最新精编高中人教A版必修五高中数学章末综合测评2(1)和答案

章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，1
4，…
B ．－1,2，－3,4，…
C ．－1，－12，－14，－1
8，…
D ．1,
2，
3，…，n
【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列． 【答案】 C
2．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )
A.1
2
B ．－1
C ．－2
D ．2 【解析】 由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.
【答案】 B
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )
A ．33个
B ．65个
C ．66个
D ．129个
【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，a n ＋1＝2a n
－1，即a n ＋1－1a n －1＝2.
∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 【答案】 B
4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )
A ．第5项
B ．第12项
C ．第13项
D ．第6项
【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．
【答案】 C
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2，
即a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1，n ＝1，a －a n －1
，n ≥2， 当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．
【答案】 C
6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
A ．90
B ．100
C ．145
D ．190 【解析】 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0，
∴d ＝2，从而S 10＝100. 【答案】 B
7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16， ∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2) ＝4d ＝16－4＝12， ∴d ＝3. 【答案】 B
8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n
，则a 7
a 3
＝( )
A ．2
B ．4
C ．5 D.5
【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2
a n
＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…
是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7
a 3
＝4.
【答案】 B
9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1， ∴a n ＋1－a n ＝1
2
，
∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝1
2的等差数列，
∴a 101＝2＋1
2(101－1)＝52.
【答案】 D
10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：
图1
则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30
【解析】 法一 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2
＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，
∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二 由图可知第n 个三角形数为n n ＋
2
，
∴a 7＝7×82＝28.
【答案】 B
11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n
－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )
A ．2
B ．5
C ．－12 D.1
2
【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ
3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ
9，
b 3＝95＋λ
27
，
∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－1
2.
【答案】 C
12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20
【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.
S 20＝a 1＋a 202
＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝
a 1＋a 192
＝19
2
·2a 10<0. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n
＋b n }的前100项的和为________．
【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝
a 1＋
b 1＋a 100＋b 100
2
＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 000
14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________. 【导学号：05920082】
【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，
a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，
∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.
【答案】 15
15．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．
【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴8
3
<d ≤3. 【答案】 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤
83，3
16．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.
【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，
得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 2
2＝a 1a 4，
即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .
又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，
S 5＝5a 1＋
5×4
2
×d ＝30. 【答案】 30
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．
【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，
解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n
2
.
18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3的值；
(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．
【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；
当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①
∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2， ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2. ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0.
∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2
S n －1＋2
＝2.
即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，
a 4－a 3＝2.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.
又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，
所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，
所以b 6与数列{a n }的第63项相等．
20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. 【导学号：05920083】
(1)令c n ＝a n
b n ，求数列{
c n }的通项公式；
(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n . 【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，
b n ≠0(n ∈N *)，
所以a n ＋1b n ＋1－a n
b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2.
所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，
于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n .
相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.
21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和
S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．
【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有
a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.
又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n . (2)由(1)得1
a n ＝1
2n ，
所以T n ＝12＋122＋…＋1
2
n ＝
12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝1－12
n .
由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<1
1 000，
即2n >1 000.
因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10. 于是使|T n －1|<1
1 000
成立的n 的最小值为10.
22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n
n ＋2
，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .
【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n
n ＋2
＝n (n ＋1)，
所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，
T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )
＝4＋8＋12＋…＋2n ＝
n
2
＋2n 2
＝
n n ＋
2
，
当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝
n －
n ＋
2
－n (n ＋1)＝－
n ＋2
2
.
所以T n
＝⎩⎨⎧
－n ＋
2
2
，n 为奇数，n n ＋
2
，n 为偶数.。