河南省豫南九校2019-2020学年高一上学期第一次联考数学试题 Word版含解析

豫南九校2019-2020学年上期第一次联考
高一数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{0,1}M =，则下列关系式中，正确的是（ ） A. {0}M ∈ B. {0}M ∉
C. 0M ∈
D. 0M ⊆
【答案】C 【解析】
分析：根据选项由元素与集合关系即可求解.
详解:由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得
0M ∈正确，故选C.
点睛：考查集合与元素，集合与集合之间的关系，属于基础题.
2.函数y ＝
1
1
x -在[2，3]上的最小值为( ) A. 2
B.
12 C.
13
D. －
12
【答案】B 【解析】 y ＝1
1x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值1
2
，选B.
3.520的值是（）
A. 2
B. 1
C.
12
D. 12
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数的运算性质，可直接得出结果.
【详解】lg lg lg 1==. 故选B
【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A. 12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B. 1y x
=
C. 3y x =-
D.
23y x =-+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据奇函数的定义，排除AD ，再根据单调性，即可得出结果.
【详解】对于A ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，122-⎛⎫= ⎪⎝⎭
x
x 显然不是奇函数，排除A ；
对于B ，1y x
=
时，11=--x x 时，奇函数，但1122>-，因此在定义域内，不是减函数，排除B ； 对于C ， 3y x =-时，3
3
()--=x x ，满足奇函数定义，所以3
y x =-是奇函数；
令3
()f x x =-，x ∈R ，任取12,x x R ∈，且12x x <，
则()()2
233221
112122122112123()()()24⎡⎤⎛⎫-=-+=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
x x f x f x x x x x x x x x x x x ，
因为12x x <，所以210x x ->，2
2
11
23024⎛⎫++> ⎪⎝
⎭x x x ，
因此12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故3
()f x x =-在x ∈R 上单调递减；故C 正确； 对于D ，2
3y x =-+时，22()33--+=-+x x ，所以23y x =-+为偶函数，排除D
故选C
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定解析式，熟记函数奇偶性与单调性的定义
即可，属于常考题型.
5.已知43
2a =，0
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1325c -=，则（）
A. a b c >>
B. b c a >>
C. a c b >>
D.
c a b >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性，先确定a ，b ，c 的大致范围，即可得出结果.
【详解】因为4
13
222=>=a ，0
11
3⎛⎫== ⎪⎝⎭
b ，13251-==<
c ， 所以a b c >>. 故选A
【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
6.已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A. ()31f x x =-
B. ()31f x x =+
C. ()32f x x =+
D.
()34f x x =+
【答案】A 【解析】
由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-.
7.已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. []
1,4-
C. 1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D. []
5,5-
【答案】C 【解析】
∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−1
2
⩽x ⩽2，
即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
本题选择C 选项.
8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有()()3f x f x +=，且()14f -=，则()2020f 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()f x 的奇偶性，与()14f -=，得到()14f =；再由()()3f x f x +=确定函数()f x 的周期，从而可求出结果.
【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且()14f -=， 所以()11()4=-=f f ；
又对任意x ∈R 都有()()3f x f x +=， 所以函数()f x 是以3为周期的函数，
因此()2020(16733)(1)(1)4=+⨯==-=f f f f . 故选C
【点睛】本题主要考查由函数的周期性与奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.
9.函数()x b
f x a
-=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是
A. 01,0a b <<>
B. 1,0a b ><
C. 01,0a b <<<
D.
1,0a b >>
【答案】C 【解析】
【详解】试题分析：∵由函数图象单调递减得：底数a 满足0＜a ＜1，又x=0时，0＜y ＜1，∴a -b ＜a 0，∴结合指数函数的单调性可知，-b ＞0，b ＜0，故答案选 C ． 考点：本试题主要考查了指数函数的图象与性质的运用。

点评：解决该试题的关键是能通过图象与坐标轴的交点，代点得到参数的范围.
10.设函数()()2
0f x x x a a =++>满足()0f m <，则（）
A. ()10f m +=
B. ()10f m +≤
C. ()10f m +>
D. ()10f m +<
【答案】C 【解析】 【分析】
先由()0(1)0=-=>f f a ，()0f m <确定10m -<<，从而011m <+<，再由二次函数单调性，即可判断出结果.
【详解】因为()()2
0f x x x a a =++>，
所以()0(1)0=-=>f f a ，
又()0f m <，所以10m -<<，所以011m <+<；
又()2
2
1124⎛⎫=++=++- ⎪⎝
⎭f x x x a x a ， 所以当1
2
x >-
时，函数()f x 单调递增；
因此()1(0)0()+>>>f m f f m . 故选C
【点睛】本题主要考查由函数单调性判断函数值的大小，熟记二次函数单调性即可，属于常考题型.
11.若函数()32
1
x x
te t f x x e --=+-是奇函数，则常数t 等于（） A. 1- B. e -
C. 0
D.
1e
【答案】A 【解析】 【分析】
先由函数解析式，确定函数定义域，再由函数是奇函数，得到()1(1)0-+=f f ，解方程，即可求出结果.
【详解】因为()32
1x x
te t f x x e --=+-，所以10x e -≠，即0x ≠； 又函数()3
21
x x
te t f x x e --=+-是奇函数， 所以()1(1)0-+=f f ，
即11
22
11011
-------++=--te t te t e e ，整理得：+101t te e e --=-， 解得1t =-. 故选A
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型.
12.已知函数()y f x =的定义域为R ，()2f x +为偶函数，且对任意对12,x x 当122x x <≤时，
满足
()()2121
0f x f x x x -<-，则关于a 的不等式()12
1log 2322a
a f a f ⎛⎫ ⎪-+<+ ⎪⎝⎭
的解集为（）
A. ()0,∞+
B. ()1,+∞
C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先由题意，得到(),2x ∈-∞时，()f x 单调递减；再由()2f x +为偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称，推出()2,x ∈+∞时，()f x 单调递增；化简所求不等式，根据函数单调性，即可求出结果.
【详解】因为对任意对12,x x 当122x x <≤时，满足()()2121
0f x f x x x -<-，
所以当(),2x ∈-∞时，()f x 单调递减；
又()2f x +为偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此，()2,x ∈+∞时，()f x 单调递增；
因为不等式()12
1log 2322a
a f a f ⎛⎫ ⎪-+<+ ⎪⎝⎭
可化为()()
322<+a f f ， 又222+>a ，
所以只需223+>a ，解得0a >. 故选A
【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设集合{}
{}2
|20,0,1A x x x B =-==，则集合A B ⋃的子集的个数为 ．
【答案】8 【解析】
试题分析：由于{}0,1,2A B ⋃=有3个元素，故子集有8个. 考点：并集和子集.
14.
函数()f x x =的最大值为________.
【答案】
14
【解析】 【分析】
先利用导数判断函数的单调性，即可求出最大值。

【详解】11
()1f x '==Q ，所以()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递增，在1,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上递减， 故()f x
的最大值为111()444
f =
=。

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值。

15.设函数()f x 对0x ≠的一切实数都有2019
()2()3f x f x x
+=，则(2019)f =___________ 【答案】-2017 【解析】 【分析】
分别令1x =和2019x = 代入等式，解方程组得到()2019f 的值.
【详解】1x =时，()()1220193f f +=，当2019x =时，()()2019216057f f +=
即()()()()12201932019216057f f f f ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，解得()20192017f =-.
故填：-2017.
【点睛】本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为： 1.待定系数法，适应于已知函数类型；
2.代入法，适用于已知()f x 的解析式，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式；
3.换元法，适用于已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式，求()f x 的解析式；
4.方程组法，适用于已知()f x 和1
f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
的方程，或()f x 和()f x -的方程.
16.已知111,0,22()12,,22x x x f x x -⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭
=⎨⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，有()()12f x f x =，
则()()112x f x f x -的最小值为__________． 【答案】9
16
- 【解析】 【分析】
先作出函数()f x 的图像，由题意令()()12f x f x t ==，则y t =与()y f x =有两不同交点，求出t 的范围，再由()1f x t =，求出112x t =-，将()()112x f x f x -化为1
()2
t t t --，即可求出结果.
【详解】作出函数111,0,22()12,,22x x x f x x -⎧⎡⎫
+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭
=⎨⎡⎫
⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
图像如下：
因为存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，有()()12f x f x =， 令()()12f x f x t ==，则y t =与()y f x =有两不同交点，
1t ≤<， 由()1f x t =得112x t +
=，解得112
x t =-； 所以()()2
21121339
()22416
x f x f x t t t t t t ⎛⎫-=--=-=-- ⎪⎝⎭，
因为12t ≤<，所以当3t 4=时，2
23392416
t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭取最小值916-，
即()()112x f x f x -的最小值为9
16
-
【点睛】本题主要考查函数零点问题，以及二次函数最值问题，通过数形结合与转化的
思想，将问题转化为求二次函数最值的问题，即可求解，属于常考题型.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.计算下列各式： （1）()1
0.5
23
3
2770.02721259-
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）()22lg 25lg8lg5lg 20lg 23
+
+⋅+ 【答案】（1）0.09；（2）3. 【解析】 【分析】
（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）进行对数式的运算即可． 【详解】解：（1）原式55
0.090.0933
=+
-=； （2）原式()()2
2lg52lg2lg52lg2lg5lg2=++++
()()22
2lg2lg5lg5lg2lg5lg2=+⋅++⋅+
()()2lg5lg2lg5lg2lg5lg2=+⋅++⋅+
2lg5lg2=++
21=+
3=．
【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
18.已知集合12322x A x
⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，集合{2B x x =<-或}2x >. （1）求A B I ；
（2）若{}1C x x a =≤-，且A C ⊆，求实数a
的取值范围. 【答案】（1）{}
25A B x x ⋂=<≤；（2）6a ≥
【解析】
【分析】 （1）先化简集合A ，再根据交集的概念，即可求出结果；
（2）根据A C ⊆，列出不等式组，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为{}1232152x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{2B x x =<-或}2x >， 所以{}
25A B x x ⋂=<≤； （2）因为{}1C x x a =≤-，{}
A=15x x -≤≤且A C ⊆，
所以15a -≥，解得6a ≥.
即实数a 的取值范围为6a ≥. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，以及由集合间的包含关系求参数，熟记交集的概念，以及子集的概念即可，属于常考题型.
19.已知函数(
)f x =定义域为R ，
（1）求a 的取值范围；
（2）若函数()f x 在[]2,1-上的最大值与最小值之积为1，求实数a 的值.
【答案】（1）01a ≤≤；（2）23
a =
. 【解析】
【分析】
（1）先由题意得到不等式2210ax ax ++≥x R ∀∈恒成立，分别讨论0a =与0a ≠两种情况，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，分0a =和01a <≤两种情况，利用函数单调性，结合题中条件，求出最大值与最小值，进而可求出结果.
【详解】（1）因为函数()f x =定义域为R ，
所以不等式2210ax ax ++≥x R ∀∈恒成立，
当0a =时，不等式可化为10≥显然恒成立；
当0a ≠时，由不等式2
210ax ax ++≥x R ∀∈恒成立，可得20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩， 解得01a <≤，
综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤；
（2）由（1）知01a ≤≤；
当0a =时，()1==f x 不是单调函数，无最值，不满足题意；
当01a <≤时，令()221=++g x ax ax ，[]2,1-，则其对称轴为1x =-，
所以()g x 在[)2,1--上单调递减，在(]1,1-上单调递增；
所以()f x 在[)2,1--上单调递减，在(]1,1-上单调递增；
因此()min (1)=-=f x f
又()21f -=，()1==f ()max ()1==f x f 因为函数()f x 在[]2,1-上的最大值与最小值之积为1，
1=，整理得2320-=a a ，解得0a =（舍）或23a =
. 综上所述，23
a =. 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，以及由函数最值求参数的问题，熟记一元二次不等式恒成立的条件，以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.
20.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下面三个条件：
①对任意正数.a b ，都有()()()f a f b f ab +=；
②对于0x y <<，都有()()f x f y >； ③112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （1）求()1f 和14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； （2）求满足解不等式()()32f x f x -+-≥-的x 取值集合.
【答案】（1）()10f =，124f ⎛⎫=
⎪⎝⎭；（2）{}10x x -≤< 【解析】
【分析】
（1）根据题意，令1a b ==，代入()()()f a f b f ab +=，即可求出()10f =；由112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，可求出111422⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f ； （2）先由（1）将原不等式化为()()13(1)4⎡⎤
--≥⎢⎥⎣⎦f x x f ，根据对于0x y <<，都有()()f x f y >，得到()f x 在()0,∞+上是单调递减函数，由此列出不等式组，即可求出结果.
【详解】（1）因为对任意正数.a b ，都有()()()f a f b f ab +=；
令1a b ==，则()()()111+=f f f ，解得()10f =， 由112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1112422⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f ； （2）由（1）可得，不等式()()32f x f x -+-≥-可化为()()320--+≥⎡⎤⎣⎦f x x ， 即()()13(1)4⎛⎫
--+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭f x x f f ， 即()()13(1)4⎡⎤--≥⎢⎥⎣⎦
f x x f ；
又因为对于0x y <<，都有()()f x f y >，
所以()f x 在()0,∞+上是单调递减函数， 所以()()131
4030x x x x ⎧--≤⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩
，解得10x -≤<， 即原不等式的解集为{}10x x -≤<.
【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及由函数单调性解不等式，熟记函数单调性即可，属于常考题型.
21.定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，已知当[]4,0x ∈-时，()143x x a f x =
+()a R ∈. （1）求()f x 在[]0,4上的解析式.
（2）若[]2,1x ∈--时，不等式()1123
x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()34x x
f x =-；（2）172m ≥
【解析】
【分析】 （1）根据函数奇偶性求出1a =-，再由[]
0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，得到()114343
---=-=-x x x x f x ，根据()()f x f x -=-，即可求出结果； （2）由题意，将原不等式化1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x m ，令12()223x x
g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由指数函数单调性，得到()g x 单调递减，原不等式恒成立，即可转化为()≥m g x 在[]2,1x ∈--上恒成立，从而可求出结果.
【详解】（1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]4,0x ∈-时，()143x x a f x =+， 所以()0010043=+=a f ，解得1a =-；所以[]4,0x ∈-时，()1143
=-x x f x ， 当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，
所以()114343---=-=-x x x x
f x ， 又()()f x f x -=-，所以()43-=-x x f x ，()34x x f x =-，
即()f x 在[]0,4上的解析式为()34x x f x =-；
（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，()1143
=-x x f x ， 所以()1123
x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-， 整理得1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x x x x x m ， 令12()223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数， 所以()g x 也是减函数，
因为[]2,1x ∈--时，不等式()1123
x x m f x -≤-恒成立， 等价于()≥m g x 在[]2,1x ∈--上恒成立， 所以，只需max 917()(2)4242
≥=-=+⋅=m g x g . 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与函数单调性即可，属于常考题型.
22.已知函数f(x)＝2121
x x -+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t ≥1，不等式f(•3t k )＋f(392t t -+)<0恒成立，求k 的取值范围．
【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）4,
3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
（1）根据奇偶性的判定方法求解即可；（2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为3392t t t k <-+-n 对任意t ≥1恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围．
【详解】(1)∵2x ＋1≠0，
∴函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称． ∵()()211221211221
x x x x x x f x f x ------===-=-+++， ∴函数()f x 为奇函数．
（3）函数()f x 在定义域上为增函数．证明如下：
设12,x x R ∈，且12x x <，
则()()()()()
1212121212222212121212121x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， ∵y＝2x 在(),∞∞－＋上是增函数，且12x x <，
∴12220x x -<，
∴()()120f x f x -<，
∴()()12f x f x <，
∴函数()f x 在定义域内是增函数．
（3）∵()()
•33920t t t f k f +-+<，
∴()()•3392t t t f k f <--+．
∵函数()f x 是奇函数，
∴()()•3392t t t f k f <-+-．
又函数()f x 在定义域内是增函数，
∴3392t t t k <-+-n 对任意t ≥1恒成立， ∴2313
t t k <--对任意t ≥1恒成立． 令3t m =, 1t ≥，则3m ≥，
∵函数()21g m m m =-
-在[)3,+∞上是增函数， ∴()()min
433g m g ==， ∴43
k <， ∴实数k 的取值范围为4,
3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】（1）解答本题时注意函数的奇偶性和单调性的定义的利用，解题时不要忽视了函数的定义域；
（2）解答第三问的关键在于转化，但此时容易出现符号上的错误．解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即将参数分离后转化成求函数最值的问题处理，利用单调性求最值是常用的方法．。