高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线同步检测(含解析)新人教A版选修1_1

2.2双曲线
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线左边一支
C.双曲线右边一支
D.一条射线
答案：C
解析：解答：∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.故选C.
分析：本题考查了双曲线的定义，根据|PM|-|PN|=3，可得是双曲线的右支。

2.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.
22
1
916
x y
-= B.
22
1
916
y x
-= C.
22
1x3)
916
x y
-=≤-
（ D.
22
1(x3)
916
x y
-=≥
答案：D
解析：解答：由题意知点P的轨迹是双曲线靠近B点的右支，且c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点
P的轨迹方程是
22
1(x3) 916
x y
≥
－＝．
故点P的轨迹为双曲线的右支.故选D.
分析：本题考查了双曲线的定义，根据动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，可得是双曲线的右支。

3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )．
A．－1
4
B．－4 C．4 D.
1
4
答案：D
解析：解答：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为
2
2=1
1
x
y
m
-
-
，则a2
＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－1
m
＝b2＝4，∴m＝－
1
4
，故选A.
分析：本题考查了双曲线的定义，双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，可得b=2a，根据双曲线的标准方程，可得a=1即可。

4.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是( )
A.-1
B.1
C.
答案：D
解析：解答：由题知双曲线焦点在y 轴上，且c=3,双曲线方程可化为
2281
1,9,
81y x k k k k
-=∴--=--
∴k=-1.，故选A. 分析：因为双曲线8kx 2
-ky 2
=8的一个焦点是（0，3），所以c=3,将双曲线化为标准方程即可。

5．双曲线22+14x y k
=的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．
A. －12<k <-1
B. 0<k <12
C. －12<k <0
D. k <－12或0< k 答案：C
解析：解答：双曲线方程可变为22
14x y k
-=-，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，
e
＝
2c a =
，又∵e ∈(1，2)，则
1<2
<2，解得－12<k <0.故选C. 分析：因为双曲线22+14x y k =的离心率e ∈(1，2)，根据e
＝c a =
确定
<2，解不等式即可。

6.k ＞9是方程22
194
x y k k ＋＝－－表示双曲线的( )
（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 答案：C
解析：解答：当k ＞9时，9－k<0，k －4>0，方程表示双曲线．
当k<4时，9－k>0，k －4<0，方程也表示双曲线．
∴k>9是方程22
194
x y k k ＋＝－－表示双曲线的充分不必要条件．故选C.
分析：因为.k ＞9是方程22
194
x y k k ＋＝－－可得焦点在y 轴上,将双曲线化为标准方程即可
7．已知双曲线)0, 0( 122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的
2倍，则其渐近线方程为 （ ）
A ．02=±y x
B ．02=±y x
C ．034=±y x
D ．043=±y x
答案：C
解析：解答：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a ＋c ，右焦点到渐近线b
y x a
=±
距离为b ，所以有：a ＋c ＝2b ，由430x y ±=
得4
3
y x =±，取a ＝3，b ＝4，则c ＝5，满足a ＋c ＝2b ．故选：
分析：本题旨在考查双曲线的几何性质，可用筛选法．
8．与椭圆C ：22
11612
y x +=共焦点且过点(1，
的双曲线的标准方程为( )
A ．x 2
－2
3
y ＝1
B ．y 2－2x 2＝1
C. 22122
y x -=
D. 23
y －x 2
＝1
答案：C
解析：解答：椭圆22
11612
y x +=的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为
()2
2
100y x
m n m n -=>>，，则111,4,
m n
m n ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得m ＝n ＝2，故选C. 分析：根据椭圆C ：2211612
y x +=，可得a 2=16，b 2=12，可求出焦点坐标，即可。

9．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )．
A. 221169x y -=(x ≤－4)
B. 221916x y -= (x ≤－3)
C. 221169x y -= (x ≥4)
D. 221916
x y -= (x ≥3)
答案：C
解析：解答：根据两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6， 所以c =5，a =3，所以b =4，故选D
分析：根据双曲线的定义可得．
10.双曲线14
22
=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）
A.
52 B.54 C. 552 D.5
54 答案：C
解析：解答：双曲线的右顶点为(20)，
,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为
=故选C 分析：先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.
11. 已知双曲线C ：12222=-b y a x = 1（a >0,b >0）则C 的渐近线方程为( )
A.y =±
14x B.y =±13x C.y =±1
2
x D.y =±x 答案：C
解析：解答：.因为25==a c e ，所以4522=a c ，又因为2
22b a c +=，所以452
22=+a b a ，得=22a
b 41
，所以渐近线方程为x y 21±=.故选C
分析：根据题目中给出离心率确定a 与c 之间的关系，再利用222b a c +=确定a 与b 之间的关系，即可求出渐近线方程.
12.已知双曲线22
2
1b 02b x y -=（＞）
的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为
y=x ，点P 0）在该双曲线上，则12
PF PF =( ) （A ）-12 (B)-2 (C)0 (D)4 答案：C
解析：1,
b =∴=∴双曲线方程为22122
x y -=
∵点0y )在该双曲线上，2
0y 31,22
∴-=∴y 0=±1,
∴P 1)±,又F 1(-2,0),F 2(2,0)，∴12PF PF =21231----（）（，）=-1+1=0， 或12PF PF 231231=---（，）（，）=-1+1=0.12PF PF 0.
∴=.故选C 分析：根据双曲线的渐近线方程求出b 的值，然后把P 点坐标求出来，再利用数量积的运算律计算.
13.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0)的准线分别交于
A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 则p = ( ) A.1 B.
3
2
C.2
D.3 答案：C 解析：解答：
如图,A,B 两点是双曲线的渐近线与抛物线y 2=2px (p>0)的准线的交点,其坐标分别为
A(,),B(,)2222p bp p bp a a ---，故△AOB 的面积为2
b 4p a
=又因为双曲线的离心率为2,即
c=2a,由b 2=c 2-a 2得所以p =2..故选C
分析：画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB 的面积,然后求解.
14．一动圆C 与两定圆C 1：x 2+(y-1)2=1和圆C 2：x 2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程。

A. 4y 2
+
34x 2=1（y≥43） B. 4y 2-34x 2=1（y≥43
） C. 4y 2-34x 2=1（y ≤-43） D. 4y 2+34x 2=1（y ≤-4
3） 答案：B
解析：解答：解：设动圆圆为C(x ,y),半径为r,⎩⎨⎧+=+=2
r |cc |1
r |cc |21
∴ |cc 2|-|cc 1|=1<|c 1c 2|,∴ 点c 的轨迹为双曲线的一支
∵ 2
1a =
，c=1,∴ 43b 2=,∴ c 轨迹方程为4y 2-34x 2
=1（y≥43）故选B
分析：因为一动圆C 与两定圆C 1：x 2+(y-1)2=1和圆C 2：x 2+(y+1)2=4都外切, ∴ |cc 2|-|cc 1|=1<|c 1c 2|,然后求解即可.
15、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左和右焦点，P 是双曲线上的一点，且
12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积 ( )
A.
答案：D
解析：解答：双曲线可化为22
12515
x y -=
，设1212,,2PF m PF n FF c ====由题意可得22212210
2cos120m n a F F m n mn ⎧-==⎨=+-︒⎩即2222
2100160
m n mn m n mn ⎧+-=⎨++=⎩ 所以20mn =
121
sin1202
F PF S mn ∆=
︒=故选D 分析：双曲线可化为22
12515x y -=
，设1212,,2PF m PF n FF c ====然后余弦定理求解.
16.双曲线C ：22
184
x y -=的离心率为 ；渐近线的方程为 ．
答案：
2
6
|x y 22±=
解析：解答：由双曲线的标准方程知，4,822==b a ， 则
32,1248,222==+==c c a ，所以2
6
2232=
==
a c e .，又渐近线方程为x y 2
2±
=. 分析：本题考查双曲线的性质，离心率、渐近线。

17. 双曲线22
1169
x y -=的两条渐近线的方程为 .
答案：34
y x =±
解析：解答：由双曲线22
1
169
x y -=得a=4,b=3,故两条渐近线的方程为34y x =±。

分析：利用双曲线的标准方程求出a,b 再利用渐近线公式求解.
18．双曲线22
15
x y m m -=-的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________.
答案： 7或－2
解析：解答：(1)当焦点在x 轴上，有m >5，
则c 2
＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；
(2)当焦点在y 轴上，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9， ∴m ＝－2；综上述，m ＝7或m ＝－2.
分析：双曲线22
15x y m m -=-的一个焦点到中心的距离为3，分情况讨论求解即可。

19．如果双曲线()22
2200x y a b a b
-=>>，0y -=平行，则
双曲线的离心率为_____． 答案：2e =
解析：解答：由题意知
b a =2c
e a
== 分析：本题旨在考查双曲线的离心率，根据公式求解即可．
20. 若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是 .
答案：
)
+∞
解析：解答：由正方形的对称性可知，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x,x ）
(,)x x ，所以双曲线的渐近线的斜率1,b k a =>，离心率.e => 分析：本题考查了双曲线的性质及分析问题、解决问题的能力.
21．已知双曲线的方程为x 2－y 2
4＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是
圆x 2＋(y 2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值．
答案：设点D 的坐标为(5，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.
∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又B 是圆x 2
＋(y
2
＝1上的点，圆的圆心为C (0
，半径为1，故|BD |≥|CD |－1
1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD
1，
当点M ，B 在线段CD 上时取等号，即|MA |＋|MB |
1. 解析：分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力.
22.已知与双曲线221.169x y －＝共焦点的双曲线过点2
P (－，－，
求该双曲线的标准方程？
答案：已知双曲线22
1.169x y －＝据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.
设所求双曲线的标准方程为22
221(00)x y a b a b
>>－＝，．
依题意， c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，
故双曲线方程可写为22
22
x y 125a a
－＝，－
∵点P(2
－
在双曲线上，
2
221.
a ∴－ 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或2
125
.4
a ＝
又当2
1254a ＝
时，b 2＝25－a 2＝1252525044
<－＝－，不合题意,舍去，故a 2=1,b 2
=24.
∴所求双曲线的标准方程为2
2
1.24
y x －＝
解析： 分析：由共焦点可求出c ，然后用待定系数法求解，要注意检验.；待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是
两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程为22
221x y a b
－＝或
2222
1(00)y x a b a b
－＝＞，＞或mx 2-ny 2
=1(mn ＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c （或m,n ）的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b （m,n ）代入所设方程即为所求. 23．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F (c,0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； 答案：∵双曲线的渐近线为y ＝±
b
a
x ，∴a ＝b . ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4. ∴a 2
＝b 2
＝2.
∴双曲线方程为22
122
x y -
= （2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切
答案：设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
∴直线AO 的斜率满足0
y x
＝－1.
∴x 0
0.①
依题意，圆的方程为x 2
＋y 2
＝c 2
， 将①代入圆的方程得3y 2
0＋y 2
0＝c 2
，即y 0＝1
2
c ， ∴x 0＝3
2c . ∴点A
的坐标为（
2
c ，12c ）.
代入双曲线方程得2222
3144=1c c
a b -，
即
34b 2c 2－14
a 2c 2＝a 2
b 2
，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，
∴将b 2
＝c 2
－a 2
代入②式，整理得
34
c 4
－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴42
38c c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，
∵e ＞1，∴e
解析：分析：(1)根据双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，双曲线的渐近线为y ＝±
b
a
x ，所以a ＝b .求解即可；（2）因为是以原点O 为圆心，c 为半径作圆，可得圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，
该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A
A 的坐
标为(x 0，y 0)，直线AO 的斜率满足0
y x
＝－1.代入圆的方程，化简即可。

24．设双曲线22
213y x a
-=的两个焦点分别为F 1、F 2离心率e =2.
（1）求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；
答案：已知：双曲线方程为2
2
13
x y -=．所以a=1，
所以渐近线方程：y = （2）若A 、B 分别为l 1、l 2上的点，且122||5||AB F F =求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 答案：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）AB 的中点M （x ， y ）∵2|AB |=5|F 1F 2| ∴|AB|=10 ∴(x 1，x 2)2 + (y 1–y 2)2=100
，又11y =
，22y x =，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．
∴1212)y y x x +=
-
，1212)y y x x -=+ ∴2
213(2)(2)1003y x +=即2
2
317525
x y
+=
（3）过点N （1，0）能否作直线l ，使l 与双曲线交于不同两点P 、Q .且0OP OQ ⋅=，若
在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由.
答案：假设存在这样的直线e ，设其方程为(1)y k x =-P (x 1，y 1)，
Q (x 2，y 2) ∵0OP OQ ⋅=
∴12120x x y y += ∴2121212[()1]0x x k x x x x +-++= ① 由22(1)13y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得2222(31)6330k x k x k --+-= ∴2
12221226313331k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩
② 由①②得：230k += ∴k 不存在，即这样的直线不存在．
解析： 分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力
25.双曲线22
221(00)x y a b a b
>>－＝，满足如下条件： ①ab
F 的直线l
，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ|∶|QF|＝2∶1；求双曲线的方程．
答案：设右焦点F(c ,0)，点Q(x ，y )，
设直线l
：)2
y x c ＝－， 令x ＝0
，得(0)2P c ，－
， 则有PQ 2QF ＝，
所以()2().2
x y c c x y ，＋＝－，－ ∴x ＝2(c －x )
且y 2y ＝－，
解得：2.3x c y ＝，
即2Q()36c c ，－，且在双曲线上，
222222
2()()36b c a c a b ∴－－＝，
又∵a 2＋b 2＝c 2，
2
2
2247(1)(1)1912b a a b ∴＋－＋＝， 解得223b a ＝，又由ab
221.3
a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝，
＝ ∴所求双曲线方程为2
21.3y x －＝
解析： 分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力.。