河南省郑州市第一中学高三上学期入学摸底测试数学(理)试题Word版含答案

19届（高三）上期入学摸底测试
数学（理科）试题
说明：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）满分150分，考试时间120 分钟。

2.将第I 卷的答案代表字母填（涂）在第II 卷的答题表（答题卡）中。

第I 卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A={N x x x ∈≤,42|},B={)1,>1
6
|Z x x x ∈+},则满足条件C B A ⊆⊆集合 C 的个数为 A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
2.已知 33,:2≥+∈∀x R x p ” ,则p ⌝是 A. 3<3,2+∈∀x R x ” B. 33,2≤+∈∃x R x ” C. 3<3,2+∈∃x R x ” D. 33,2≥+∈∃x R x ”
3.下列命题中正确命题的个数是
（1）对分类变量X 与Y 的随机变量2
K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系” 的把握越大。

（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； （4）设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)
若p 1)>(=ξP ，则p P -=-2
1
0)<<1(ξ. A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天 多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？ A. 18 B. 20 C.
21 D. 25
5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为
A. 62
B. 52
C. 4
D. 22
6.设n S 是数列{n a }的前n 项和，且1-=n a ，n n n S S a =++1
1
，则=10S A.
101 B. 10
1- C.10 D.-10 7.设xdx a sin 0π⎰=,则)2()1(26
+⋅-x x
x a 的展开式中常数项是 A. 332 B. -332
C. 320
D. -320
8.设0
390sin =a ,函数⎩⎨⎧≥=0
log 0<)(xx x a x f a x ,则)81(log )81(2f f +的值等于
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
9.现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为 A.
61 B. 65 C. 83 D. 8
5
10.已知定义在区间],2[ππ-
上的函数)(x f y =的图像关于直线4π=x 对称，当4
π
≥x 时， x x f sin )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为
A. π43
B.
2
π
C. π
D. π2 11.已知直线l 与双曲线14
22
=-y x 相切于点P ，l 与双曲线两条渐近线交于M,N 两点，则=⋅ 的值为
A. 3
B. 4
C.5
D.与P 的位置有关
12. 设0)>(...1)(2x x x x x f n n ++++=，其中2,≥∈n N n ，则函数2)()(-=x f x G n n
在
)1,21
(
n
内的零点个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D.与n 有关
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上
13.已知复数i z +=1，则
=--1
22z z
z 14.从抛物线2
4
1x y =
上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |= 5 。

设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为 .
15.过平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≥+≥+-020202y x y y x 内一点P 作圆0: 122=+y x 的两条切线，切点分别为记为A ，
B ，∠APB =α，当α最大时，点P 坐标为
.
16.设x x x f -=3)(，过下列点A(0,0)，B(0,2)，C (2,-1)，D(
9
3
2,
33)，E(-2,0)分别作曲线)(x f 的切线，其中存在三条直线与曲线)(x f y =相切的点是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知向量))4
sin(,(cos )),4cos(,(sin π
π
-=+
=x x n x x m ， 设n m x f ⋅=)(
(I)求)(x f 的最小正周期；
(Ⅱ)在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1,0)2
(==c C
f ，求△ABC 面积的最大值. 18.(本小题满分12分）
郑州一中社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了 100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图：将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”。

（I ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“围棋迷”与性别有关？
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求Z 的分布列，期望
19.(本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD 中,∠ADC =0
90，
CD // AB ，AB=2, AD=CD=1，M 为线段AB 的中点.将MDC 沿AC 折起，使平面 ADC 丄平面ABC ，得到几何体D - ABC ，如图2所示。

（Ⅰ）求证:平面DBC 丄平面ACD ； （Ⅱ）求二面角B - CD -M 的余弦值。

20. (本小题满分12分）
已知椭圆C: 122
22=+b
y a x
的离心率为
2
1
点，21,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的周长是6。

(I)求椭圆C 的方程； (II)设圆T: 9
4
)(2
2
=
+-y t x ，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆 于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且)1,0(∈t 时，求EF 的斜率的取值范围。

21.(本小题满分12分)
已知函数x x x f -=ln )(。

(I)证明：x
x x f ln >
|)(|； (II)设m > n > 0，比较
n m n n f m x f -+-+))(()(与2
2
n m m
+的大小，并说明理由。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.(本小题满分10分）选修4一4,坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程：⎩
⎨
⎧=+=θθ
sin cos 1t y t x （θ为参数），曲线C 的参数方程：
⎩
⎨
⎧==αα
sin cos 3y x ，(α为参数），且直线交曲线C 于A,B 两点。

(I)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求3
πθ=
时, ||AB 的长度；
(Ⅱ)已知点P(1,0),求当直线倾斜角θ变化时，||||PB PA ⋅的范围. 23.(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数a > 0, b > 0，且82
2
=+b a ，若m b a ≤+恒成立. (I)求实数m 的最小值；
(Ⅱ)若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围。