第3讲 实数的运算及分数指数幂(讲义)原卷版

第3讲实数的运算及分数指数幂
模块一：近似数的精确度
.知识精讲
知识点：有关概念
1．准确数概念：
一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．
2．近似数概念：
与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．
☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．
☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）
3．精确度概念：
近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．
☆近似数的精确度通常有两种表示方法：
（1）精确到哪一个数位；
（2）保留几个有效数字．
4．有效数字概念：
对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
例题解析
例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．
例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?
1)2000； 2）4.523亿；3）5
7.3310
⨯；4）0.00125．
例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．
（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；
（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；
（3）548203(精确到千位) ≈_________；
（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．
π=，按四舍五入法取近似值．
例4.已知 3.1415926
（1）π≈__________（保留五个有效数字）；
（2）π≈_________（保留三个有效数字）；
（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．
例5.用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别?
例6.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？
（1）2000 （2）0.6180
（3）7.20万 （4）5
1010.5⨯
例7：地球表面积约为8
1011.5⨯平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳
得到的能量相当于燃烧8
103.1⨯千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）． 例8.废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米．
模块二：分数指数幂 知识精讲
1、有理数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
(0)m
n
a a =≥(0)m n
a
a -
=>，其中、n 为正整数，1n >．
上面规定中的m n
a 和m n
a
-
叫做分数指数幂，a 是底数．
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：
设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=；
（2）()p q pq a a =；
（3）()p
p
p
ab a b =，()p
p p a a b b
=．
例题解析
例1.把下列方根化为幂的形式：
（1
；
（
2）
（3
；
（4）
（5
；
（6
．
例2.把下列分数指数幂化为方根形式： （1）1
31()27
-；
（2）2
38()27；
（3）1
21()16
-；
（4）113
2(64)．
例3.化简：
（1）1113
6
2
a a a ÷⋅； （2）8
例4.计算下列各值：
（1
（2
）2017
1
3
(
4
a
a
+
．
例5.计算下列各值：
（1
）
1
225
232
---（2
）
11
2
22
[(2(2]-
++．
例6.计算：
（1
；（2）
111
2
444
111
()()()
242
a a a
-⋅++；
（3）
152121
663633
3(2)(4)
x y x y x y
÷-⨯．
例7.已知13
x x-
+=，求下列各式的值：（1）
11
22
x x-
+；（2）
33
22
x x-
+.
例8.若
111
123
333
42133
a a a a
---
=⨯⨯++
，求的值．
例9.已知
1
2
2
a=，
1
3
2
b=，
1
2
3
c=，
1
3
3
d=，试用a b c d
、、、的代数式表示下列各数值．
（1；（2（3；（4
例10.已知：210(0)x x
x
x
x
a a a a a a --+=>-，求的值．
例11.材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a a
a 个
记为n a ．如2×2×2=23
=8，此时，
3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >）
，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34
=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；
（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．
模块三：实数的运算 知识精讲
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开
方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
a =(0,0)a
b a b =≥≥0,0)a b =≥>；2(0)a a =≥． 例题解析
例的整数部分为a ，小数部分为b ，则a
b =_________．
例2计算：
（1）1230.1)3(2)-⎡⨯---⎣；
（2）20152014； （3）
3．
例3.
-．
例4.计算：
（1）1
10
3
22
38[1
(0.2)]4271000π--+--⨯-
（2112
13
3
2
11127883-
-
-⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
---- ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
．
例5.已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求512
38x y -+的值．
例6.已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +
=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．
例7.先阅读下列的解答过程，然后再解答：
a、b，使a b m
+=，ab n
=，使得
22m
+====()
a b
>
，这里7
m=，12
n=，由于4+3=7，4312
⨯=
即227
+=
2
=
（12；（3．
例8.已知
111
333
421
a=++，求123
33
a a a
---
++的值．
随堂检测
1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）
A．B
C．D．
2.下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字?
（
1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；
（4）5
5.1010
⨯．
3.把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：
4
，，7，
3
2
2-，
3
4
3，
3
2
4-，
2
3
7．
4.比较大小：
（1）与；（22
1
2
()(0)
x x
=->
1
3(0)
y y
=<
3
40)
x x
-
=>
1
30)
x x
-
=≠
6
2+5
3+
5.把下列方根化为幂的形式．
（1
（2
；（3）．
6.计算：（
1）
23
34
(9)；（2）
11
33
39
⨯；（3）
1
442
(35)
÷；
（4）
11
6
32
(32)
-
⨯；（5）
8
33
3
24
(25)
⨯；（6）
751
1
2
663
2
3(2)
x y x y
÷．
．
7.利用幂的性质运算：
（1）
111
222
133
()()()
5525
-
⨯⨯；（2；（3）
a
8.计算：
（1
（2）111
1113
3
22
22
113113⎛⎫⎛⎫
-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（3）
2014
2015
+⋅
； （4）
)
1
1
-+-．
9. 计算：1
0.75
13
(0.027)16
(3)
-+++-+
02
21)(1-÷⨯
11. 解方程：()()3
2
91216-=--x
12.解方程：38(21)125x -=
13. 已知a 、b 为整数，且满足)(136a
b +-=+a b +的值。

14.=，其中0ab ≠
15.化简求值：
（1）已知：1
5a a -+=，求2
2
a a -+；112
2
a a -+；112
2
a a -
-；
（2）已知：223a a -+=，求88a a -+．。