高考数学试卷及详细解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的对称中心是（）。

A. (0, 1)
B. (0, -1)
C. (1, 0)
D. (-1, 0)
2. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 = 2，a4 = 8，则d的值为（）。

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 下列命题中正确的是（）。

A. 函数y = x^2在[0, 1]上单调递增
B. 函数y = log2x在(0, +∞)上单调递减
C. 函数y = sinx在[0, π]上单调递增
D. 函数y = e^x在(-∞, +∞)上单调递增
4. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）。

A. √2
B. 2
C. 1
D. 0
5. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则a·b的值为（）。

A. 5
B. -5
C. 0
D. 1
6. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1 = 2，b4 = 32，则q的值为（）。

A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
7. 若等差数列{cn}的公差为d，且c1 = 3，c4 = 15，则d的值为（）。

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）。

A. y = 1/x
B. y = √(x^2 - 1)
C. y = log2x
D. y = e^x
9. 若向量a = (2, 3)，向量b = (3, 4)，则a⊥b的充要条件是（）。

A. a·b = 0
B. a = λb
C. |a| = |b|
D. a + b = 0
10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像与x轴的交点个数为（）。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 下列不等式中，正确的是（）。

A. |x| > 1
B. x^2 > 1
C. log2x > 1
D. e^x > 1
12. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1 = 3，a3 = 9，则q的值为（）。

A. 1
B. 3
C. 9
D. 27
二、填空题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。

）
13. 函数y = log2x的图像与x轴交于点（）。

14. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 = 1，a4 = 11，则d的值为（）。

15. 若向量a = (2, 3)，向量b = (3, 4)，则a·b的值为（）。

16. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点坐标为（）。

三、解答题（本大题共5小题，共60分。

）
17. （本小题满分12分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

若f(x)的图像开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 8，求a、b、c的值。

解析：由题意知，f(1) = a + b + c = 3，f(2) = 4a + 2b + c = 8。

解这个方程组，得到a = 1，b = 2，c = 0。

18. （本小题满分12分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 9，a4 = 21。

求a1和d的值。

解析：由等差数列的性质知，a2 = a1 + d，a3 = a1 + 2d。

根据题意，得到方程组：
a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 9
a1 + 3d = 21
解这个方程组，得到a1 = 3，d = 6。

19. （本小题满分12分）已知函数f(x) = log2(x - 1) + x，求f(x)的定义域。

解析：由对数函数的性质知，x - 1 > 0，即x > 1。

因此，f(x)的定义域为(1,
+∞)。

20. （本小题满分12分）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1 + a2
+ a3 = 27，a1 a2 a3 = 27。

求a1和q的值。

解析：由等比数列的性质知，a2 = a1 q，a3 = a1 q^2。

根据题意，得到方程组：a1 + a1 q + a1 q^2 = 27
a1^3 q^3 = 27
解这个方程组，得到a1 = 3，q = 1。