浅谈分类讨论思想

浅谈分类讨论思想
分类讨论思想是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略。

它是为了解决因各种因素制约着的数学问题，使原本变幻的不定的问题，分解成若干个相对确定的问题，再各个击破，从而获得完整的解答。

而在很多数学概念、公式、法则、性质、定理中都蕴含着分类讨论思想。

1 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．
2 运用分类讨论的思想解题的基本步骤
⑴确定讨论对象和确定研究的区域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
⑷归纳总结，整合得出结论．
3 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．
5分类讨论思想的类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．
6 典型题例
例1 解不等式ax >2a
如果不加区分，得x>2,那就不对了。

事实上，既可以a>0,或是a=0，也可以a<0。

不同情况下有不同的答案。

当a>0时，则x>2；
当a=0时，原不等式为0•x>0，故不等式无解；
当a<0时，则x<2。

这里将a划分成三类：a>0,a=0,a<0，分别处理，才获得正确的解。

例2 解方程
对于绝对值的问题，往往要对绝对值符号内的对象区分为正数、负数、零3种，在每种情况下再分别处理：这一方程里出现了两个数的绝对值，即和，对于应分为x=-2,x<-2,x>-2;对于应区分为x=3与x>3,x<3,把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分为以下3种情形分别处理：x>-2,-2≤x≤3,x>3。

得解如下：
当x<-2时，原方程为-(x+2)+3-x=5，得x=-2，这与x<-2矛盾，故在x<-2时方程无解。

当-2≤x≤3时，原方程为x+2+3-x=5恒成立，故满足-2≤x≤3的一切实数x都是此方程的解。

当x>3时，原方程为x+2-(3-x)=5，得x=3，这与x>3矛盾，故在x>3时，方程无解。

综上所述，原方程的解为满足-2≤x≤3的任何实数。

例3 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍。

现在甲、乙两人在跑道上相距8米处同时出发，问经过多少秒钟后，两人首次相遇？
本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步，也不知同向跑步时谁在前谁在后，或反向跑步时两人之间的距离是面对面的距离还是对背的距离，所以解题时应分类讨论，逐一求解：
设经过X秒甲、乙两人首次相遇
①若两人同向跑步，且甲在乙的前面8米，则
×6x-6x=400-8，解得x=196；
②若两人同向跑步，且乙在甲前面8米，则
×6x-6x=8，解得x=4；
③若两人反向跑步，面对面相距8米，则
×6x+6x=8，解得x= ；
④若两人反向跑步，且背对背相距8米，则
×6x+6x=400-8，解得x=28。

答：略。

分类讨论几乎渗透到数学中的每一个角落，按初中数学知识体系，主要分布在：代数式中的分类讨论、方程中的分类讨论、不等式中的分类讨论、函数中的分类讨论、应用题中的分类讨论、几何图形（点、线、三角形、四边形、圆）中的分类讨论。

分类讨论问题解决的关键是弄清引起分类讨论的原因，明确分类讨论的对象和标准。

不同的标准分类的结果也不同，分析其可能产生的诸种情况，并由此展开讨论，做到不遗漏不重复，再将不同结论综合归纳得出正确结果。