2025届江苏省镇江市润州区数学八年级第一学期期末联考模拟试题含解析

2025届江苏省镇江市润州区数学八年级第一学期期末联考模拟
试题
试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，再添加一
个条件，可使△ABC≌△DEF，下列条件不符合
．．．的是
A．∠B＝∠E B．BC∥EF C．AD＝CF D．AD＝DC 2．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）
A．1 B．4 C．11 D．12
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画圆弧．两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED．一定正确的是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
4．因式分解x﹣4x3的最后结果是（）
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）
（2x+1）D．x（1﹣4x2）
5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A．y2﹣2y+4＝（y﹣2）2
C ．a （x +y ）＝ax +ay
D ．t 2﹣16+3t ＝（t +4）（t ﹣4）+3t
6．马四匹，牛六头，共价四十八两：马三匹，牛五头，共价三十八两．若设每匹马价a 两每头牛价b 两，可得方程组是（ ）
A ．46483538a b a b -=⎧⎨-=⎩
B ．4+6483+538a b a b =⎧⎨=⎩
C ．5+6384+548a b a b =⎧⎨=⎩
D ．6+5485+338a b a b =⎧⎨=⎩
7．若223x a a =-+,则对于任意一个a 的值，x 一定是（ ）
A ．x<0
B ．x ≥0
C ．无法确定
D ．x>0
8．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的
1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为
A ．2300230033x 1.3x +=
B ．
2300230033x x 1.3x +=+ C ．2300460033x x 1.3x +=+ D ．4600230033x x 1.3x +=+ 9．A ，B 两地相距80km ，甲、乙两人骑车分别从A ，B 两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l 1，l 2分别表示甲、乙两人离B 地的距离y （km ）与骑车时间x （h ）的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的个数是（ ）
①甲骑车速度为30km/小时，乙的速度为20km/小时；
②l 1的函数表达式为y=80﹣30x ；
③l 2的函数表达式为y=20x ；
④小时后两人相遇．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．下列运算正确的是（ ）
A ．2(2)-＝－2
B ．23(3)-＝3
C ． 2.5＝0.5
D ．3222=
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．重庆农村医疗保险已经全面实施．某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20，24，27，28，31，34，38，则这组数据的中位数是_______．
12．如图，D 为△ABC 外一点，BD ⊥AD ，BD 平分△ABC 的一个外角，∠C=∠CAD ，若AB=5，BC=3，则BD 的长为_______．
13．一次函数y ＝(2m －6)x ＋5中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ________．
14．当x =__________时，分式242
x x --的值等于零. 15．如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝46°
，∠B ′＝27°，则∠C ＝_____°．
16．如图，△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG ∥BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论：
①∠BEC=12
∠BAC ；②△HEF ≌△CBF ；③BG=CH+GH ；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有_____（将所有正确答案的序号填写在横线上）．
17．若点()2,A a -和点(),5B b -关于y 轴对称，则a b +=__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，510A 坐标为（1，2），则点B 的坐标为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解下列方程：
()252311x x x x +=++； ()12122
x x x -=+-． 20．（6分）2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？
（2）请把折线统计图（图1）补充完整；
（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
21．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，
（1）尺规作图：作△ABC 的角平分线AE ，交CD 于点F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：△CEF 为等腰三角形．
22．（8分）用分式方程解决问题:元旦假期有两个小组去攀登- -座高h 米的山,第二组的攀登速度是第- -组的a 倍.
(1)若450, 1.2h a ==,两小组同时开始攀登,结果第二组比第一组早15min 到达顶峰.求两个小组的攀登速度.
(2)若第二组比第一组晚出发30min ,结果两组同时到达顶峰,求第二组的攀登速度比第一组快多少? (用含,a h 的代数式表示)
23．（8分）先化简再求值：()()()()2
22222a b b a a b a a b ---+--，其中1a =，2b =-． 24．（8分）已知，如图：长方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，将D 折起，使点D 落在点E 处．
（1）请你用尺规作图画出折痕和折叠后的图形．（不要求写已知，求作和作法，保留作图痕迹）
（2）若折痕与AD 、BC 分别交于点M 、N ，与DE 交于点O ，求证△MDO ≌△NEO ．
25．（10分）按要求作图
（1）已知线段AB 和直线l ，画出线段AB 关于直线l 的对称图形；
请画出最短路径.
26．（10分）已知：直线m∥n，点A，B分别是直线m，n上任意两点，在直线n上取一点C，使BC=AB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF 交直线m于点F．
（1）如图1，当点E在线段AC上，且∠AFE=30°时，求∠ABE的度数；
（2）若点E是线段AC上任意一点，求证：EF=BE；
（3）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，若∠ABC=90°，请判断线段EF与BE 的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题．
【详解】解：A. 添加的一个条件是∠B＝∠E，可以根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故不符合题意；
B. 添加的一个条件是BC∥EF，可以得到∠F＝∠BCA根据AAS可以证明
C. 添加的一个条件是AD ＝CF ，可以得到AC ＝DF 根据SAS 可以证明△ABC ≌△DEF ，故不符合题意；
D.添加的一个条件是AD ＝DC ，不可以证明△ABC ≌△DEF ，故符合题意.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2、C
【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.
详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12
∴p+q=m ，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m 的最大值为11.
故选C.
点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
3、B
【分析】利用基本作图得到DE BC ⊥，则DE 垂直平分BC ，所以EB ＝EC ，根据等腰三角形的性质得∠EBC ＝∠C ，然后根据等角的余角相等得到∠A ＝∠EBA .
【详解】由作法得DE BC ⊥，而D 为BC 的中点，所以DE 垂直平分BC ，则EB ＝EC ， 所以∠EBC ＝∠C ，
而90ABC ∠︒＝，
所以∠A ＝∠EBA ，
所以①②正确，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质特点是解决
4、C
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）．
故选C．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
5、B
【解析】根据因式分解的意义，可得答案．
【详解】A．分解不正确，故A不符合题意；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C．是整式的乘法，故C不符合题意；
D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．6、B
【分析】根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可．
【详解】解：若设每匹马价a两，每头牛价b两，
则可得方程组：
4+648 3+538
a b
a b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
7、D
【解析】分析：根据完全平方公式对a2-2a+3进行配方后，再由非负数的性质，可求得x的取值范围．
详解：x=a2-2a+3=（a2-2a+1）+2=（a-1）2+2，
∵（a-1）2≥1，
∴（a-1）2+2＞1．
点睛：本题考查了完全平方公式的利用，把式子a 2-2a +3通过拆分常数项把它凑成完全平方式是解本题的关键，因为一个数的平方式非负数，所以一个非负数加上一个正数，结果肯定＞1．
8、B
【解析】试题分析：因为设甲车间每天能加工x 个，所以乙车间每天能加工1.3x 个，由题意可得等量关系：甲乙两车间生产2300件所用的时间+乙车间生产2300件所用的时间=33天，根据等量关系可列出方程： 2300230033x x 1.3x
+=+．故选B ． 9、D
【解析】根据速度=路程÷时间，即可求出两人的速度，利用待定系数法求出一次函数和正比例函数解析式即可判定②③正确，利用方程组求出交点的横坐标即可判断④正确． 【详解】解：甲骑车速度为
=30km/小时，乙的速度为=20km/小时，故①正确；
设l 1的表达式为y=kx+b ，
把（0，80），（1，50）代入得到：
， 解得， ∴直线l 1的解析式为y=﹣30x+80，故②正确；
设直线l 2的解析式为y=k′x ，
把（3，60）代入得到k′=20，
∴直线l 2的解析式为y=20x ，故③正确；
由，解得x=，
∴小时后两人相遇，故④正确；
正确的个数是4个.
故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10、D
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
【详解】A 、2(2)=2-，故原计算错误； B 、233(3)=9-，故原计算错误；
C 、5102.5==22
，故原计算错误； D 、3222=，正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键，比较基础．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、28
【详解】解：把这一组数据从小到大依次排列为20，24，27，28，31，34，38， 最中间的数字是28，所以这组数据的中位数是28
故答案为：28
12、3
【分析】延长AD 与BC 交于点E ，求出AB 和AD 的长，再利用勾股定理求出BD 的长
【详解】如图，设CB 与AD 延长线交于E 点
C CA
D ∠=∠，
AE CE ∴=．
∵BD 平分∠ABE ，BD AD ⊥
5AB BE ∴==，
358CE AE BC BE ∴==+=+=，
142
AD DE AE ∴===， 在直角△ABD 中，由勾股定理得到223BD AB AD =-=
【点睛】
本题考查了辅助线以及勾股定理的运用，利用辅助线求出直角三角形直角边和斜边长，再利用勾股定理求出直角边长是关键
13、m＜1
【解析】解：∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴2m-6＜0，
∴m＜1．
14、-2
【分析】令分子为0，分母不为0即可求解.
【详解】依题意得x2-4=0,x-2≠0，解得x=-2，
故填：-2.
【点睛】
此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式的性质.
15、107
【解析】根据全等三角形的性质求出∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠B′=27°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=107°，
故答案为：107°．
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等．
16、①③④.
【分析】①根据角平分线的定义得到∠EBC=1
2
∠ABC，∠DCE=
1
2
∠ACD，根据外角
的性质即可得到结论；
②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；
③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到结论；
④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．
【详解】①BE平分∠ABC，
∴∠EBC=1
2
∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=1
2
∠ACD，
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC=1
2
(∠BAC+∠ABC)=∠EBC+
1
2
∠BAC，
∴∠BEC=1
2
∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠ABE=∠GEB，
∴BG=GE，
同理CH=HE，
∴BG−CH=GE−EH=GH，
∴BG=CH+GH，
故③正确；
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN=ED，
∴EN=EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE=∠DCE=x ，∠ABE=∠CBE=y ，∠MAE=∠CAE=z ，如图，
则∠BAC=180︒−2z ，∠ACB=180︒−2x ，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180︒，
∴2y+180︒−2z+180︒−2x=180︒，
∴x+z=y+90︒，
∵z=y+∠AEB ，
∴x+y+∠AEB=y+90︒，
∴x+∠AEB=90︒，
即∠ACE+∠AEB=90︒，
故④正确.
故答案为①③④.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理， 三角形的外角性质等多个知识点.判断出AE 是△ABC 的外角平分线是关键.
17、-3
【分析】根据关于y 轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出 a 、b ，代入即可．
【详解】解：∵点()2,A a -和点(),5B b -关于y 轴对称
∴a=-5，b=2
∴523a b +=-+=-
故答案为：3-．
【点睛】
此题考查的是关于y 轴对称的两点坐标关系，掌握关于y 轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等是解决此题的关键．
18、（﹣2，1）．
【分析】作BN ⊥x 轴，AM ⊥x 轴，根据题意易证得△BNO ≌△OMA ，再根据全等三角形的性质可得NB=OM ，NO=AM ，又已知A 点的坐标，即可得B 点的坐标.
【详解】
解：作BN ⊥x 轴，AM ⊥x 轴，
∵510，
∴AO 2+OB 2=AB 2，
∴∠BOA=90°
， ∴∠BON+∠AOM=90°
， ∵∠BON+∠NBO=90°
， ∴∠AOM=∠NBO ，
∵∠AOM=∠NBO ，∠BNO=∠AMO ，BO=OA ，
∴△BNO ≌△OMA ，
∴NB=OM ，NO=AM ，
∵点A 的坐标为（1,2），
∴点B 的坐标为（-2,1）.
故答案为（-2,1）.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
三、解答题(共66分)
19、 (1)原方程无解；(2)23
x =． 【分析】（1）方程两边都乘以x （x+1）得出523x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x-2）得出242x x -+=+，求出方程的解，最后进行检验即可.
【详解】解：()252311
x x x x +=++ ， ()52311
x x x x +=++ ， 去分母得：523x x +=，
解得：1x =-，
经检验1x =-是增根，原方程无解；
()2去分母得：()()()2222x x x x x --+-=+，
整理得；242x x -+=+， 解得：23x =， 经检验23x =
是分式方程的解． 【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20、（1）一共调查了300名学生．
（2）
（3）体育部分所对应的圆心角的度数为48°．
（4）1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．
【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解．
（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可．
（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解．
（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．
【详解】解：（1）∵90÷30%=300（名），
∴一共调查了300名学生．
（2）艺术的人数：300×
20%=60名，其它的人数：300×10%=30名． 补全折线图如下：
（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：40
300
×360°=48°．
（4）∵1800×80
300
=1（名），
∴1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．
21、（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC、AB于M、N，分别以M、N为
圆心大于1
2
MN长为半径画弧，两弧交于点P，直线射线AP交BC于E，线段AE即
为所求；4
（2）只要证明∠CEF=∠CFE，即可推出CE=CF；
【详解】（1）如图线段AE即为所求；
（2）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠CEF＝∠B+∠EAB，∠CAF＝∠EAB，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
22、（1）第一组5/m min ，第二组6/m min ；（2）()
21/30h a m min a -.
【分析】（1）设第一组的速度为/xm min ，则第二组的速度为1.2/xm min ，根据两个小组同时开始攀登，第二组比第一组早15min ，列方程求解．
（2）设第一组的速度为/ym min ，则第二组的速度为/aym min ，根据两个小组去攀登另一座hm 高的山，第二组比第一组晚出发30min ，结果两组同时到达顶峰，列方程求解．
【详解】解：（1）设第一组的速度为/xm min ，则第二组的速度为1.2/xm min ， 由题意得，450450151.2x x
-=， 解得：5x =，
经检验：5x =是原分式方程的解，且符合题意，
则1.26x =．
答：第一组的攀登速度5/m min ，第二组的攀登速度6/m min ；
（2）设第一组的平均速度为/ym min ，则第二组的平均速度为/aym min ， 由题意得，
30h h y ay -=， 解得：30ah h y a
-=， 经检验：30ah h y a
-=是原分式方程的解，且符合题意， 则22303030ah h ah h a h ah h ay y a a ---+-=-=()2130h a a
-=， 答：第二组的平均攀登速度比第一组快
()21/30h a m min a -．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列分式方程求解，注意检验．
23、222a ab --；1．
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项化简，然后把1a =，2b =-代入计算即可．
【详解】解：原式2222244442a ab b a b a ab =-++--+ 222a ab =--
当1a =，2b =-时
原式()2
21212=-⨯-⨯⨯- 242=-+=．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．
24、（1）图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）作DE 的垂直平分线分别交AD 和BC 于点M 、N ，MN 即为折痕，再以E 为圆心，CD 的长为半径作弧，以N 为圆心，NC 的长为半径作弧，两弧交于点C ′，四边形MEC ′N 即为四边形MDCN 折叠后的图形；
（2）根据矩形的性质可得AD ∥BC ，从而得出∠MDO=∠NEO ，然后根据垂直平分线的定义可得DO=EO ，最后利用ASA 即可证出结论．
【详解】解：（1）分别以D 、E 为圆心，大于12
DE 的长为半径作弧，两弧分别交于点P 、Q ，连接PQ ，分别交AD 和BC 于点M 、N ，连接ME 和DN ，此时MN 垂直平分DE ，MN 即为折痕；
再以E 为圆心，CD 的长为半径作弧，以N 为圆心，NC 的长为半径作弧，两弧交于点C ′，四边形MEC ′N 即为四边形MDCN 折叠后的图形；
（2）∵四边形ABCD 为矩形
∴AD ∥BC
∴∠MDO=∠NEO
∵MN 垂直平分DE
∴DO=EO
在△MDO 和△NEO 中
MDO NEO DO EO
MOD NOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△MDO ≌△NEO
【点睛】
此题考查的是作折叠图形、矩形的性质和全等三角形的判定，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线、矩形的性质和全等三角形的判定是解决此题的关键．
25、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）分别作出点A 、B 关于直线l 对称的点'A 、'B ，然后连接'A 'B 即可； （2）根据将军饮马模型作对称点连线即可.
【详解】解：（1）如图所示，分别作出点A 、B 关于直线l 对称的点'A 、'B ，然后连接'A 'B ；
线段'A 'B 即为所求作图形.
（2）解: 作出点A 的关于草地的对称点，点B 的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q ，交河边于点P ，连接AQ ，BP ，则AQ PQ BP ++是最短路线．
如图所示， AQ PQ BP ++为所求.
【点睛】
本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和掌握将军饮马模型并运用是解此题的关键．
26、（1）30°；（2）见解析；（3）EF=BE ，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FAB=∠ABC ，根据三角形内角和定理解答即可；
（2）以点E 为圆心，以EA 为半径画弧交直线m 于点M ，连接EM ，证明△AEB ≌△MEF ，根据全等三角形的性质证明；
（3）在直线m 上截取AN=AB ，连接NE ，证明△NAE ≌△ABE ，根据全等三角形的性质得到EN=EB ，∠ANE=∠ABE ，证明EN=EF ，等量代换即可．
【详解】（1）∵m ∥n ，
∴∠FAB=∠ABC ，
∵∠BEF=∠ABC ，
∴∠FAB=∠BEF ，
∵∠AHF=∠EHB ，∠AFE=30°，
∴∠ABE=30°；
（2）如图1，以点E 为圆心，以EA 为半径画弧交直线m 于点M ，连接EM ， ∴EM=EA ，
∴∠EMA=∠EAM ，
∵BC=AB ，
∴∠CAB=∠ACB ，
∵m ∥n ，
∴∠MAC=∠ACB ，∠FAB=∠ABC ，
∴∠MAC=∠CAB ，
∴∠CAB=∠EMA ，
在△AEB 和△MEF 中，
EAB EMF ABE MFE EA EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEB ≌△MEF （AAS ）
∴EF=EB ；
（3）EF=BE ．
理由如下：如图2，在直线m 上截取AN=AB ，连接NE ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m ∥n ，
∴∠NAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°，
在△NAE 和△ABE 中，
AN AB NAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△NAE ≌△ABE （SAS ），
∴EN=EB ，∠ANE=∠ABE ，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°，
∴∠ABE+∠EFA=180°，
∴∠ANE+∠EFA=180°
∵∠ANE+∠ENF=180°，
∴∠ENF=∠EFA ，
∴EN=EF ，
∴EF=BE ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。