高考数学穿插滚动练(五)

穿插滚动练(五)
1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]
解析 如果a≤1，则A ＝{x|x≥1或x≤a}， 而B ＝{x|x≥a －1}，
由图(1)，可知A ∪B ＝R ；
如果a>1，则A ＝{x|x≥a 或x≤1}， 而B ＝{x|x≥a －1}，
由图(2)，可知若想A ∪B ＝R ，必须a －1≤1，得1<a≤2.
综上，a≤2.
2．如果复数m2＋i
1＋mi (m ∈R)是纯虚数，那么m2 014＝________.
答案 0或1 解析 m2＋i 1＋mi ＝(m2＋i )(1－mi )
(1＋mi )(1－mi )
＝
m2＋m ＋(1－m3)i
1＋m2
，
由题意，得m2＋m ＝0且1－m3≠0， 解得m ＝0或m ＝－1， 则m2 014＝0或m2 014＝1.
3．(2014·天津改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值
为________．
答案 3
解析 根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z
2.
先画出直线y ＝－12x ，然后将直线y ＝－1
2x 进行平移．
当直线过点A 时，z 取得最小值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝1，x ＋y －2＝0，得A(1,1)，故z 最小值＝1＋2×1＝3. 4．(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.
答案 4
解析 以向量a 和b 的交点为原点建立直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，
根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解之得λ＝－2且μ＝－12， 故λ
μ＝4.
5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y2＝x 交于A ，B 两点，若AB ＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋1
2＝0的距离为________． 答案 94
解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k(x －1
4)，
即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y2＝x 的焦点(1
4，0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB ＝x1＋x2＋1
2＝4， 故x1＋x2＝7
2，
则弦AB 的中点的横坐标是7
4，
弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝9
4.
6
．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2
解析 由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此时，点(3,1)为弦的中点，如图所示．
所以AB ＝2BE ＝2BC2－CE2 ＝24－2＝2 2.
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C
sin A ＝________. 答案 3
解析 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k ， 则3c －a b ＝3ksin C －ksin A ksin B ＝3sin C －sin A sin B ， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B
， 即(cos A －3cos C)sin B ＝(3sin C －sin A)cos B ， 化简可得sin(A ＋B)＝3sin(B ＋C)． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C
sin A ＝3.
8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2＝________. 答案 (－1)n ＋1n (n ＋1)
2
解析 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2 ＝－3－7－…－(2n －1) ＝－n
2(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2；
当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2 ＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n2 ＝－n －1
2[3＋2(n －1)－1]2＋n2 ＝
n (n ＋1)
2，
综上可得，原式＝(－1)n ＋1n (n ＋1)
2.
9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛
物线焦点的距离为3，则OM＝________.
答案2 3
解析由题意设抛物线方程为
y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋
p
2＝2＋
p
2＝3，
∴p＝2，∴y2＝4x.
∴y20＝4×2＝8，
∴OM＝4＋y20＝4＋8＝2 3.
10．(2014·山东)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则
V1
V2＝________.
答案
1
4
解析
设点A到平面PBC的距离为h.
∵D，E分别为PB，PC的中点，
∴S△BDE＝
1
4S△PBC，
∴
V1
V2＝
VA－DBE
VA－PBC＝
1
3S△DBE·h
1
3S△PBC·h
＝
1
4.
11．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案(0，
1
2)
解析函数f(x)＝x(ln x－ax)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x－ax＋x(
1
x－a)＝ln x－2ax＋1.如果函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，也就是说f′(x)＝0有两个不等实根，即ln x－2ax＋1＝0有两个不等实根．参数分离得
ln x＋1
x＝2a，若此方程有两个不等实根，只需函数y＝
ln x＋1
x
与y ＝2a 有两个不同交点．经过求导分析，如图所示，可知0<2a<1，则0<a<1
2.
12．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 分别与α，β交于A ，C ，过点P 的直线n 分别与α，β交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 答案 24
5或24
解析 分两种情况考虑，即当点P 在两个平面的同一侧和点P 在两平面之间两种可能．由两平面平行得交线AB ∥CD ，截面图如图所示，
由三角形相似可得BD ＝24
5或BD ＝24.
13．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： (1)若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；
(2)若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心； (3)若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则PA ＝PB ＝PC ； (4)若PA ＝PB ＝PC ，则H 是△ABC 的外心． 其中真命题的序号是__________． 答案 (1)(2)(3)(4) 14．(2014·湖北)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0.对任意a>0，b>0，若经过点(a ，f(a))，(b ，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c,0)，则称c 为a ，b 关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a ，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a ，b)＝c ＝a ＋b
2，即Mf(a ，b)为a ，b 的算术平均数． (1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的几何平均数；
(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的调和平均数2ab
a ＋
b .
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
答案 (1)x ；(2)x(或填(1)k1x ；(2)k2x ，其中k1，k2为正常数均可) 解析 设A(a ，f(a))，B(b ，－f(b))，C(c,0)，且三点共线． ①依题意，c ＝ab ，则0－f (a )c －a ＝0＋f (b )
c －b ，
即
0－f (a )ab －a ＝0＋f (b )
ab －b
. 因为a>0，b>0，所以化简得f (a )a ＝f (b )
b
， 故可以选择f(x)＝x(x>0)．
②依题意，c ＝2ab
a ＋b
，则0－f (a )2ab a ＋b －a ＝0＋f (b )2ab a ＋b －b ，
因为a>0，b>0，所以化简得f (a )a ＝f (b )
b ， 故可以选择f(x)＝x(x>0)．
15．(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝6
6b ，sin B ＝6sin C.
(1)求cos A 的值； (2)求cos(2A －π
6)的值．
解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，又由a －c ＝6
6b ，有a ＝2c ，
所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝6c2＋c2－4c226c2＝6
4. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos2A －1＝－1
4， sin 2A ＝2sin A·cos A ＝15
4.
所以cos(2A －π6)＝cos 2A·cos π6＋sin 2A·sin π6 ＝15－3
8
.
16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点． (1)求证：BD ⊥MC.
(2)线段AB 上是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，请说明在什么位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明 连结AC ，因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD.
又ADNM 是矩形，
平面ADNM ⊥平面ABCD ， 所以AM ⊥平面ABCD.
因为BD ⊂平面ABCD ，所以AM ⊥BD.
因为AC∩AM ＝A ，所以BD ⊥平面MAC. 又MC ⊂平面MAC ，所以BD ⊥MC.
(2)解 当E 为AB 的中点时，有AP ∥平面NEC. 取NC 的中点S ，连结PS ，SE. 因为PS ∥DC ∥AE ，PS ＝AE ＝1
2DC ，
所以四边形APSE 是平行四边形，所以AP ∥SE. 又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ， 所以AP ∥平面NEC.
17．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝an ＋1＋n －2，n ∈N*，a1＝2. (1)证明：数列{an －1}是等比数列，并求数列{an}的通项；
(2)设bn ＝3n
Sn －n ＋1的前n 项和为Tn ，证明：Tn<6.
(1)解 因为Sn ＝an ＋1＋n －2，①
当n ≥2时，Sn －1＝an ＋(n －1)－2＝an ＋n －3，② ①－②，得an ＝an ＋1－an ＋1， 即an ＋1＝2an －1.③
设cn ＝an －1，代入③，得cn ＋1＋1＝2(cn ＋1)－1， 即cn ＋1＝2cn.
由Sn ＝an ＋1＋n －2，得a2＝S1－1＋2＝3， 显然c1＝a1－1＝1，c2＝a2－1＝2.
故数列{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列， 即数列{an －1}是以1为首项，2为公比的等比数列． 则an －1＝2n －1，即an ＝2n －1＋1.
(2)证明 由an ＝2n －1＋1，得Sn ＝2n ＋n －1， 故Sn －n ＋1＝2n.所以bn ＝3n
2n .
则Tn ＝b1＋b2＋...＋bn ＝32＋622＋ (3)
2n ，④ 2Tn ＝3＋62＋3×322＋ (3)
2n －1，⑤
⑤－④，得Tn ＝3＋32＋3
22＋…＋32n －1
－3n
2n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)－3n
2n
＝3×1－(12)n
1－12－3n
2n ＝6－3n ＋62n .
因为3n ＋62n >0，所以Tn ＝6－3n ＋62n <6.
18．直线ax －y ＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P ，Q 两点．
(1)当a 为何值时，PQ ＝21＋a2；
(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出a 的值，若不存在，请
说明理由．
解 (1)联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
ax －y ＝1，
x2－2y2＝1，
得(1－2a2)x2＋4ax －3＝0，
又知直线与曲线相交于P ，Q 两点，可得
⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2a2≠0，Δ＝16a2＋12(1－2a2)>0，即|a|<62且|a|≠22， 设P ，Q 两点的坐标为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4a 2a2－1，x1x2＝3
2a2－1，
所以PQ ＝
4(1＋a2)(3－2a2)
(2a2－1)2
＝21＋a2，
化简得(1－2a2)2－(1－2a2)－2＝0， 解得a ＝±1即为所求．
(2)假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ， 则kOP·kOQ ＝－1，也就是x1x2＋y1y2＝0， x1x2＋(ax1－1)(ax2－1)＝0，
整理得(1＋a2)x1x2－a(x1＋x2)＋1＝0， 故有3(1＋a2)2a2－1＋4a21－2a2
＋1＝0，
解得a2＝－2，即不存在满足题意的实数a. 19．已知函数f(x)＝(a －1)ln x ＋ax2＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)如果对任意的x1>x2>0，总有f (x1)－f (x2)
x1－x2≥2，求a 的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝a －1x ＋2ax ＝2ax2＋a －1x
. ①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x ＝ 1－a 2a .
则当x ∈(0, 1－a
2a )时，f′(x)<0；
x ∈(
1－a
2a ，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(0, 1－a
2a ]上单调递减，
在[
1－a
2a ，＋∞)上单调递增．
(2)由已知，可得对任意的x1>x2>0，有x1－x2>0，
所以由f (x1)－f (x2)x1－x2
≥2，
得f(x1)－f(x2)≥2(x1－x2)， 即f(x1)－2x1≥f(x2)－2x2.
令g(x)＝f(x)－2x ，又x1>x2，
故函数g(x)＝f(x)－2x 在(0，＋∞)上单调递增． 所以g′(x)＝a －1
x ＋2ax －2≥0在(0，＋∞)上恒成立． 所以(1x ＋2x)a≥2＋1x .
因为x>0，所以a≥2＋1x
1
x ＋2x ＝2x ＋11＋2x2
.(*) 令t ＝2x ＋1，则x ＝t －1
2， 又x>0，所以t>1.
故(*)式可化为a≥t 2(t －12)2＋1＝t t2－2t ＋12＋1＝2
t ＋3t －2.
因为t>1，所以t ＋3
t ≥2
t×3
t ＝23，
当且仅当t ＝3时取等号． 所以2t ＋3t －2≤2
23－2
＝3＋12，
即
2
t ＋3t －2
的最大值为3＋12.
故不等式a≥2
t ＋3t －2恒成立的条件是a≥3＋12.
故a 的取值范围为[
3＋1
2，＋∞)．
20．已知椭圆x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形． (1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E(m,0)，使PE →·QE →
恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F(3，0)， 所以c ＝a2－b2＝ 3.
因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，
所以b ＝3×3
3＝1.
可求得a ＝2，故椭圆的方程为x2
4＋y2＝1.
(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时， 设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
x24＋y2＝1，y ＝k (x －1)，
得(4k2＋1)x2－8k2x ＋4k2－4＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以x1＋x2＝8k2
4k2＋1，x1x2＝4k2－44k2＋1.
则PE →＝(m －x1，－y1)，QE →
＝(m －x2，－y2)， 所以PE →·QE →＝(m －x1)(m －x2)＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝m2－8k2m 4k2＋1＋4k2－44k2＋1＋k2(4k2－44k2＋1－8k2
4k2＋1＋1)
＝
(4m2－8m ＋1)k2＋(m2－4)
4k2＋1
＝(4m2－8m ＋1)(k2＋14)＋(m2－4)－1
4(4m2－8m ＋1)4k2＋1
＝1
4(4m2－8m ＋1)＋2m －174
4k2＋1.
要使PE →·QE →
为定值，令2m －174＝0， 即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P(1，32)，Q(1，－32)，
由E(178，0)，可得PE →＝(9
8，－32)，QE →＝(98，32)， 所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.
综上，存在点E(178，0)，使PE →·QE →为定值3364.。