【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)
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2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
规律方法
本题利用了点与圆心的距离与半径之间的大小关系
判定了点与圆的位置关系，①点在圆上⇔ d＝r；②点在圆外⇔ d ＞r；③点在圆内⇔ d＜r.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径就可
以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定 该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点 坐标代入圆的方程判断．
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
规律方法
本题利用了点与圆心的距离与半径之间的大小关系
判定了点与圆的位置关系，①点在圆上⇔ d＝r；②点在圆外⇔ d ＞r；③点在圆内⇔ d＜r.
【变式 2】 已知点 A(1,2)在圆 C： (x－a)2＋(y＋a)2＝2a2 的内部， 求实数 a 的取值范围． 解 ∵点 A 在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， 5 ∴2a＋5＜0，∴a＜－2， ∴a
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
∴BC的垂直平分线方程为y＝x－3. CD的垂直平分线方程为y＝4.
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是
根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两 个几何要素，然后代入标准方程．
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径
就可以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以 判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将 该点坐标代入圆的方程判断．
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是
根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两 个几何要素，然后代入标准方程．
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径
就可以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以 判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将 该点坐标代入圆的方程判断．
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
y r C
M
O
x
特例：如果圆心在 坐标原点，圆的方 程为 x2+y2=r2.
小结：
1 圆心确定圆的位置，半径确
定圆的大小。 2 只要a,b,r(r＞0）三个量确定
了,方程就确定了。 3 要确定圆的方程，必须知道 三个独立的条件。
课本例1 • 写出圆心为A（2，3）半径 长等于5的圆 的方程， • 并判断点 M 1 （5，-7）， （- 5 ，-1） M2 • 是否在这个圆上。
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
自学导引 1．确定圆的条件 一个圆的 圆心 位置和 半径 一旦给定，这个圆就确定了，如 图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于 定长 的点的集合叫圆，定点 叫做圆的 圆心 ，定长 称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 . 是
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，
将所给点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 作比较： 若|CM|＝r，则点 M 在圆 C 上； 若|CM|＞r，则点 M 在圆 C 外； 若|CM|＜r，则点 M 在圆 C 内． 利用圆的标准方程来判定： 点 M(m，n)在圆 C 上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点 M(m，n)在圆 C 外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2； 点 M(m，n)在圆 C 内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，
【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2பைடு நூலகம் b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
将所给点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 作比较： 若|CM|＝r，则点 M 在圆 C 上； 若|CM|＞r，则点 M 在圆 C 外； 若|CM|＜r，则点 M 在圆 C 内． 利用圆的标准方程来判定： 点 M(m，n)在圆 C 上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点 M(m，n)在圆 C 外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2； 点 M(m，n)在圆 C 内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形 易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值 为 2 2－2.(12 分)
2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
确定圆心的位置是解决本题的切入点， 同时， 本题易 漏掉圆心在直线 y＝－2x 上这种情况．纠正错误的关键是弄清 距离的概念，审题时要做到滴水不漏。
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解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径就可
以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定 该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点 坐标代入圆的方程判断．
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
2x＋y＋4＝0， 由方程组 x－2y－3＝0， x＝－1， 得 y＝－2.
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是根据
题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几 何要素，然后代入标准方程．
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·
(x1，y1)，(x2，y2)
(y－y2)＝0
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝a2(a≠0)． 所以圆心为(0,2)，半径r＝|a|.
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程①.于是 5－a2＋1－b2＝r2， 7－a2＋－3－b2＝r2， 2－a2＋－8－b2＝r2，
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
本题出错原因在于没有理解题意，错将圆心到 x、y 轴的距离直接当成圆心(a，b)中 a、b 的值，这是错误的．而事 实上，圆心到 x、y 轴距离应该是|a|、|b|，从而圆心在直线 y＝ 2|x|上． [正解] 由圆心到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的 2 倍可知，圆 心必在直线 y＝2x 或 y＝－2x 上． 又∵圆过点 A(1,0)，B(3,0)， ∴圆心必在线段 AB 的垂直平分线 x＝2 上． 从而可知圆心 C 为(2,4)或(2，－4)． 又 r2＝|AC|2＝17， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17 或(x－2)2＋(y＋4)2＝17.
【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
如果圆的方程为： 若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1： 求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代 入圆 的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6)2 9
例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入 这个隧道？ 解：（如右图）建立直角坐 标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
车宽为2.7米即： 2.7 x
A
0
2.7
B X
y 则： 16 2.7 8.71 3
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
[精解详析]
法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，
∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方 程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. ∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，
0－a2＋0－a－22＝r2， ∴ 1－a2＋3－a－22＝r2，
提示： (y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
1．确定圆的标准方程的方法 (1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心和半 径的圆； (2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使用； (3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点问 题和距离公式求解．
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程①.于是 5－a2＋1－b2＝r2， 7－a2＋－3－b2＝r2， 2－a2＋－8－b2＝r2，
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x－
2y－3＝0上的圆的方程．
解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)， 1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
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练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为：
x 2 y 3
y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
第二章 解析几何初步
2.2.1 圆的标准方程
如 设 何 此 写 圆 出 的 此 半 圆 径 的 为 方 程米 ？，
r
一﹑定点距离等 于定长的点的集合(轨 迹)是圆。 其中的定点是圆心， 定长是半径。
y r (a,b)
O
x
一个圆的圆心位置和半径一旦 确定，这个圆就被确定下来了。
例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入 这个隧道？ 解：（如右图）建立直角坐 标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
车宽为2.7米即： 2.7 x
A
0
2.7
B X
y 则： 16 2.7 8.71 3
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的 方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)( x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
如果圆的方程为： 若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1： 求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代 入圆 的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6)2 9
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的 直角坐标系，如 右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设P(x,y)是圆上任意一点， y