数学人教版八年级上册三角形的高、中线、角平分线.1.2 三角形的高、中线、角平分线

B
直角三角形的三条高
(1) 画出直角三角形的三条高, A
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点. B 直角边BC边上的高是 AB ; ; ; 直角边AB边上的高是 CB 斜边AC边上的高是 BD
●
D C
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的三条高交于 一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交 于一点 它们所在的直线交于一点吗？ 钝角三角形的三条高所在直 线交于一点 A F D B E C
1 180 ( 180 A )E 2
110 例题讲解
1 90 A 2
O
D C
B
例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角 平分线,相交于点O.
（3）当∠A= x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示）
解: ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线 1 1 DBC ABC ECB ACB 2 2 A
中线的性质
例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中 线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
如右图 ∵D是BC的中点 ∴BD=DC 1 而△ABD的面积= 2 BD×AE
1 △ADC的面积= DC×AE 2
A
故△ABD的面积= △ADC的面积 B
E
D
C
也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形 分成了两个面积相等的三角形。
O
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交 点的位置
3 相交 相交 三角形 内部
1 相交
相交 直角顶点
∠BCF ∠ACF ∴∠ACB=2______=2______
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ 三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线。
思 考
例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角 平分线,相交于点O.
(1)当∠ABC=60°,∠ACB=80°时,求∠BOC的度数
1 不相交 相交 三角形 外部
三角形的三条高所在直线交于一点
拓展与练习
1.下列各组图形中,哪一组图形中AD是△ABC 的 高( D )
C D C B (A) A (B) B C B A (C) D B
A
D
C
D (D) A
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形 的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）
A O D C
例题讲解
110
B
例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角 平分线,相交于点O.
（2）当∠A=40°时，求∠BOC的度数
解: ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线 1 1 DBC ABC ECB ACB 2 2 1
A BOC 180 ( A BC A CB ) 2
D
0
1
2
3
4
5
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形这边上的高， 简称三角形的高。 B
三角形的高
A
5
2 3
4
3
2
1
0
0 1 4 5 6 7 8 9 10
三角形的高的理解
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
A
解: ∵BD、CE分别是ABC的角平分线 1 1 DBC ABC 60 30 2 2 1 1 ECB A CB 80 40 E 2 2 BOC 180 ( DBC ECB ) 180 ( 30 40 )
角平分线反映的是角的相等关系
中线反映的是线段的相等关系 高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系
布置作业：
习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题．
祝同学们学习进步
×) ×)
B
F
A 12 G E
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( × )
③BE是⊿ABC边AC上的中线 (
④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ )
H
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
小结
三角形的角平分线、中线、高线的比较 相同点： （1）都是线段 （2）都从顶点画出
（3）所在直线都相交于一点
不同点：
三角形中线的特点
①任何三角形有三条中线，并且都在三角 形的内部，交与一点。
②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个三角形分 成了两个面积相等的三角形。
三角形的角平分线
在三角形中,一个
内角的角平分线与它的对边相交， A 这个角的顶点与交点之间的线段, ●
叫做三角形的角平分线。
︶
B
1 2
∵AD是 △ ABC的角平分线
１∠BAC ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２ 三角形的三条角平分线相交于 一点,交点在三角形的内部 任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角 形三个角的角平分线,你发现了什么?
D
●
C
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线 1 ∠ABE ∠CBE ∠ABC ∴_______=_______= ____ 2 ∵CF是△ABC的角平分线
新人教版-八年级（上）数学-第十一 章
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
情境导入
情景导入
回顾与思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形的一个顶点， 你能画出它到对边的垂 线段吗?
A
B
C
如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个锐角△ABC,
D
C
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母
B
D
C
AD⊥BC，则AD是△ABC的BC边上的高
AD是△ABC的BC边上的高,则AD⊥BC,∠ADB=90
0
锐角三角形的三条高
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. F E O D (3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是 外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 C A
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.不能确定
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
●
A E O
●
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线
F
B
D
C
1 ∴BD=CD= BC 2
三角形的三条中线相交于一 点,交点在三角形的内部.
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形 三条边的中线,你发现了什么?
1 BOC 180 ( A BC A CB ) 2
1 90 A 2 1 例题讲解 90 2 x
1 180 ( 180 A ) 2
E
O
D C
B
拓展练习
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD是⊿ABE的角平分线 (