【易错题】数学高考第一次模拟试卷及答案

【易错题】数学高考第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．设1i 2i 1i z -=
++，则||z = A ．0 B ．12 C ．1 D ．2
2．定义运算()()
a a
b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ． C ． D ．
3．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( )
A ．2i -+
B ．2i --
C ．12i +
D ．12i -+ 4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是
（ ）
A ．①③④
B ．②④
C ．②③④
D ．①②③
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
6．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60
C ．80
D ．100
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A ．54钱
B ．
43钱 C ．32
钱 D ．53钱 8．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2}
9．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A ．7，5，8
B ．9，5，6
C ．7，5，9
D ．8，5，7
10．在如图的平面图形中，已知
1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为
A ．15-
B ．9-
C ．6-
D ．0 11．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）
A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2 12．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
二、填空题
13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．
14．若9()a
x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 15．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 16．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
17．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．
18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.
19．设函数21()ln 2
f x x ax bx =-
-，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________. 20．已知双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．
三、解答题
21．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
22．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值；
（2）若212z z =，求m ，n 的值.
23．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为)
5,05 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
24．设函数()15,f x x x x R =++-∈.
（1）求不等式()10f x ≤的解集；
（2）如果关于x 的不等式2
()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y at
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是
224πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =a 的值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，
因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩
， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.
【详解】
复数12i -+对应的点为(1,2)A -，
点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，
所以向量OB 对应的复数为2i -+．
故选A ．
【点睛】
该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.
【点睛】
本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
6．A
解析：A
【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不
同的放法总数是： 36240C = 种.
本题选择A 选项.
7．B
解析：B
【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则
22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又
225,
a d a d a a d a d -+-+++++=1a ,则44
22633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B. 8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果．
【详解】
解：由集合A 得x 1≥,
所以{}A B 1,2⋂=
故答案选C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】 由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555
⨯=，20956--=.故选：B 【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
10．C
解析：C
【解析】
分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，
由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()
33BC MN ON OM ==-，
由题意可知： 2
211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，
结合数量积的运算法则可得：
()2
333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.
本题选择C 选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
11．C
解析：C
【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．
解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，
当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素，
当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，
当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，
故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算
【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
二、填空题
13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3
解析：3
【解析】
【分析】
【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．
故答案为3．
14．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二 解析：1
【解析】
【分析】 先求出二项式9()a
x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可.
【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r r r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=， 故答案为1.
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标
为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使
解析：3 4
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方程，解之解得。

【详解】
圆
22cos,
12sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=+
⎩
化为普通方程为22
(2)(1)2
x y
-+-=，
圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，
2
=，解得
3
4
a=。

【点睛】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

16．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同
解析：16
【解析】
【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44
C=种选法，从6名学生中任意选3人有3
620
C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416
-=种，故答案是16.
【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
17．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB于D则D 为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答
解析：2
【解析】
【分析】
过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1
AD AB 12
=
=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1
cos A AC
=
，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅的值． 【详解】
过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．
Rt △ACD 中，1
AD AB 12
=
=， 可得cosA=
11
,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC
=∴⋅=⋅=⋅⋅==2． 故答案为2 【点睛】
本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．
18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画
解析：画画 【解析】
以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：
则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，
∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画
19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：
【解析】
试题分析：()f x 的定义域为()()1
0,,'f x ax b x
+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x
+-=
.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，
()'0f x >，此时()f x
单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1
x a
=-
.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1
1a
-
>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即 解析：25+
【解析】 【分析】
由题意可得00b
y x a
=
，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c
e a
=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b
y x a
=
，① 又12MF MF ⊥，可得
00001y y
x c x c
⋅=-+-， 即为222
00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，
由F 为焦点的抛物线2C ：2
2(0)y px p =>经过点M ， 可得2
2b pa =，且2
p
c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --= 由c
e a =
，可得2410e e --=，解得25e =+ 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范
围)．
三、解答题
21．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；（2）6
π． 【解析】
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为
12
×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π
6
）． 当θ∈[θ0，
π
2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×
800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π
2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，
π
2
）， 则()()
()()2
2
2
'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．
令()'=0f θ，得θ=π6
， 当θ∈（θ0，π
6
）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（
π6，π
2
）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π
6
时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.
22．（1（2）0,
1.m n =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长； （2）根据212z z =，化简得()2
212m i n ni -=--，列方程组即可求解.
【详解】
（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+， 所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以()2
212215z z +=+-=.
（2）若21
2z z =，则()
2
21m i ni -=-，
所以()2
212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩
解得0,
1.m n =⎧⎨=⎩
【点睛】
此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.
23．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
553a =⇒=，且有2235b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
2
2000094189360k
x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)
()22
20000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
，
化简得()2
2
00
940y kx k ---=，即()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=，
则1k 、2
k 是关于k 的一元二次方程()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
24．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞. 【解析】 【分析】
（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()2
7a f x x ≤+-，令()()()2
7g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果. 【详解】
（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}
37x x -≤≤ （2）由()()2
7f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+-
由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
令()()()
22
221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪
=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =
()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞
【点睛】
本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.
25．（1）l 的普通方程210ax y a +--=；C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=；（2
）【解析】 【分析】
（1）把直线l 的标准参数方程中的t 消掉即可得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程为ρ＝
（θ4π+
），展开得22
ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用x cos y sin ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
即可得出曲线C 的直角坐标方程； （2）先求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，再用垂径定理即可求解．
【详解】
（1）由直线l 的参数方程为21x t
y at
=+⎧⎨
=-⎩，所以普通方程为210ax y a +--=
由曲线C
的极坐标方程是4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，
所以2
2sin 2cos 4πρθρθρθ⎛
⎫
=+
=+ ⎪⎝
⎭
， 所以曲线C 的直角坐标方程是2
2
220x y x y +--=
（2）设AB 的中点为M ，圆心C 到直线AB 的距离为d
，则MA =， 圆()()2
2
:112C x y -+-=
，则r =
()1,1C ，
12
d MC ====,
由点到直线距离公式，12
d =
=
=
解得3a =±，所以实数a 的值为3
±
.
【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。