广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三数学第一次联合模拟考试试卷 文

广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷
注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B）＝P （A ）·P（B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k
次的概率k n k
k n n p p C k P --=)1()(（k=0，1，2…，n ）
球的表面积公式S ＝4πR 2
其中R 表示球的半径 球的体积公式V ＝3
3
4
R π其中R 表示球的半径
一、选择题
1. 已知集合A ＝{x ｜|x|≤2，x∈R}，B ＝{x ｜x ≤2，x∈Z}，则A∩B＝ A. （0，2）
B. [0，2]
C. {0，2}
D. {0，1，2}
2. 如果函数f （x ）=sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
6πωx （ω>0）的最小正周期为2π
，则ω的值为
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
3. 函数y=1+2
x
-的反函数为y=g （x ），则g （5）=
A. 2
B. －2
C. －4
D. 4
4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5=3（a 2+a 8），则
3
5
a a 的值为 A.
6
1 B.
3
1
C.
5
3 D.
6
5 5. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB=2，AA 1=3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角为
A.
6
π B.
4
π C.
3
π D.
2
π 6. 下列4个数中，最大的是
A. lg （lg2）
B. （lg2）2
C. lg 2
D. lg2
7. 已知双曲线x 2
－m 2
y 2
=m 2
（m>0）的一条渐近线与直线2x －y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为
A. x=±
3
3
4
B. x=±
5
5
4
C. x=±
2
3 D. x=±
2
5 8. 设（x －b ）8
=b 0+b 1x+b 2x 2
+…+b 8x 8
，如果b 5+b 8=－6，则实数b 的值为
A.
2
1 B. －
2
1 C.
2 D. －2
9. 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，AD =λAB +μAC ，则λμ的最大值为
A. 1
B.
2
1 C.
3
1
D.
4
1 10. 已知抛物线y 2
=4px （p>0）与双曲线22a x －22
b
y =1（a>0，b>0）有相同的焦点F ，点A
是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为
A.
2
1
5+ B.
2
1
22+ C. 12+ D. 13+
11. 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA⊥平面ABC ，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O 的表面积为
A. 4π
B. 12π
C. 16π
D. 64π
12. 在8×8棋盘的64个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为
A. 64
B. 128
C. 204
D. 408
第Ⅱ卷
注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 用简单随机抽样方法从含有300个个体的总体中抽取一个容量为20的样本，则指定
的某个个体被抽到的概率为______。

14. 若cos （
3π－α）=41，则cos （3
π
+2α）=________.
15. 若实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥,
3,1,
1y x y x 则z=252+++x y x 的最大值为 _______.
16. 已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面ABC ，且PA=2AB=2，则点A 到平面PBC 的距离为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若csinA=acosC ，a 2
+b 2
=4（a+b ）－8，求c 的值。

18. （本小题满分12分）
在某国际高端经济论坛上，前六位发言的是与会的含有甲、乙的6名中国经济学专家，他们的发言顺序通过随机抽签方式决定.
（Ⅰ）求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率； （Ⅱ）求发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率. 19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，AB=BC=CA=4，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C.
（Ⅰ）证明：AC⊥BA 1；
（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，前n 项和为S n ，且S 4+a 2=2S 3，等比数列{b n }满足b 1=a 2，b 2=a 4.
（Ⅰ）求证：数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项； （Ⅱ）若a 1=2，设c n =
1
22log log 2
+n n b b ，求数列{c n }的前n 项和T n .
21. （本小题满分12分）
已知函数f （x ）=ax 3
+bx 2
－3x （a ，b∈R）在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f （x ）的三条切线，求实数m 的取值范围.
22. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C ：22a x +22
b
y =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上
的一点，AF 2⊥F 1F 2，O 是坐标原点，OB 垂直AF 1于B ，且OF 1=3OB. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b ），使得命题“设圆x 2
+y 2
=t 2
上任意点M （x 0，y 0）处的切线交椭圆C 于Q 1、Q 2两点，那么OQ 1⊥OQ 2”成立.
【试卷答案】 评分说明：
1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分.
2. 第二题填空题，不给中间分.
3. 解答与证明题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
6. 只给整数分数.
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
B
D
A
D
B
A
D
C
C
C
二、填空题
13. 15
1
14.
8
7 15. 3 16.
19
57
2
三、解答与证明题
17. （本小题满分10分）
解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 2分
因为0<A<π，所以sinA>0.从而sinC=cosC. 又cosC ≠0，所以tanC=1，故C=
4
π.
5分
由a 2
+b 2
=4（a+b ）－8，得（a －2）2
+（b －2）2
=0，则a=2，b=2.
7
分
又由余弦定理得c 2
=a 2
+b 2
－2abcosC=8－42，
9分
所以c=248-. 10分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A ，
1分 则P （A ）=6
6
4
422A A A =151
.
4分
答：甲、乙两位专家恰好安排在前两位出场的概率为
15
1
. 5分
（Ⅱ）设“发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家”为事件B ，
则P （B ）=6
6
44224A A A =154
. 10分
答：发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率为15
4
. 12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：（1）取AC 的中点O ，连结OA 1，OB ，BA 1，则
AC O A CO AO AA C A ⊥⇒⎭
⎬⎫
==111，
2分
AC BO CO AO BC AB ⊥⇒⎭
⎬⎫
==.
4分
∴AC⊥面BOA 1.
5分 ∵BA 1⊂面BOA 1，∴AC⊥BA 1.
6分
（Ⅱ）解法一：∵面A 1ACC 1⊥面ABC ，A 1O⊥AC， ∴A 1O⊥面ABC.
7分
过点O 作OH⊥AB 于H ，连结A 1H ，则A 1H⊥AB， ∴∠A 1HO 为所求二面角的平面角.
9分
在等边△ABC 中，OH=3，A 1H=7. ∴cos∠A 1HO=
H A OH 1=7
21
. 11分
∴侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的二面角为arccos
7
21
.
12分
解法二：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
7分
则A （0，－2，0），B （23，0，0），C （0，2，0），A 1（0，0，2），
C 1（0，4，2），设n=（x ，y ，z ）是面A 1ABB 1的一个法向量，则n⊥1AA ，n⊥AB ， ∵1AA =（0，2，2）
， AB =（23，2，0），
8分 ∴⎩⎨⎧=+=+.
030y x ，z y 取x=1，得n=（1，－3，3）.
9分
易知平面ABC 的法向量为m=（0，0，1），
10分
所以cos<m ，n>=
||||n m n m ⋅⋅=7
21
.
11分
∴ 侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的二面角为arccos 7
21. 12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4+a 2=2S 3，得4a 1+6d+a 1+d=6a 1+6d ，
∴a 1=d.
2分
则a n =a 1+（n －1）d=na 1，∴ b 1=2a 1，b 2=4a 1. 等比数列{b n }的公比q=1
2
b b =2. 4分
则b n =2a 1·2
1
-n =2n
·a 1，∵2n
∈N *
，
∴{b n }中的每一项都是{a n }中的项.
6分
（Ⅱ）当a 1=2时，b n =21
+n ，c n =
)2)(1(2++n n =2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+2111
n n .
8
分
则T n =c 1+c 2+…+c n =2⎪⎭⎫
⎝⎛+-++⋯+-+-21114
1
313121n n =2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121n
=
2
+n n
.
12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f′（x ）=3ax 2
+2bx －3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，
即⎩⎨⎧=--=-+.
0323,0323b a b a 解得a=1，b=0. ∴f（x ）=x 3－3x. 4分 （Ⅱ）f′（x ）=3x 2
－3=3（x+1）（x －1）.
∵曲线方程为y=x 3－3x ， ∴点A （1，m ）不在曲线上.
设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足y 0=x 30－3x 0.因f′（x 0）=3（x 2
0－1）
， 故切线的斜率为
3（x 2
－1）=13003
0---x m x x ，整理得2x 30－3x 2
0+m+3=0. 7分
∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x 0的方程2x 30－3x 2
0+m+3=0有三个实根.
8分
设g （x 0）=2x 30－3x 20+m+3，则g′（x 0）=6x 20－6x 0，由g′（x 0）=0，得x 0=0或
x 0=1.
∴函数g （x 0）=2x 30－3x 2
0+m+3的极值点为x 0=0，x 0=1.
10分
∴关于x 0方程2x 30－3x 20+m+3=0有三个实根的充要条件是g （1）g （0）<0， 11分
即（m+3）（m+2）<0，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2.
12分
22. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：由题设AF 2⊥F 1F 2及F 1（－c ，0），F 2（c ，0），不妨设点A （c ，y ），
其中y>0，由于点A 在椭圆上，有22a c +22
b y =1，
222a b a -+22b y =1，解得y=a b 2
，从而得到A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a
b c 2,. 1分
直线AF 1的方程为y=ac
b 22
（x+c ），整理得
b 2
x －2acy+b 2
c=0.
2分
由题设，原点O 到直线AF 1的距离为31|OF 1|，即3c =22424c
a b c
b +， 3分
将c 2
=a 2
－b 2
代入原式并化简得a 2
=2b 2
，即a=2b.
∴e=2
1⎪⎭⎫
⎝⎛-a b =22.即椭圆C 的离心率为22.
4分
解法二：点A 的坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛a
b c 2
,.
1分
过点O 作OB⊥AF 1，垂足为B ，易知△F 1BC∽△F 1F 2A ， 故
||||1OF BO =|
||
|12A F A F . 2分
由椭圆定义得|AF 1|+|AF 2|=2a ，又|BO|=3
1
|OF 1|， 所以
31＝|||
|12A F A F =|
|2||22A F a A F -.
3分
解得|F 2A|=2a ，而|F 2A|=a b 2，得22a b =2
1
.
∴e=2
1⎪⎭
⎫
⎝⎛-a b =22.即椭圆C 的离心率为22.
4分
（Ⅱ）圆x 2
+y 2
=t 2
上的任意点M （x 0，y 0）处的切线方程为x 0x+y 0y=t 2
. 5分 当t∈（0，b ）时，圆x 2
+y 2
=t 2
上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点Q 1、Q 2，因此点Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2）的坐标是方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+②
b y x ①
t y y x x ,22,2
222
00的解. 6分
（1）当y 0≠0时，由①式得y=002y x x t -.代入②式，得x 2
+22
002⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-y x x t =2b 2， 即（2x 20+y 20）x 2
－4t 2
x 0x+2t 4
－2b 2
y 2
0=0. 7分
于是x 1+x 2=20200224y x x t +，x 1x 2=2
202
24222y x y b t +-， y 1y 2=0102y x x t -·0202y x x t -=])([1212
02120420
x x x x x t x t y ++-
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++-20202024202020022042
222241
y x y b t x y x x t t x t y =20202
02422y x x b t +-.
若QQ 1⊥QQ 2，则x 1x 2+ y 1y 2=20202024222y x y b t +-+2020202422y x x b t +-=2
202
020242)
(23y x y x b t ++-=0. 所以，3t 4－2b 2
（x 20+y 2
0）=0.
由22020t y x =+，得0232
24
=-t b t 。

8分
在区间（0，b ）内，此方程的解为t=
3
6
b. 9分
11 （2）当y 0=0时，必有x 0 0，
同理求得在区间（0，b ）内的解为t=36b. 10分 另一方面，当t=3
6b 时，可推出x 1x 2+ y 1y 2=0，从而QQ 1⊥QQ 2. 11分 综上所述，t=
36b∈（0，b ）使得所述命题成立. 12分。