2024届林芝高三4月数学试题

2024届林芝高三4月数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=+
≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
2．已知函数()22018tan 1
x
x m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．3
D ．0
3．已知函数()x
f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e
-
B ．14e
-
C ．1e
-
D ．2e
-
4．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-
B ．23+
C ．23+或23-
D ．23-或31-
5．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）
A ．2αβα<≤
B ．23αβα≤≤
C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在
D ．存在某一位置使得3a β>
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）
A ．
764
B ．
1132
C ．
5764
D ．
1116
7．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．2
1y x =+
B ．x x y e e -=-
C ．lg y x =
D ．2y x 8．已知函数2
()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}
|()0B x f x '=≤，则A
B =（ ）
A ．[-1,0]
B ．[-1,2]
C ．[0,1]
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞
9．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
10．若函数f (x )＝13
x 3＋x 2－2
3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是
A ．[－5，0)
B ．(－5，0)
C ．[－3，0)
D ．(－3，0)
11．双曲线1C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：
2
2
2
()4
c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）
A ．30x ±=
B 30x y ±=
C 50x y ±=
D ．50x ±=
12．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{}|2,B x x k k Z ==∈，则A
B =________.
14．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD 2=CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N
分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值2
3
时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为_____.
15．已知函数2
54,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．
16．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2
()1()ln ()f x x ax g x x a a R =++=-∈，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；
⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．
18．（12分）过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线2
:2(0)C x py p =>相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为1
2
时，4PE PD =. （1）求抛物线C 的方程；
（2）设DE 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围. 19．（12分）已知a ∈R ，函数2()ln(1)2f x x x ax =+-++. （1）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；
（2）求证：对(1,)-+∞上的任意两个实数1x ，2x ，总有()()12121
2123
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+
⎪⎝⎭成立.
20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b （a 2+c 2﹣b 2）＝a 2ccosC +ac 2cosA ． （1）求角B 的大小； （2）若△ABC 外接圆的半径为
23
3
，求△ABC 面积的最大值. 21．（12分）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈有两个零点12,x x . (1)求a 的取值范围；
(2)是否存在实数λ， 对于符合题意的任意12,x x ，当012(1)0x x x λλ=+-> 时均有()'0f x <? 若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）设函数
.
(I )求的最小正周期；
(II )若
且
，求
的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】 由50,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域.
【题目详解】
50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛
⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭
， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题. 2、D 【解题分析】
分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系.
详解：由题设有()221
2018tan 2018tan 11
x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++，
故有()()2
12f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=，
从而()10f -=，故选D.
点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系. 3、A 【解题分析】
求导得到'()x
f x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln
g x x x =，求导得到函数在1
20,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上
单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，故()1
2min g x g e -⎛
⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.
【题目详解】
()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.
故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.
设()2
ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得1
2x e -=.
故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，故()1
2min 1
2g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A . 【题目点拨】
本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4、A 【解题分析】
利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=，
求得直线l 的倾斜角为15，进而求得l 的斜率. 【题目详解】
曲线213y x =-为圆2
2
13x y +=的上半部分，圆心为()0,0，半径为13.
设PQ 与曲线213y x =-相切于点Q ， 则()
2
PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+222
5
375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，
O 到弦AB 的距离为13123-=，23231
sin 2
262OP APO ==
=⨯∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=，所以直线l 的倾斜角为453015-=，斜率为(
)tan 45tan 30tan15tan 4530231tan 45tan 30
-=-==-+
⨯.
故选：A
【题目点拨】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 5、A 【解题分析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【题目详解】
由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'． 设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =
，
∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．
sin ,sin OB OB AB DB αβ''
=
=''
， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>； 3]OB '∈，∴1sin [0,]
2
α∈；
2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-， 221[3,2]sin α-，∴sin 23sin sin α
αβ=，
2αβ∴．
综上可得，2αβα<． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 6、C 【解题分析】
利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可. 【题目详解】
设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A .所有“重卦”共有62种；
“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件A 是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有1
66C =种,故
6167()264P A +=
=,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是757
()1()16464
P A P A =-=-=. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题. 7、C 【解题分析】
试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且
y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域． 8、C 【解题分析】
分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【题目详解】
2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤
， ∴{|01}A
B x x =≤≤．
故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 9、C 【解题分析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题目详解】
解：若{a n }是等比数列，则8
9891,0S a a S q q -==≠， 若10a >，则8
98910S a a S q -==>，即98S S >成立， 若98S S >成立，则8
98910S a a S q -==>，即10a >，
故“10a >”是“98S S >”的充要条件， 故选：C.
【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键. 10、C 【解题分析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【题目详解】
由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令
13x 3＋x 2－23＝－2
3
，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，30
50a a -≤<⎧⎨+>⎩
解得a ∈[－3，0)，
故选C. 【题目点拨】
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 11、A 【解题分析】 根据题意得到2
2
2
c
d a b
==
+，化简得到223a b ，得到答案.
【题目详解】
根据题意知：焦点(c,0)F 到渐近线b y x a =的距离为222
c d a b ==+，
故2
23a b ，故渐近线为30x ±=.
故选：A . 【题目点拨】
本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12、B 【解题分析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误． 【题目详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==，1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，
∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==，而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，
连结CF ，易知2CF =，
而在Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确；
以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， (
)1
3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， (
)
3,1,1D
；
()10,2,2AC =-， (
)
3,1,1CD =
--；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、∅ 【解题分析】
利用交集定义直接求解． 【题目详解】 解：
集合{|21,}A x x k k Z ==-∈{=奇数}，
{}|2,B x x k k Z ==∈{=偶数}， A B ∴⋂=∅．
故答案为：∅． 【题目点拨】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14、32π 【解题分析】
设ED ＝a ，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ⊥ED. AM ＝x ，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【题目详解】
设ED ＝a ，则CD =
.可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED.
当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x .
则四面体C ﹣EMN 的体积13=⨯（a ﹣x ）12⨯⨯a ×x 212⨯=ax （a ﹣x ）22
()1223
x a x a +-≤=，当且仅当x 2a =时
取等号.
解得a ＝此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π. 故答案为：32π 【题目点拨】
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力. 15、(1,3) 【解题分析】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用
数形结合思想进行求解即可. 【题目详解】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：
由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【题目点拨】
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想. 16、
13
【解题分析】
求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式． 【题目详解】
解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有24
6=种，甲乙在同一个公司有两种可能，
故概率为21
63
P ==， 故答案为
13
． 【题目点拨】
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）当12
x =时，函数()h x 取得极小值为11
+ln 24，无极大值；（2）[1,)-+∞
【解题分析】
试题分析：（1）()()()2
ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，通过求导分析，得函数()h x 取得极小值为
11
+ln24
，无极大值；（2）()()()()121212f x g x f x g x x x -==-''，所以()2
1121212
1ln 12x ax x a x a x x x ++--+==-，通过求导讨论，得到a 的取值范围是[
)1,-+∞． 试题解析：
（1）函数()h x 的定义域为()0,+∞
当1a =时，()()()2
ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，
所以()()()211121x x h x x x x
=
'-+=+- 所以当102x <<
时，()0h x '<，当1
2
x >时，()0h x '>， 所以函数()h x 在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，在区间1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增， 所以当12x =
时，函数()h x 取得极小值为11
+ln24
，无极大值； （2）设函数()f x 上点()()
11,x f x 与函数()g x 上点()()
22,x g x 处切线相同， 则()()()()121212
f x
g x f x g x x x -==
-''
所以()2
1121212
1ln 12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122a
x x =
-，代入()2121122
1ln x x x ax x a x -=++--得： ()222
221ln 20*424
a a x a x x -++--= 设()221ln 2424a a F x x a x x =-++--，则()2323
1121
222a x ax F x x x x x
+-=-++=' 不妨设2
000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>
所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，
代入20000
121=2x a x x x -=-可得：()()2
000
0min 012ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设()2
12ln 2G x x x x x =+-
+-，则()211
220G x x x x
=+++>'对0x >恒成立， 所以()G x 在区间()0,+∞上单调递增，又()1=0G
所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时()00F x ≤, 又当2
a x e
+=时()22
2421ln 2424
a a a a a F x e a e e +++=-++--
2
21104a a e +⎛⎫
=-≥ ⎪⎝⎭
因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()
22,x g x 处切线相同． 又由12y x x =
-得：21
20y x
'=--< 所以()1
20,1y x x
=-在单调递减，因此[)20000121=21+x a x x x ，-=-∈-∞ 所以实数a 的取值范围是[
)1,-+∞． 18、()12
4x y =；()22b >
【解题分析】
()1根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合4PE PD =,即可求出抛物线C 的方程； ()2设():4l y k x =+，DE 的中点为()00,x y ，把直线l 方程与抛物线方程联立,利用判别式求出k 的取值范围,利用
韦达定理求出0x ,进而求出DE 的中垂线方程,即可求得在y 轴上的截距b 的表达式,然后根据k 的取值范围求解即可. 【题目详解】
()1由题意可知,直线l 的方程为()1
42
y x =
+, 与抛物线方程2
:2(0)C x py p =>方程联立可得,
()22880y p y -++=,
设()()1122,,,D x y E x y ,由韦达定理可得,
12128,42
p
y y y y ++=
=, 因为4PE PD =,()()22114,,4,PE x y PD x y =+=+, 所以214y y =,解得121,4,2y y p ===, 所以抛物线C 的方程为2
4x y =;
()2设():4l y k x =+,DE 的中点为()00,x y ,
由()
2
44x y
y k x ⎧=⎪⎨
=+⎪⎩,消去y 可得24160x kx k --=, 所以判别式216640k k ∆=+>,解得4k <-或0k >,
由韦达定理可得,()20002,4242
D E
x x x k y k x k k +=
==+=+, 所以DE 的中垂线方程为()2
1242y k k x k k
--=--,
令0x =则b =()2
224221y k k k =++=+, 因为4k <-或0k >,所以2b >即为所求. 【题目点拨】
本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力;属于中档题. 19、（1）11,3⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦
（2）见解析 【解题分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得()0f x '
≤在[)2,x ∈+∞上恒成立，参变分离得1
21
a x x ≤-
+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1
()21
h x x x =-
+，求出min ()h x 即可得到参数的取值范围； （2）不妨设121x x -<≤，()221
212()()3
333F x f x x f x f x ⎛⎫=+--
⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-， 利用导数说明函数()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，即可得证； 【题目详解】
解：（1）∵2
()ln(1)2f x x x ax =+-++ ∴1
()21
f x x a x '
=
-++，且函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，即()0f x '≤在[)2,x ∈+∞上恒成立，
∴121a x x ≤-+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1()21
h x x x =-+， ∵函数()h x 在[)2,+∞上单调递增，∴min 111
()(2)433
h x h ==-=，
∴113a ≤
，∴实数a 的取值范围为11,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
（2）不妨设121x x -<≤，()221
212()()3
333F x f x x f x f x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-，
则()()()2220F x f x f x =-=， ∴21121()()3333F x f x x f x ⎛⎫'''=
+- ⎪⎝⎭2112()333f x x f x ⎡⎤
⎛⎫''=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. ∵
()22212222033333x x x x x x x +-=-+=-≥，∴212
33
x x x +≥， 又1()21
f x x a x '
=
-++，令()()g x f x '=，∴2
1()20(1)g x x '
=--<+， ∴()f x '在(1,)x ∈-+∞上为减函数，∴21
2()3
3f x x f x ⎛⎫''+≤
⎪⎝⎭，
∴
2112()0333f x x f x ⎡⎤
⎛⎫''+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，即()0F x '≤， ∴()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，∴()2()0F x F x ≥=，即()0F x ≥， ∴()221
212()03
333f x x f x f x ⎛⎫+--≥
⎪⎝⎭，
∴当(]21,x x ∈-时，()221
212()3
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+
⎪⎝⎭.
∵121x x -<≤，∴()()12121
2123
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭.
【题目点拨】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20、（1）B 1
3
π=
（2【解题分析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB ，进而可求B ；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【题目详解】
（1）因为b （a 2+c 2﹣b 2）＝ca 2cosC +ac 2cosA ，
∴222cos cos cos abc B ac C ac A =+，即2bcosB ＝acosC +ccosA 由正弦定理可得，2sinBcosB ＝sinAcosC +sinCcosA ＝sin （A +C ）＝sinB ， 因为(0,)B π∈，sin 0B >所以1cos 2
B =， 所以B 1
3
π=
； （2）由正弦定理可得，b ＝2
RsinB 2=
=2， 由余弦定理可得，b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ， 即a 2+c 2﹣ac ＝4，因为a 2+c 2≥2ac ，
所以4＝a 2+c 2﹣ac ≥ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，即ac 的最大值4， 所以△ABC 面积
S 12acsinB ==≤
【题目点拨】
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题. 21、 (1)1
(,0)e -；(2)12
λ=. 【解题分析】
（1）对()f x 求导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性即可求得. （2）先根据()0'0f x <，得01x a
>-，再根据零点解得2121ln ln x x a x x -=-
-，转化不等式得()21
12
21
1ln ln x x x x x x λλ-+->-，令21x t x =
，化简得()11ln t t t λλ-+->，因此min 11,()1ln t t t t λ><-
-- ，max 101,()1ln t t t t
λ<---，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得λ取值集合. 【题目详解】 （1）()1
'(0)f x a x x
=+
>， 当0a ≥时，()'0f x >对0x >恒成立，与题意不符， 当0a <，()1'1ax a x f x
x +=+=， ∴1
0x a
<<-
时()'0f x >，
即函数()f x 在10,a ⎛⎫-
⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，
∵0x →和x →+∞时均有()f x →-∞， ∴111ln 0f a a ⎛⎫⎛⎫
-
=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：10a e -<<， 综上可知：a 的取值范围1
,0e
⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （2）由(1)可知()00f x '<，则011
(0)x a a e
>-
-<<， 由12,x x 的任意性及()()12''0f x f x ⋅<知，0λ≠，且1λ≠，
112
200ax lnx ax lnx +=⎧⎨+=⎩∴2121ln ln x x a x x -=--， 故()21
01221
1ln ln x x x x x x x λλ-=+->
-，
又∵()2
21
2
11
1
1ln x x x x x x λλ-+->，令21x t x =，
则0,1t t >≠，且()1
10ln t t t
λλ-+->>恒成立， 令()()1
ln (0)1t g t t t t
λλ-=-
>+-，而()10g =，
∴1t >时，()0,01g t t ><<时，()()0.*g t <
∴()()()()(
)()22
222
11111'11t t g t t t t t λλλλλλλ⎡⎤
---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=-=⎡⎤⎡⎤+-+-⎣⎦⎣⎦
， 令()
2
21λμλ=-，
若1μ<，则1t μ<<时，()'0g t <，即函数在(),1μ单调递减， ∴()()10g t g >=，与()*不符；
若1μ>，则1t μ<<时，()'0g t <，即函数()g t 在()1,μ单调递减，
∴()()10g t g <=，与()*式不符； 若1μ=，解得1
2
λ=
，此时()'0g t ≥恒成立，()()'01g t t =⇔=， 即函数()g t 在()0,∞+单调递增，又()10g =，
∴1t >时，()0g t >；01t <<时，()0g t <符合()*式， 综上，存在唯一实数1
2
λ=符合题意. 【题目点拨】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22、 (I )；(II )
【解题分析】 (I )化简得到，得到周期.
(II )
，故
，根据范围判断
，代入计算得到答案.
【题目详解】 (I )
，故
. (II )
，故，
，
，故
，
，
故
，故
， .
【题目点拨】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。