都匀市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

都匀市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=
C ．1x =或1y =
D ．20x y +-=或0x y -=
2． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．π21
C ．π121-
D ．π2141-
【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
3． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（
）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
4． 已知f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1，则f （log 35）=（ ） A
．
B
．﹣ C ．4
D
．
5． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
D
A
B
C
O
A
． B
． C
． D
．
6． 已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
7． 过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =
C ．24y x =
D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
8． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
9． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250
10．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i
11．已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9[,6]5
B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]
12．如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3
B ．增函数且最大值为3
C ．减函数且最小值为﹣3
D ．减函数且最大值为﹣3
二、填空题
13．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．
14．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ． 15．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：
113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…
若)(3
+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .
【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.
16．把函数y=sin2x 的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
17．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.
18．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．
三、解答题
19．在△ABC 中，cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0． （1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
20．如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91=0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
21．本小题满分10分选修41-：几何证明选讲
如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，
PE PA =，︒=∠45ABC ，1=PD ，8=DB ． Ⅰ求ABP ∆的面积； Ⅱ求弦AC 的长．
22．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g （x ）
=log ，当x ∈[，
]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．
23．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2
A=a ．
（Ⅰ
）求；
（Ⅱ）若c 2=b 2
+
a 2，求B ．
24．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．
都匀市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
考
点：直线的方程. 2． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形
OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 3． 【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x ×0.1=0.5，所以x 为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12． 故选：C ．
4． 【答案】B
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数， ∴f （log 35）=f （log 35﹣2）=f （log
3），
∵x ∈（0，1）时，f （x ）=3x
﹣1
∴f （log 3
）═﹣ 故选：B
5． 【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m
则由题意知，
解得
d=
．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
6． 【答案】D
【解析】解：∵“a 2＞b 2
”既不能推出“a ＞b ”； 反之，由“a ＞b ”也不能推出“a 2＞b 2
”． ∴“a 2＞b 2
”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件．
故选D ．
7． 【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x ． 8． 【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2x+4y 得y=﹣
x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C 时，
直线y=﹣x+的截距最小，此时z 最小，
由
，解得
，
即C （3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6． 故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
9． 【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=
，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A ．
10．【答案】A
【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z==
=1﹣i ．
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，
(1,6)B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用．
12．【答案】D
【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，
则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
二、填空题
13．【答案】63
【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
14．【答案】 （0，5） ．
【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），
而f （x ）=a x +4的图象是把y=a x 的图象向上平移4个单位得到的， ∴函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P （0，5）， 故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
15．【答案】10
【解析】3m 的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，32为连续两项和，3
3为接下来三项和，故3
m 的首个数为12
+-m m .
∵)(3
+∈N m m 的分解中最小的数为91，∴9112
=+-m m ，解得10=m .
16．【答案】 y=cosx ．
【解析】解：把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得
，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；
故答案为：y=cosx ．
17．【答案】2016-
18．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设
，则
因为
，
所以，所以
因此，存在唯一的点M，使成立。

故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
∴2cos2A+3cosA﹣2=0，…2分
∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分
又∵0＜A＜π，
∴A=…6分
（2）∵a=2RsinA=，…
又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，
∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，…
∴S△ABC=bcsinA=bc≤，
∴三角形面积的最大值为．…
20．【答案】
【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，（x﹣3）2+y2=100，
当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…②
将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．
∴2c=6，2a=12， ∴c=3，a=6
∴b 2
=36﹣9=27
∴圆心轨迹方程为
，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：
2
两边再平方得：3x 2+4y 2
﹣108=0，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．
21．【答案】
【解析】ⅠPA 是⊙O 的切线，切点为A ∴PAE ∠=45ABC ∠=︒
又∵PE PA = ∴PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒
由于1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理可知92
=⋅=PB PD PA ，既3==PA EP
故ABP ∆的面积为12PA BP ⋅=27
2
．
Ⅱ在Rt APE ∆APE 中，由勾股定理得AE =
由于2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得
EC EA EB ED ⋅=⋅ 12= 所以222
312
==EC ，故=AC ． 22．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）为奇函数． 理由：1+x ＞0且1﹣x ＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f （﹣x ）=log 3（1﹣x ）﹣log 3（1+x ）=﹣f （x ）， 则f （x ）是奇函数. （2）g （x ）=log
=2log 3
，（5分）
又﹣1＜x ＜1，k ＞0，（6分） 由f （x ）≥g （x ）得log 3≥log 3
，
即
≥
，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2
AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2
A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2
=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2
=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD⊂平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是=，
设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，=，=（﹣2，0，a）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。