高一下学期学生暑假作业(二十一)

暑假作业(二十一)
一. 选择题:
1. 已知α、β、γ表示平面，l 表示直线，现给出下列命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β； ②α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ； ③α∥α1，β∥β1，α⊥β⇒α1⊥β1；
④l ∥α，l ⊥γ，α∥β⇒β⊥γ. 则其中真命题的个数是 ( ) A.0
B.1
C.2
D.3 2．如图，在几何体ABC －A 1B 1C 1中，︒=∠90ACB ，AC =BC =AA 1，AA 1
BB 1
CC 1，且AA 1⊥平面ABC ，
D 、
E 分别是棱A 1B 1、A 1C 1的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为 ( ) A ．10
15
B ．1530
C ．2
1 D ．
10
30
3．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC 、、两两互相垂直，且1PA PB PC ===，则点P 到平面ABC 的距离为 ( ) A ．
33 B ．233
C ．1
D ．
2
2
二. 填空题:
4．设a 、b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出以下命题：
①,αγβγα⊥⊥⇒∥β； ②,,a b αβα⊥⊥∥β⇒a ∥b ； ③a α⊥，b ∥α⇒a ⊥b ；
④α∥β，β∥γ，a a αγ⊥⇒⊥； ⑤a ∥
α，b ∥α⇒a ∥b 。

其中正确的命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上）
5．已知Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 、BC 分别与α成︒30、︒45的角，若△ABC 的面积为10， 则△ABC 在α内的射影三角形面积为_______________。

6． 如图，在直三棱柱A BC —A 1B 1C 1中，A B=BC=2，BB 1=2， 90ABC =∠，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 . 三. 解答题:
7．设平面α∥平面,,,AC BD AC BD βαβ⊂⊂与为异面直线，,,M N AB CD 分别为的中点，求证： MN ∥平面β．
E
D C 1
B 1
A 1
C
B
A
8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC 将△ABC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD.
（I ）求证：AB ⊥平面BCD ；
（II ）求二面角B —AD —C 的大小.
9．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。

（1）当P 为1A B 中点时，求证: PC ⊥AB ； （2）若3
2
1=PB P A ，求二面角B AC P --
10. 已知二面角α－l －β的大小为120°，A ∈α，B ∈β，点A 和B 到棱l 的距离分别为2和4，且AB=10，
⑴求直线AB 和棱l 所成的角； ⑵求直线AB 和平面β所成的角.
A
B
C
P
A 1
B 1
C 1
暑假作业(二十一)
一. 选择题: C D A
二. 填空题: 4. ②③④ 5. 5 6.
22
3
三. 解答题:
7. 证：设直线AC 与AD 确定的平面γ交β于过D 的直线DE,∵α∥β，且γ分别交α、β于AC 和DE,∴AC ∥DE
连结AD ，取AD 的中点P ，连结PM 、PN,∵在△ACD 中，N 为CD 的中点,∴PN ∥AC,∴PN ∥DE,又DE ⊂β，PN ⊄β,∴PN ∥β. 同理PM ∥β 又PM∩PN=P ,∴平面PMN ∥β,又MN ⊂β,∴MN ∥β.
证明二：设直线AC 与AB 确定的平面γ交β于过B 的直线BE ，取AC=BE,∵α∥β，且γ分别交α、β于AC 和BE ∴AC BE,∴ABEC 为平行四边形.
设P 为CE 的中点，则MP ∥BE,又BE ⊂β，MP ⊄β,∴MP ∥β,同理PN ∥β.又PM∩PN=P ,∴平面PMN ∥β,又MN ⊂β,,∴MN ∥β.
证明三：设直线AC 与DC 确定的平面γ与β的交线交直线AN 于E,∵α∥β，且γ分别交α、β于AC 和DE,∴AC ∥DE,又N 为AE 的中点,∴△ANC ≌△END,∴N 为AE 的中点, 又M 为AB 的中点,∴MN ∥BE,又BE ⊂β，MN ⊄β,∴MN ∥β. 8. 解：（I ）∵∠B=90°，∴AB ⊥BC.∵AB=BC ，∴∠BCA=∠BAC=45°。

又平面四边形ABCD 中，∠C=135°，∴∠DCA=90°，∴DC ⊥AC 。

∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC∩平面ACD=AC ，DC ⊂平面ACD ，∴DC ⊥平面ABC ，∴AB ⊥C 。

∵DC∩BC=C ，∴AB ⊥平面BCD 。

（II ）设AC 的中点为O ，连结BO ，过O 作OE ⊥AD 于E ，连结BE.∵AB=BC ，O 为AC 中点.∴BO ⊥AC ， ∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC∩平面ACD=AC ，BO ⊂平面ABC ，∴BO ⊥平面ACD.∵OE ⊥AD ， ∴BE ⊥AD,∴∠BEO 为二面角B —AD —C 的平面角.
在Rt △ABC 中，BO=
,22AC=2，在Rt △DCA 中，AD=3，∴OE=
6
6
.
在Rt △BOE 中，tan ∠BEO=,36
6
22
==OE BO
∴∠BEO=60°。

∴二面角B —AD —C 的大小为60°. 9. 解：（1）过P 作PD ⊥AB 于D ，连DC ，则DC 为PC 在底面ABC 内的射影,∵PC ⊥AB ,∴DC ⊥AB , ∵△ABC 为正△,∴D 为AB 中点,∵PD ∥A 1A , ∴P 是A 1B 中点, ∴
11=PB
P
A . （2）过P 作PM ⊥A
B 于M ，过M 作MN ⊥A
C 于N ，连PN ,
∵面A 1ABB 1⊥面ABC ，面A 1ABB 1 面ABC =AB ，PM ⊥AB , ∴PM ⊥面ABC , ∵MN ⊥AC ，∴PN ⊥AC ,∴∠PNM 为所求二面角的平面角.
∵PM ∥A 1A ，
321=PB P A ，A 1A =a ,a PM 53=∴,32=MB AM ,a a MN 5
3
2352=⨯=∴,
35
3
53
tan ===∠∴a a
MN PM PNM ,︒=∠∴60PNM ,∴所求二面角为︒60. 10. 解：⑴如图，在α内作AA 1⊥ l 于A 1，在β内作BB 1⊥l 于B 1， 作A 1C B 1B ，则BCA 1B 1是矩形
∴BC ∥A 1B 1,∴∠ABC 及其补角中的较小角为直线AB 和棱l 所成的角.
又A 1A ⊥l ，A 1C ⊥l ,∴∠AA 1C 是二面角α－l －β的平面角.
∴∠AA 1C=120°,∴AC 2=AA 21+CA 2
1－2·AA 1·CA 1·cos ∠AA 1C=28.
∴AC=27,∵A 1A ⊥l ，A 1C ⊥l ，A 1A∩A 1C=A 1,∴l ⊥平面AA 1C 又AC ⊂平面AA 1C,∴l ⊥AC,又BC ∥l ,∴BC ⊥AC,∴sin ∠ABC=AB
AC =
5
7
∴直线AB 和棱l 所成的角为arcsin
5
7
⑵作AH ⊥A 1C 于H ，则AH=AA 1sin ∠AA 1H=3,∵l ⊥平面AA 1C ，AH ⊂平面AA 1C,∴l ⊥AH 又A 1C ⊥AH ，l ∩A 1C=A 1,∴AH ⊥β,∴∠ABH 是直线AB 与β所成的角,又在Rt △ABH 中，sin ∠ABH=AB
AH =103
直线AB 与β所成的角为arcsin
10
3
.。