2020年衡水市名校数学高二(下)期末联考试题含解析

2020年衡水市名校数学高二(下)期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．()15,+∞
B ．[)15,+∞
C ．(),6-∞
D ．[)6,+∞
【答案】B 【解析】 分析：首先，由
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）
内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=
21
a
x x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围． 详解：∵
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义为：
表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率， ∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内． 不等式
()()
11f p f q p q
+-+-＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立． 由函数的定义域知，x ＞﹣1， ∴f′（x ）=
21
a
x x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数， 故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15， ∴a≥15
∴a ∈[15，+∞）． 故选A ．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若
()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.
2．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( ) A ．9
9A 种 B ．8
12A 种
C ．8
88A 种
D ．84
842A A 种
【答案】A 【解析】
根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体， 将这个整体与8辆不同的车全排列,有99
A 种不同的排法，
即有99
A 种不同的停车方法； 故选A.
点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
3．已知0
2
a π
=
⎰
，若2018(1)ax -=220180122018()b b x b x b x x R +++⋅⋅⋅+∈，则
201812
22018
222b b b ++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．2
【答案】B 【解析】 【详解】
分析： 由定积分的几何意义求得定积分，在二项展开式中令1
2
x =可求解． 详解：由积分的几何意义知22
1
(2)24
a ππ=⨯⨯⨯=， 在2018
220180122018(12)x b b x b x b x -=++++L 中，01b =，
令12
x =
，则2018120220180222b b b b ++++=L ，∴
201812
220181222b b b +++=-L ． 故选B ．
点睛：本题考查定积分的几何意义，考查二项式定理的应用．在二项展开式中求与系数和有关的问题通常
用赋值法．根据所求和式的结构对变量x 赋予不同的值可得对应的恒等式．如本题赋值1
2
x =，如果只求系数和，则赋值1x =等等．
4．在二项式2
5
2()x x
-的展开式中，x 的系数为（ ）
A ．﹣80
B ．﹣40
C ．40
D ．80
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项，可得10315(2)r r r
r T C x -+=-，令3r =，即可求得x 的系数，得到答案.
【详解】
由题意，二项式2
52()x x
-的展开式的通项为251031552
()
()(2)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-， 令3r =，可得33
45(2)80T C x x =-=-，
即展开式中x 的系数为80-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ） A ．70 B ．40 C ．30 D ．20
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果 【详解】
2位男生在同一组的不同的选法数为222
262C C A 30=，选C.
【点睛】
本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．在7(1)x -的展开式中，系数最大的项是（ ） A ．第3项 B ．第4项
C ．第5项
D ．第6项
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断二项式系数最大的项，再根据正负号区别得到答案. 【详解】
()
7
1x -的展开式中共有8项.
由二项式系数特点可知第4项和第5项的二项式系数最大， 但第4项的系数为负值，
所以()7
1x -的展开式中系数最大的项为第5项. 故选C. 【点睛】
本题考查了展开式系数的最大值，先判断二项式系数的最大值是解题的关键.
7．一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如表所示：
从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a =+$，则a =（ ） A ． 2.15- B ． 1.15-
C ．0.08
D ．2.15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据表格中的数据计算出x 和y ，再将点()
,x y 的坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】 由题意可得2345645x ++++=
=， 2.2 3.8 5.5 6.57
55
y ++++==，
由于回归直线过样本中心点()
,x y ，则有1.2345a ⨯+=，解得0.08a =，故选：C. 【点睛】
本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点()
,x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 8．已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[
,]64
ππ
上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．(,
π
-∞ B ．(,
π
-∞
C ．(,
π
-∞ D ．[
)π
+∞
【答案】A 【解析】
分析：由函数在区间,64ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上是单调递增函数，得'()0f x ≥，进而分离参数得12cos a x x ≤；构造函数1()2cos h x x x =
，研究函数的值域特征，进而得到1()2cos h x x x
=的单调性，最后求得a 的取值范围。

详解：1
'()2cos f x a x x =-
因为(f x ）
在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增函数 所以1'()2cos 0f x a x x =
-≥，而在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上cos 0x > 所以1
2cos a x x ≤
，即min
12cos a x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
令1()2cos h x x x
= ，则()2
222sin 2cos sin cos '()2cos 2cos x x x x x x h x x x x x --== 分子分母同时除以sin x ，得
22221
sin cos tan '()2cos 2cos sin x x x x x h x x x x x x
-
-== 令1()tan g x x x =-
，则1()tan g x x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 所以max 1()()10444
tan 4
g x g πππ
π==-=-< 所以()0<g x 在区间,64ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
上恒成立 即221
tan '()02cos sin x x h x x x x
-
=<在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立 所以函数1()2cos h x x x =
在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为单调递减函数
所以min min
1()()2cos 4a h x h x x ππ⎛
⎫≤=== ⎪
⎝⎭ 所以选A
点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。

9．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
516
B ．38
C ．
716
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】
设“东方魔板”的面积是4， 则阴影部分的三角形面积是1， 阴影部分平行四边形的面积是
12
则满足条件的概率1
13248
P +
=
= 故选：B 【点睛】
本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．
10．在等差数列{}n a 中，47,a a 是函数2()318f x x x =--的两个零点，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．15- B ．15
C ．30
D ．30-
【答案】B 【解析】
由题意得47,a a 是方程23180x x --=的两根， ∴473a a +=， ∴110101104710()
5()5()53152
a a S a a a a +=
=+=+=⨯=．选B ．
11．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点，q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若p q ∨为真，
p q ∧为假，则实数m 的取值范围为
A ．(,2)[3,)-∞-⋃+∞
B ．(,2)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞
C ．(1,2][3,)⋃+∞
D ．(,2)(1,2]-∞-⋃
【答案】B
【解析】 【分析】 【详解】
由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 1-4＞0，解得m ＞1或m ＜-1．由q ，得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m ＜3，分两种情况求出实数m 的取值范围． 解答：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题， 由p ：函数f （x ）=x 1+mx+1有两个零点， 得△=m 1-4＞0，解得m ＞1或m ＜-1． 由q ：∀x ∈R ，4x 1+4（m-1）x+1＞0 得△=16（m-1）1-16＜0， 解得1＜m ＜3，
当p 真q 假时，有m 2m 2
m 3m 1-⎧⎨≥≤⎩
＞或＜或即m≥3或m ＜-1
当p 假q 真，有2m 2
1m 3-≤≤⎧⎨⎩
＜＜
即1＜m≤1
∴实数m 的取值范围为（-∞，-1）∪（1，1]∪[3，+∞）． 故选B ． 12
．在(n
x 的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21 B ．63
C ．189
D ．729
【答案】C 【解析】
分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．
详解：由题意41282n n =，解得7n =
，∴37721773r
r r r r r
r T C x C x --+==，令3742r -=，解得2r =，∴4x 的系数为22
73189C =．
故选C ．
点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中
各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r r
r n T a b -+=．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好
有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________. 【答案】11
1(,)(,1)322
⋃ 【解析】
分析：椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论
详解：椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，
21222PF a PF a c =-=-，
即222a a c >-，解得12
e > 又因为1e <，所以
1
12
e << 当2122PF F F c ==时，
12222PF a PF a c =-=-，
即222a c c ->且2c a c >-
解得：
1132e << 综上112e <<或1132
e <<
点睛：圆锥曲线中离心率范围问题是一个难点，在分析时要根据条件找到a 和c 之间的不等关系，有时可能要利用基本不等式、正余弦定理等其他知识综合分析.
14．若函数2243,0(),0
x x x f x ax bx c x ⎧-+≥=⎨++<⎩为偶函数，则(1)'(1)f f -+-的值为______．
【答案】2. 【解析】
分析：因为函数是偶函数，先根据()()f x f x -=得出第二段函数表达式，然后再计算即可. 详解：由题可得：当0x <时，-x>0，故
2()43()
1,4,3
f x x x f x a b c -=++=⇒===
2()43()1,4,3(1)1430'()24,0'()2,
f x x x f x a b c f f x x x f x -=++=⇒===-=-+==+<-=
所以()()1'1f f -+-=0+2=2， 故答案为2.
点睛：考查偶函数的基本性质，根据偶函数定义求出第二段表达式是解题关键，属于中档题. 15．将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是__________.
【答案】 【解析】 【分析】
设大铅球的半径为R ，则()
33344
1233
R ππ+=，求出R ，由此能求出这个大铅球的表面积． 【详解】
解：设大铅球的半径为R ， 则
()
33344
1233
R ππ+=，
解得R =
，
∴这个大铅球的表面积2244S R ππ==⨯=
故答案为：． 【点睛】
本题考查球的表面积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16
．若6
3x ⎛+ ⎝
的展开式中4x 的系数为240，则实数a 的值为__________.
【答案】2±. 【解析】 【分析】
利用二项展开式通项，令x 的指数为4，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为240，求出实数a 的值. 【详解】
二项式6
3x ⎛+ ⎝展开式的通项为(
)7
18632
166k
k k k k k k T C x C a x
--+=⋅⋅=⋅⋅，
令
7
184
2
k
-=，解得4
k=，由题意得444
6
15240
C a a
⋅==，解得2
a=±，故答案为：2±.
【点睛】
本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
，直线的参数方程为：（为参数）．
（Ⅰ）写出圆和直线的普通方程；
（Ⅱ）点为圆上动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由将极坐标方程化为直角坐标方程
，利用加减消元法将参数方程化为普通方程（Ⅱ）由点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径得
试题解析：（Ⅰ）由已知得．
所以，即圆的普通方程为．
由得，所以直线的普通方程为．
（Ⅱ）由圆的几何性质知点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
令圆心到直线的距离为，则，
所以最小值为．
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系
18．推广组合数公式，定义
()()
11
!
m
x
x x x m
C
m
--+
=
L
，其中x∈R，m N*
∈，且规定01
x
C=．
（1）求3
15C -的值；
（2）设0x >，当x 为何值时，函数()()
32
1x
x C f x C =
取得最小值？
【答案】（1）680-；（2
）当x =()
32
1x
x C C 取得最小值.
【解析】 【分析】
（1）根据题中组合数的定义计算出3
15C -的值； （2）根据题中组合数的定义求出函数()1236f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，然后利用基本不等式求出函数()y f x =的最小值，并计算出等号成立对应的x 的值. 【详解】
（1）由题中组合数的定义得()()()3151516176803!
C -
---=
=-；
（2）由题中组合数的定义得()()
()()3
2
211212366x
x x x x C f x x x x C --⎛⎫=
==+- ⎪⎝⎭
．
因为0x >
，由基本不等式得2
x x
+
≥
x 时，等号成立，
所以当x =时，()3
21x
x
C C 取得最小值．
【点睛】
本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题. 19．已知函数()x f x e ax =-有两个不同的零点1x ，2x . （1）求a 的取值范围； （2）求证：122x x +>.
【答案】（1）a e >；（2）见解析 【解析】
分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出a 的范围即可；
（2）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()22212x
x e e G x x x x -⎛⎫
⎪=--
⎪-⎝⎭
' 可证当01x <<时，()G x 在()0,1上]，有()()10G x G >-，即()()()201g x g x x >-<<.
将1x 代入上面不等式中即可证明122x x +>. 详解：
（1）()e x
f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，
()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上递减，
在()ln ,a +∞上递增，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a ⇒．
（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）. （2）构造函数()()()2G x g x g x =--，则
()()()()()
()
()()222
22
2e 1e 1e e 2122x x x
x x x G x g x g x x x
x x x --⎛⎫
-- ⎪=+-=+
=--
'-⎝'-⎭
'⎪ ()()22212x
x e e x x x -⎛⎫
⎪=-- ⎪
-⎝⎭
. 当01x <<时，10x -<，但因式()22
22x x
e e x x ---的符号不容易看出，引出辅助函数
()2x
e x x ϕ=，则()()3
2'x e x x x
ϕ-=，得()x ϕ在()0,2上]，当()0,1x ∈时，()21,2x -∈， 即022x x <<-<，则()()2x x ϕϕ>-，即()22
202x x
e e x x --
>-，()'0G x <， 得()G x 在()0,1上]，有()()10G x G >-，即()()()201g x g x x >-<<. 将1x 代入上面不等式中得()()()1212g x g x g x =>-，又21x >，121x ->，
()g x 在()1,+∞上Z ，故212x x >-，122x x +>.
点睛：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题． 20．已知函数f （x ）=sin +
cos ，x ∈R ．
（1）求函数f （x ）的最小正周期，并求函数f （x ）在x ∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间； （2）函数f （x ）=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f （x ）的图象． 【答案】（1）函数f （x ）在x ∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[，
]．（2）见解析
【解析】
试题分析：将f （x ）化为一角一函数形式得出f （x ）=2sin （），
（1）利用
≤
≤
，且x ∈[﹣2π，2π]，对k 合理取值求出单调递增区间
（2）该函数图象可由y=sinx 的图象，先向左平移，再图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，，即得到函数y=2sin （）
解：f（x）=sin +cos=2sin （）
（1）最小正周期T==4π．令z=，函数y=sinz的单调递增区间是[，]，k∈Z．由≤≤，得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z．
取k=0，得≤x≤，而[，]⊂[﹣2π，2π]
函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[，]．
（2）把函数y=sinx 图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象，
再把函数y=sin（x+）的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （）的图象，然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得到函数y=2sin （）的图象．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．21．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究. （I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；
（Ⅱ）用X表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（I）5
7
；（Ⅱ）
12
7
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案；（Ⅱ）找出随机变量X的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望. 【详解】
（Ⅰ）解：设事件A为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，
事件A的对立事件A为“抽取的3天空气质量都不为良”，
从7天中随机抽取3天共有3
7
C种不同的选法，
抽取的3天空气质量都不为良共有3
5
C种不同的选法，
则()
3
5
3
7
5 1
7
C
p A
C
=-=,
所以，事件A 发生的概率为
57
. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.
()()343
3
7
0,1,2,3k k C C P X k k C -⋅===， 所以，随机变量X 的分布列为
X
0 1 2 3
P
135 **** **** 435
随机变量X 的数学期望()0123353535357
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意 在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力. 22．已知函数
在
与
处都取得极值．
（1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间
的最大值与最小值．
【答案】（1）
；
单调增区间是
，减区间是
；（2）
.
【解析】 【分析】 (1)
，即可求出函数的解析式,再利用导数求函数的单调区间.(2)比较函数的
极值和端点函数值的大小即得函数 在区间的最大值与最小值．
【详解】 （1）因为，所以
,
由
，
,
,
令或，，
所以单调增区间是减区间是.
（2）由（1）可知，
+ 0 - 0 +
递增极大递减极小递增
极小值，极大值
而，
可得.
【点睛】
（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数研究函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数在闭区间上的最值，只要比较极值和端点函数值的大小.。