学年新教材高中数学第章数列.第课时数列的通项公式与递推公式课时素养评价含解析苏教版选择性必修第一册

所以an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
…，
a2－a1＝ln .
所以当n≥2时，
an－a1＝ln ＝ln n，
所以an＝2＋ln n(n≥2).
当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，
所以an＝2＋ln n(n∈N*).
(30分钟60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，
a4＝5，a5＝8.
(2)因为bn＝ ，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，
a5＝8，所以b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ，
b3＝ ＝ ，b4＝ ＝ .
故{bn}的前4项依次为b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，
b4＝ .
2．已知数列 的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为.因为数列 的前n项和Sn＝n3，
所以a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.
3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝ (n∈N＋)，则a20＝________．
【解析】由a1＝0，可求a2＝ ＝－ ，a3＝ ＝ ，a4＝ ＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－ .
C．b5的值是15D．b6的值是33
【解析】选ABD.因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·长沙高二检测)已知数列 的前n项和Sn＝ ，且a1＝1，则数列 的通项公式为________．
【解析】选C.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an－n－ ，
整理得2an＝3an－1＋1，
又S1＝a1＝3a1－1，得a1＝ ，
所以2a2＝3a1＋1＝ ＋1，得a2＝ ，
所以2a3＝3a2＋1＝ ＋1，得a3＝ .
3．(2021·天津高二检测)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，则a2 020的值为()
【解析】Sn＝ ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ，整理可得(n－1)an－nan－1＝0，即 ＝ ，所以 为常数列，故 ＝ ＝1，所以an＝n.
答案：an＝n
8．(2021·南通高二检测)数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋
an－1(n≥3)，则a2等于____________．
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝ (舍去).
若a2为偶数，则 ＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则 ＝16，a1＝32.
6．由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则()
A．b3的值是5B．b4的值是9
10．已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，
(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式an.
【解析】当n≥2时，因为(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，
分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，
即 · · ·…· ＝ × × ×…× ⇒ ＝ .
又因为a1＝ ，所以an＝ .
答案：
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，
an＋1＝ 若a6＝1，则m所有可能的取值有()
1．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 021－a2 020＝()
A．1B．2
C．2 020 D．2 021
【解析】选C.由已知a2 021－a2 020－2 020＝0，
所以a2 021－a2 020＝2 020.
2．设数列 前n项和为Sn，已知Sn＝3an－n，则a3＝()
A． B． C． D．
9．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
【解析】(1)因为an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
二十二 数列的通项公式与递推公式
(15分钟30分)
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是()
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
【解析】选B.由题可知an－an－1＝n(n∈N*，n≥2).
A．2 B．－3 C．－ D．
【解析】选D.由题意知，a2＝ ＝－3，a3＝ ＝－ ，a4＝ ＝ ，a5＝ ＝2，a6＝ ＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，
所以a2 020＝a505×4＝a4＝ .
4．已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ an，得an＝______．
【解析】由条件知 ＝ ，
A．3 B．4 C．5 D．32
【解析】选BCD.若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去).若a5为偶数，则 ＝1，a5＝2.
若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝ (舍去).
若a4为偶数，则 ＝2，a4＝4.
若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
则a2＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则 ＝4，a3＝8.
【解析】由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，
得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，
两式相减，得nan＋1－(n－1)an＝an.
所以n≥3时，nan＋1＝nan，即an＋1＝an.
又a9＝8，所以a3＝8.
又2a3＝a1＋a2，a1＝7，所以a2＝2a3－a1＝9.
答案：9
四、解答题(每小题10分，共20分)
答案：－
4．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
【解析】因为 所以
所以an＝(－1)n＋3，所以a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an.
【解析】由题意得an＋1－an＝ln ，