极.限 下面考x察 与y依一定的先后顺趋序于相继 x0 与y0 时f 的极,限 这种极限称为累. 次
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定 3 设 义 E x ,E y R ,x 0是 E x的,y 聚 0是 E y的 点 ,
二元f在 函集 数 DE 合 xEy上有 , 定
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例 4 二元函数
1 0yx2, x
f(x,y) 0
其余部分
当 (x, y ) 沿直线趋于原
点时，相应的 f (x, y)
y
都趋于零.
当 (x, y ) 沿抛物线
y = k x2 ( 0< k <1 )
f 0
趋于原点时，相应的
f (x, y) 却趋于 1.
|y 3 | |y 1 4 | |y 1 | 4 5 上一页 下一页 主页
所以
|x 2 x y y 2 7 | 7 |x 2 | 6 |y 1 |
7x (-|2||y-1|)
0，取 mi1n, {}，
14
当 |x-2| ,|y-1 | ,(x ,y) (2时 ,1) ，
x 0 x
两个累次极限都存在，下面考察其重极限：
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考察沿不同路径趋于原点：
当 x 轴 : 沿 y 0 ,(x ,y ) ( 0 ,0 ) 时 ,
xyx2y2
xx2
lim
lim
(x,y)(0,0)
xy
x (x,y)(0,0)
y0
y0
lim (1x)1 x0
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例7 设f(x,y)xyx2y2 ,讨论它关 xy
点的两个累次极 极限 限 . 与重
解:两个累次极限: 分别为
xyx2 y2
y2 y
limlim
lim
1
y0 x0
xy
y0 y
xyx2y2
x2x
lim lim
lim 1
x 0y 0
xy
Llimlimf(x, y)或 简 记L作limlimf(x, y).
yy0 xx0 yEy xEx
yy0 xx0
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类似地可以定义 y后先对对 x的累次极限 Klimlimf(x, y)
xx0 yy0
lim(limf(x, y)). xx0 yy0
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0，取 2 ，当0r x2y2 时， 不管 取什么 ,都值 有
|f(x,y)0|1r212,
44 即l i mf(x,y)0
(x,y) (0,0)
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另解： 因为
x2y2
|x2y2|
| f(x ,y)-0| |xy x2y2| |x|y2|x|y
| x2 | | y2 |
2
所 以 0，取 ，
当 |x|,|y|,(x,y)(0 ,0 )时 ，
|f(x ,y) 0||x|2 |y|22 2 2 ,
2
2
即l i mf(x,y)0 (x,y) (0,0)
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z
二元函数重极限的演示
例 8设f(x,y)xsi1 nysi1 n
y
x
f 的两个累次极限都不存在。
因 |为 xsi1 nysi1 n||x||y| yx
所以 f 的重极限存在，且
limf(x,y)0
(x,y) (0,0)
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定理 16.6若重极限 lim f(x, y)与 (x,y)(x0,y0)
当 y 轴 : 沿 x 0 ,(x ,y ) (0 ,0 ) 时 ,
xyx2y2
yy2
lim
lim
(x,y)(0,0)
xy
(x,y)(0,0)
y
x0
x0
lim (1y)1
y0
所以 lim
xyx2y2不存 .
在
(x,y) (0,0)
xy
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于 是x2有 y2 1 , x2 y2 1 ,
4M
2M
M0,取 1 , 当0 x2y2 时
2M
就2有 x21 32y 4(x21 y2)412M ,
所,以 limf(x,y) (x,y) (0,0)
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二 累次极限
在 极 限lim f(x, y)中，两 个 自 变 x, 量 y (x, y)(x0, y0)
累次极li限 mlimf(x, y)都存,在 xx0 yy0
则 lim f(x, y)limlimf(x, y).
(x,y)(x0,y0)
xx0 yy0
证 明 :设 lim f(x,y)A, (x,y)(x0,y0)
要 证 :limlimf(x,y)A. xx0 yy0 设lim f(x,y)(x) y y0 则 只 需 :li证 m (x)明 A. x x0
y
y=kx
x
定理 16.5 lim f (P) A 的充要条件是： PP0 PD
对 D 的任一子集 E ，只要 P0 是 E 的聚点，
就有
lim f (P) A
PP0 PE
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推论 1 设E1D，P0是E1的聚点，
若limf(P)不存 ，则 在limf(P)也不.存在
例6
设f(x,
y)
xy x2 y2
,当(x,
y)(0,
0)时
f 的重极限不 ,下存面在考察累.次极限
ly i0lx m i0m f(x,y)ly i0lx m i0m x2x yy 2ly i00 m 0 xy
lx i0ly m i0m f(x,y)lx i0ly m i0m x2y2lx i00 m 0
f 1
故 lim f(x,y)不存在 f 0 (x,y) f 为定义在 D R 2 上的二元
函数， P0 ( x 0 , y0 ) 为 D 的一个聚点，
若 M 0， 0,
使得当 P ( x , y ) U 0 ( P0 ; ) D 时，
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例 1 用定义证明 lim (x2x yy2)7 (x,y) (2,1)
证 因|x 为 2x yy27| |(2 x-4 )x-y 2(y 2-1|) |(- 2 x 2 ) () - 2 x 2 )- 1 y ( ( y ) - 1 y 1 )|( |( x -2x )y ( 2 (y )- 1y ) 3 |()