保险精算例题

第二章
【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算：
（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？
（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？
（3）借款多长时间后需要还款1200元。

解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。

在单利下，还款总额为：
A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100（元）
在复利下，还款总额为：
A(2)=A(0)(1+i)²=1000×(1+5%)²=1102.5（元）
（2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。

在单利下，还款总额为：
1000×（1+ 139
365×5%）=1019.04（元）
在复利下，还款总额为：
1000×139365
%
（1+5）=1018.75（元）（4）设借款t年后需要还款1200元。

在单利下，有
1200=1000×（1+0.05t）
可得：
t=4（年）
在复利下，有
1200=1000×（1+0.05）t
可得：
t≈3.74（年）
【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。

解：在单利下，有
A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元)
在复利下，有
A(5)+1000×(1+5%)²×(1+6%)³=13130.95(元)
【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。

解：（1）1995年1月1日的现值为：
1000×（1-0.05）³=857.38（元）
（2）年利率为：
i=d
1-d=0.05
0.95=0.053
【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1）在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。

（2）在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。

解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值
为：
14000×（11.06 ）2=12459.95（元）
（3） 用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为：
14000×（1-0.06）²=12370.4（元）
6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率
【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？
解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有
1000×（1.03）36=2898.28（元）
故三个月后他欠款2898.28元。

【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。

（2）求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。

（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。

解：（1）实际利率为：
i=（1+m i m )
(）m —1 =（1+12%12 ）12—1
=12.68%
故实际利率为12.68%。

（2）实际贴现率为：
d=1—（1—m d ）
（m ）m
=1—（1—10%4 ）4
=9.63%
因此，实际贴现率为9.63%。

（3）由（1+i ）-1=1—d ，有
（1+m i m )(）-m =（1—n
d n ）
（）n
（1+12%12 ）-12=（1—2d 2）（）2 d 2）（=2×[1—（1+12%12 ）-6]=11.59%
【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。

那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？ 解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次（21/7=7）。

这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：
4000×（1+4%）7=5263.73（元）
值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。

【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，
在复利下，试求解以下问题：
（1） 贷款额在2003年7月22日的价值。

（2） 年利率i 。

（3） 名义利率i 12）（
解：（1）如果一致年利率i ，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000（1+i ）5。

有公式（2.20），利息力与利率有如下关系：
e &=1+i
从而
4000×（1+i ）5=4000×e 0.7=8055.01（元）
（2）由（1+i ）= e 0.14，的年利率为：
i= e 0.14—1=0.15027
（3）由（2.14a ）式和（2.20）式，有
（1+12i 12）
（）12=1+i = e 0.14
i 12=12×（e 0.14/12—1）=0.14082
【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？
解：设他在7年后的欠款额为X ，有
X=50000×1.0314—30000×1.0310—20000×1.034=12801.82（元）
【例2.10】某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。

如果利率为5%，计算
2004年1月1日其账户上的余额。

解：依题意
X=8000×1.059+6000×1.057—12000×1.053=6961.73（元）
【例2.11】某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。

如果年利率为7%，计算在2002年1月1日账户中的存款总额。

解： X=4000×1.076+6000×1.072+5000×1.07（-1）
=17545.22（元）
故在2002年1月1日，账户存款总额为17545.22元.
【例2.12】某人1995年1月1日在其银行账户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额为7100元，计算实际利率。

解：2000（1+i ）5+3000（1+i ）2=7100
由
f （i ）=2000（1+i ）5+3000（1+i ）2—7100=0
i=0.11+）
（—71.11-22.1071.11×0.001=0.11153 【例2.13】某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是30年。

假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。

解：设每年需要的还款额为X,根据题意，有
由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有 200000=X 30a
X=302000001i
v -=13010.29（元）
【例2.14】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。

解：X
..15a =2000 X=
..200015
a =1520001d v - 由于
d=i 1+i =0.0566
故
X=194.27（元）
【例2.15】某人在30岁时计划每年初存入300元建立个人账户，如果他60岁退休，存款年利率假设恒定为3%。

（1） 求退休时个人账户的累积额。

（2） 如果个人账户累积额在退休后以固定年金的方式在20年内每
年领取一次，求每年可以领取的数额。

解：（1）退休时个人账户累积额是30年定期的年金终值： 300..30s =X ..240a ..
240a =2401d v -=240
10.002466/1.002466(1/1.002466)-=181.7144
X=81.03（元）
【例2.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第9个月开始在5
年中每月还款，利率为6%，求每月的还款额。

解：月利率j 为：
（1+j ）12=1.06
j=0.004868
在第8个月，有
X 60
a =50000（1+j ）8 X=1001.0921（元）
设每月可以领取到的数额为x 元，则有
300..30s =12x ..(12)20a
根据名义贴现率的计算公式，可得：
d （12）=12[1-（1+i ）-1/12]=0.029522426
..(12)
20a =20(12)1v d -=15.11814259
X=14700.801215.11814259
⨯=81.03（元） 因而每月可以领取的年仅为81.03元。

【例2.18】某年金每年付款1次，连续付款10年，年利率为5%，年给付额为：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，计算t=0时这些付款的现值。

解：依题意，有
现值=1009a +1009a ×v
=1009a （1+v ）
=1387.72（元）
【例2.19】若存入银行10万元，建立一项永续奖励基金，从第一年后开始支取年金，设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。

解：设每年可以提取的最大数额为x ，则
100000=x a ∞=x i
X=4000（元）
【例2.20】某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前1年增加100元，共收付10年。

若年利率为5%，求第10年末的年金总值。

解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金。

因此，第10年末的年金终值为： 90010s +10010Is （） =900×101(1)i i -++100×..1010
i s -
=17733.68（元）
【例2.21】我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结合的方式，个人账户以个人缴费工资的8%计入。

如果某职工从20岁参加个人账户保险，当年工资为6000元，工资年增长为2%，个人账户的累积利率为4%。

求在他60岁退休时，个人账户的累积额。

解：个人账户在20岁时的现值为：
6000×0.08×（1+1.02v+1.022v 2+…+1.0239v 39）
=480×4011 1.02v v --（1.02）
=13480.63（元）
在60岁时的累积额为：
13480.63×1.0440=64720.78（元）
【例2.22】在例2.21中，如果个人账户累积利率在刚参加个人账户的前10年内为4%，退休前的10年内为4%，退休前的10年内为2%，中间20年为3%，求这时个人账户在退休时的累积额。

解：在职工20岁至29岁间，个人账户在20岁的现值为：
480×
10
1
1 1.02/1.04
-
-
（1.02/1.04）
=4405.216554（元）
在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为：
480× 1.0220×
20
1
1 1.02/1.03
-
-
（1.02/1.03）
×
10
1
1.04
（）=7217.296894(元)
在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为：
480×1.0230×10×
20 1 1.03
（）×
10 1 1.04
（）=3252.134534（元）个人账户在60岁时的累积值为：
（4405.216554+7217.296894+3252.134534）×1.0410×1.0320×1.0210=48475.95（元）
【例2.23】一项永续年金，第1年末付1000元，弟2年末付2000元，以后各年每年增加1000元，直到年付15000元后，支付水平保持在每年15000元的水平上不变，并一直继续下去。

在利率水平7.5%下，计算此年金的现值。

解：这一年金可以分解为一个递增确定的年金和一个永续年金，年金现值为，
PV=100015Ia （）+15000i
×v 15
=1
i
×[1000（..15a -15v 15）+15000v 15]
=126522.1（元）
【例2.24】设A 向B 借款20000元，期限为5年，年实际利率为6%，A 在每年末以等额分期方式偿还贷款。

试计算： （1） 每年末应偿还的金额。

（2） 各年末的未偿还本金金额。

（3） 每年末偿还金额中利息和本金金额 解：依公式（2.40），有 R=0n i
B a
=4747.93（元）
【例2.25】某人用10年分期还款的方式偿还一笔50000元的贷款，假设他在10年内每半年还款一次，每半年结算的年利率为13%，从贷款6个月后开始第1次还款。

求第6年末尚未还清的贷款余额。

解：设未来每次还款额为P ，10年内每半年一次的还款意味着20个
半年的还款，半年结算的利率为6.5%（13%/2=6.5%）
由于贷款开始时刻的贷款额与还款额的现值相等，有
50000=P
a
200.065
所以
P=4537.82（元）
第6年末尚未还清的贷款余额等于最后8个半年内需要定期偿还的贷款的现值。

P
a=27629.75（元）
80.065
【例2.27】某笔7000元的贷款，用每年末偿还1000元及最后一次偿付剩余不足1000元的方式还款。

假定年利率为10%，第一次付款再贷款一年后。

计算第9次付款后剩余的本金。

解：如果用未来计算，需要先计算出还款的期限和最后一次还款的数额。

在10%利率下，未来12年每年1000元的年金现值为：
1000
a=6813.692（元）
120.1
设第13次不足1000元的还款额为x，有
7000=6813.692+xv13
X=643.1864（元）
从而，第9次付款后剩余的本金为：
1000
a+643.186v4=2926.16（元）
30.1
【例2.28】某人从银行获得一笔贷款，期限为10年，贷款利率为5%，他采用变额分期偿还法偿还贷款，其中每年末的偿还金额分别为20000元，19000元，18000元，…，试计算：
（1） 贷款原始本金。

（2） 第5年所偿还的本金和利息。

解：（1）贷款本金等于分期偿还额的现值：
B 0=10000×100.05a +10000×100.05Da （）=122782.65（元） （2）按将来法，第4年末的未偿还本金余额为： B 4=10000×60.05a +10000×60.05Da （）=69243.08(元) 第5年偿还的利息为： I 5=i B 4=3462（元） 第5年的偿还额为： R 5=16000（元） 故第5年偿还的本金额为： P 5=R 5-I 5=12538（元）
【例2.29】一笔金额为10000元的贷款，年利率10%，期限为8年，每年末偿还一次，每次的偿还额以30%的速度递增，试计算前3年每年偿还的本金和利息各是多少？
解：这里的偿还金额按几何级数增长，设第一年的偿还金额为R 1，
10000= R 1×
8
10.10.3
1.3
1.1--（
）
=14.027 R 1
R 1=712.90（元）
由
I 1=iB 0=10000×0.1=1000（元）
这时，应偿还的利息大于偿还的总金额，偿还金额不足利息支付的部
分为：
P 1=R 1-I 1=-287.10（元） 这样，1年后的未偿还本金余额增加为： B 1= B 0- P 1=10287.10（元） 第2年的各项余额分别为： R 2=926.77（元） I 2=1028.71（元） P 2=-101.94（元）
B 2=10389.04（元）
【例2.30】在例2.24中，假设A 以等额偿债基金方式偿还贷款，偿债基金利率也为6%，其他条件不变，试构造偿债基金表。

解：本例中，i=j=0.06，A 每期向偿债基金储蓄D ，则 D=0n j
B s
=3547.93（元）
此外，A 还要向B 支付当期利息I ： I=i B 0=20000×0.06=1200（元） 所以每期支付金额合计为： R=D+I=4747.93（元）
【例2.31】假设例2.28中的其他条件不变，贷款利率变为6%，借款人通过利率为5%的偿债基金来偿还贷款，求贷款本金总额。

解：以公式（2.51），有
B 0=n
k
k
k=1
n j
1i j j R a
-+∑（-）（1+）
=113982（元）
【例2.32】一笔贷款的期限为4年，年实际利率为12%，借款人用偿债基金法偿还贷款，偿债基金利率为8%，借款人每年末支付的总金额依次为1000元，1000元，10000元，10000元，试计算贷款本金为多少？
解：令原始贷款本金为B 0，则每年应支付的利息金额为0.12 B 0，则各期向偿债基金储蓄的金额分别为1000-0.12 B 0，1000-0.12 B 0，10000-0.12 B 0，10000-0.12 B 0。

他们在还款期末的累计额正是初始的贷款额：
B 0=（1000-0.12 B 0）40.08s +900020.08s =15075（元） 【例2.33】债券的面值为1000元，年息票率为5%，期限为6年，到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为 5.5%，试计算债券购买价格。

解： F=C=1000 r=g=0.05 i=0.055
p=5060.055a +1000/1.0556=975.02（元）
【例2.34】假设两种债券的面值都为1000元，而且期限相同，收益率都为5%。

其中一种债券的价格为1136.78元，年息票率为2.5%，另一种债券的价格为P ，年息票率为1.25%，试计算P 。

解：由Makeham 公式，有
P 1=K+0.025
0.02 ×(1000-K)=1136.78(元)
K=452.88（元） 故
P=K+0.0125
0.02 ×(1000-K)=794.83（元）
【例2.35】某债券面值为1000元，名义年息率为9%，半年支付一次，期限为10年，前5年每半年收益率为4%，后5年每半年收益率为5%，计算债券价值。

解：依题意，有
前5年的息票在零时刻的现值为：
45100.04a =364.99（元） 零时刻剩余10个息票的现值为：
45100.05a ×1.04-10=234.74(元) 零食可赎回债券的现值为：
1000（1.04）-10（1.05）-10=414.73（元） 债券价值为以上三者之和，即
364.99+234.74+414.73=1014.46（元）
【例2.36】试计算例2.33中第三个息票支付其的账面值增加额。

解：
B 3-B 2= C[1+3i g i a （-）]-C[1+(g-i)4i a ] =4.04（元）
【例2.37】某5年期债券面值为1000元，名义息票率8%，没半年支付一次，每半年结算的名义收益率为7.5%，计算支付第6次息票是账面价值的变化。

解：
支付第5次息票后的账面价值为：
B5=
40+1000×（1.0375）-5=1011.21（元）
50.0375
支付第6次息票后的账面价值为：
B6=
40+1000×（1.0375）-4=1009.13（元）
40.0375
故支付第6次息票是账面价值的变化为：
B5-B6=2.08（元）
【例2.38】3年期债券面值1000元，名义息票率6%，没半年支付一次，每半年结算的名义收益率为8%，试计算：
（1）支付第2次息票时，账面价值中包含的利息是都少？
（2）支付第3次息票是，账面价值变是多少？
（3）建立债券分期付款计划表。

解:
(1)F=C=1000
r=0.03
i=0.04
支付第2次息票后的账面价值为：
B2=30
a+1000×（1.04）-4=963.70（元）
40.04
利息为：
B2×0.04=38.55（元）
（2）账面价值的改变是第2次，第3次账面价值之差，为：B3-B2=8.55（元）
【例2.39】某5年期的债券面值为1000元，每半年支付1次的息票为60元，每半年结算的名义收益率为8%。

如果在购买2年2个月后，债券以其当时账面几个卖出，试用理论法计算账面价值。

解： F=1000 n=10 Fr=60 i=4% k=4 t=13
第2年末的账面价值是： B 4= Fr n k i a +Cv n-k =1104.84（元） 2年2月后，用理论法计算账面价值得： B k-1+t =B k-1（1+i ）t =1119.38（元）
【例2.40】设债券面值为2000元，年息票率为8%，投资者要求的年收益为12%，期限为3年，到期按面值偿还，试计算债券在各季度末的价格和账面值。

解：根据公式，有 P 0=B 0=C[1+（g-i ）n a ] =1807.85（元）
P 0.25= P 0（1+i ）0.25=1859.81（元） 按理论法：
B 0.25= P 0（1+i ）0.25-Fr
i ×[（1+i ）0.25-1]=1821.49（元） 按半理论法：
B 0.25= P 0（1+i ）0.25-0.25Fr=1819.81（元） 按实践方法：
B 0.25= P 0（1+0.25i ）-0.25Fr=1822.09（元）
第五章
【例5.1】某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。

以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%，计算趸缴净保费。

解：趸缴净保费为：
10000140:3A =10000（v ×40q +2
v ×40p ×41q +3
v ×402p ×42q ）
=
3
(10.001650)(10.001812)0.001993
1.05
-⨯-⨯
=49.28（元）
【例5.2】张某在50岁时投保了一份保额 100000元的30年定期寿险。

假设x l =1000（1-x 105 ），预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。

解：该生命表的最大年龄是105岁，所以t 的取值范围是0到55，所求的赔付现值是：
29
(1)
1
50:305050
100000100000 1.08
t t
t t
p q
A -++==⨯
⨯∑
其中
5050
50
5555
t t
t
l p
l
+-==
505055(54)1
15555t
t
t t t t
q
p
++---=-
=
=
-- 故，该保单的趸缴净保费是： 29
(1)
1
50:300
551
10000010000055551.08
t t t t
A -+=-=⨯
⨯-∑ =20468.70（元）
【例5.3】假设例5.2中张某50随时购买的是保额为100000元的终身寿险。

已知1000(1)105
x x
l =-，预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。

解：
55
(1)
50501
50
0100000100000 1.08
t t t
p q
A -++==⨯
⨯∑
=
56
11000001
1
55 1.08
1 1.08
1(
)1.08
-⨯⨯-
=22421.91（元）
【例5.4】某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为()1105
x
s x =-，死亡赔付在死亡年年末，i=10%，求这一保单的精算现值。

解：由 ()1105
x s x =- 有
404040(40)65(40)65
1
165t t s t t
t s t p
q p +++-=
=
=-=- 保单精算现值为： 1
4002000020000t x t
x
t t
p q
v A ∞
++==⨯⨯∑
由生存函数可以看出 40
0t p
= t ≥65
因此
1
64400651
200002000065651(
)1.1
t t t t
A +=-=⨯
⨯
-∑ =3070.65（元）
【例5.5】在例5.2中，假设50岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，保额为100000元，求该保单的趸缴净保费。

解：1
150:3050:30
5030100000100000100000:A A A =+ =30
5020468.7010000030(1.08)p -+⨯⨯ =24985.85（元）
【例5.6】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付。

如果在40岁到65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之后死亡，保险金为30000元。

利用转换函数写出保单精算的表达式。

解：这份保单可以分解成一份50000元的25年定期寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险与一份30000元延期35年的终身寿险的组合。

这样，这份保单的精算现值可以表示为：
4060657575
40
50000()100000()30000M M M M M D
-+-+
化简得：
406575
40
500005000070000M M M D
+-
【例5.7】对（x ）的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。

解:依题意，这一保单的精算现值为：
2
3
1
2
3000003500004000002
x
x
x x x
v p q p
q
q
v v ++⨯+⨯
⨯+⨯
⨯
=36829（元）
【例5.8】某人在30岁投保，假设生存函数在0到100间均匀分布，z 为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为0.05，求1
30:10A 和30A 。

解：（1）由于生存函数在0到100间均匀分布，但x=30时，剩余寿命在[0,70]间均匀分布，概率密度f （t ）=1
70 ，故
0.5
10
10.0530:10
0.0570
700.0530
11
()0.1124700.057011
()0.2771700.0570
t
t
E Z dt E Z dt e e
A e e
A
---⨯--==⨯==⨯-==⨯
==⨯⎰
⎰
【例5.9】某人在30岁时投保了50000元的30年两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），求这一保单的趸缴净保费。

解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为：
1
130:303030
30:30
3060
603030
50000500000.065000050000ln1.069467.26
:i
A A A
M M D D D δ
≈⨯
+-=⨯
⨯+⨯= 【例5.10】在例5.9中，如果契约规定在投保的前10年死亡赔付50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存货给付20000元，求这一保单的趸缴净保费。

解：这是一个变额保险，可以分解为三部分，趸缴净保费为：
11
30:10
40:20
3030
3040406060
30
30
500003000020000103050000()30000()200000.06ln1.06
4270.52
E E A
A
M M M M D D
D
+⨯
+⨯⨯-+⨯-=
⨯+
=
【例5.11】已知0A =0.8663，i=0.06，求(12)0A 。

解：由
12
(12)
1 1.06(1)
12
i i =+++
可算得:
(12)
i
=0.058411
再由（5.38）式，得：
(12)(12)
00.8899i
A
A i
=
⨯=
【例2.12】假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡年末赔付。

已知i=0.05，p 40=0.9972，41100.00822A A -=，求41A 。

2
40
40
1
0.9523810.9070310.0028
v i v q
p
=
=+==-
=
由公式 1
x
x x
x
v v q p
A
A
+=+
有
414041
41
41
40
40
40
40
41
()(1)0.00822
0.21654
v v v v q p
p q A A A
A
A
A
-=-+=
--==
第六章
【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。

设年利率为6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。

解：李明从20岁活到60岁的概率是2040p ，从20岁到60岁死亡的概率为（20140p -），如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。

因此，他获得给付的期望值为： 20202010000(1)1000404040p p p ⨯+⨯-=⨯ 【例6.2】设n>t ，证明并解释下面两个式子： （1）1x x x n t n t E E E +=⨯-
（2）1
11x x
x t n n E E E +=
-
证明：（1）1
n
t
n t
x
t
x x x
x x t
n n t
n t
n t E p p p
E v v v
E
-++=⨯=⨯⨯⨯
=
⨯
--
（2）将x x x t n t n t E E E +=⨯-
两边同乘以
1x x t
n n t E E +⨯
-，得：
1x x x t
t n n t E E E +=
- 【例6.3】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得1000元的生存给付，假设年利率为9%。

计算这一年金的精算现值。

解：这是一个每年给付1000元的终身生存年金，每一次给付经过折现后在30岁时的价值总和合即为这笔年金在30岁时的精算现值。

因此，给付的现值是：
1
2
30
30
30
100010001000...
2
1000 1.09 1.091.09
k
k k
p
p
p --∞
-=+⨯
⨯+⨯
⨯+=⨯∑
【例6.4】某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率i=5%,一句附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，试计算每年可以领取的金额。

解：这是一个期末负终身年金的例子，题目中已经给出了这份年金购买时的现值，要求计算年金每次的给付额。

设每次的给付额为p ， 有
4510000p a ⨯=
而 564545
15.128N
a D
=
=
故
P=661.03（元）
【例6.5】王明在40随时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内，如果他存活，则可以在每年年初领取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即停止。

20年期满，保单自动中止，无论20年后是否存活，不再继续给付。

以附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，假设预定利率为i=6%，使计算这笔年金的精算现值。

解：其精算现值为：
..
40
60
40:20
40
10001000a N
N D
-=⨯
=11882.82（元）
【例6.6】某人在30随时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。

设年利率为6%，存活函数为0100
(1)x x
l l =-，试计算这笔年金在购买时的精算现值。

解：由存活函数可得生存概率： 3030
30
7070
k k
k l p
l
+-==
又因为
303030
212120k
k k k k
p
a v E ∞∞
====⨯∑∑
因而这笔年金的精算现值为：
70
3021
70500020500070
1.06k
k k
a -=-=⨯
∑ =12358.09（元）
【例6.7】对于（30）的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求保单的趸缴净现值。

解：有公式（6.13），保单的趸缴净保费为： ....
306030600030600030a a E ⨯=⨯⨯
=10787.38（元）
【例6.8】某人在35随时购买了一份年金产品，这份年金将从他60岁退休起的25年内，每年年初给付5000元生存年金。

给定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算这一年金的精算现值。

解：其精算现值为： ..
60
85
35:25
35
5000255000a N
N D
-⨯=⨯
=11683（元）
【例6.9】某30岁的人投保养老保险，保险契约规定，如果被保险人存活的60岁，则确定给付10年年金，若被保险人在60——69岁间死亡，由其指定的受益人继续领取，知道领取满十年为止。

如果被保险人在70岁仍然存活，则从70岁起以生存为条件得到年金。

如果年
仅每年年初支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）资料，计算保单趸缴净保费。

解:趸缴净保费为：
..
..
10603010
706060
30
6000(10)3016000()10790.86
a a i
E N D v D
D
⨯+⨯
-
=+
⨯=
【例6.10】如果一个x 岁的人获得了一份每年1单位元的连续年金，试用随机变量y 表示给付变量的现值。

（1） 用（x ）的余寿随机变量T 的函数表示y
（2） 利用y 是T 的函数这一条件计算年金的精算现值x a
（3） 死亡给付1单位元终身寿险的精算现值的随机变量是Z ，给付
Y 也Z 之间的关系。

（4） 利用（3）中的关系，用x A 表示x a 解：（1）1T
T y v
a δ
-==
（2）1()(
)T
x E Y E v a δ
-== （3）因为
1T
T
Y Z v
v
δ
-=
=
所以 1Z
Y δ
-=
（4）11()
()x
x E Z E Y A a δ
δ
--==
=
【例 6.11】已知某人的生命具有常数死亡力0.04μ=，设利息力
0.06δ=，试计算:
(1)x a
(2)T a 超过x a 的概率. 解：(1)已知死亡力，则
00
1
10t
x s t
x
t
x
x d s t dt t p e
e
p a v
μμμδ
-
+-∞
⎰==
=⨯==+⎰
（2）0.061()()0.06
T
r r T
x e
a a P P -->=
ln 0.4
0.06
ln 0.4
()0.06
0.54
r T
T dt
P f
∞
-=>-
==⎰
【例6.12】在例6.7中，若年金每月支付一次，求趸缴额。

解：趸缴净保费为：
(12)
....
303030303011
60006000()3024a a E ⨯≈⨯-
⨯
60
3030
1124600010357.08
N D D
-
⨯=⨯
=
【例6.13】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年末给付10000元。

设预定利率为6%，
如果某人30岁时购买了这种保单，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求这一年金的精算现值。

解：这一保单包括年金与寿险两种保险形式，其精算现值是两种保险精算值之和，其中年金精算现值与例6.12相同。

(12)
..1
3030
30:3030
30
30
1000060001000010357.0810676.33
a A M M D
+⨯-=⨯+=
【例6.14】若某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：在被保险人60-69岁时，每年的给付额为6000元，70-79岁每年的给付额为7000元，80-89岁每年的给付额为8000元。

在预定利率6%下，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算保单的趸缴净保费。

解：这是一个变额年金，其趸缴净保费为：
..
..
..
60:1080:10
70:10303030
60708090
30
600070008000304050600010001000800011455.98
a a a E E E N N N N D
⨯
⨯+⨯⨯+⨯⨯++-=
=
【例6.15】某人在50随时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始，每年一次，给付额在第一年为5000元，第二年为5500元，第三年为6000元，即给付额每年增长500元。

计算这笔年金的精算现值。

解：我们可以把这个年金看做是一个每年支付4500元的等额年金加上一个以500元开始每年增长500元的等差递增年金。

其精算现值为： 50504500500()APV Ia a =+
如果已知
515150500045060S N D === 则
51515050
4500()500()75416.67APV N S D D =+= 【例6.16】某人在40岁时购买了一份10年期变额年金，从41岁起，每年的给付额依次为10000、8000、6000、4000、2000、2000、4000、6000、8000、10000元。

假设预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，计算这一年金的精算现值。

解：只是一个等差递增年金和一个递减年金的组合，前5年是递减年金，后5年是递增年金，其精算现值为：
40:545:5402000[()()]5a APV Ia E D =+⨯
应用转换函数：
111:1111:()[(1)]()()x x n x n x n x x x n x x n a x n x
n Ia n S S N D N N S S D D +++++++++++--⨯=
+---= 则
46515145:5454146414640:54045
40405()12.013(6)()()13.070.745Ia Da S S N D
N N S S D
D E D --⨯==⨯---====
所以
2000(13.070.7412.013)43919.24APV =⨯+⨯=
【例6.17】某人在30岁时购买了从60岁起领取的生存年金，60岁的领取额为10000元，以后每年的领取额在上年的基础上增加4%。

在利率4%下，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，计算这一年金的精算现值。

解：这一年金在被保险人60岁时的精算现值为：
26060601000(1 1.04(1.04))210000(1)
211200v v p p δ+⨯⨯
+⨯⨯+=⨯+=
年金在被保险人30岁时的现值为：
3030
306030
21120030211200 1.045541.66
p v l l -⨯⨯=⨯⨯=。