广西省防城港市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析

广西省防城港市2021届新高考数学仿真第三次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2
22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．
54
π B ．
34
π C ．
2
π D ．
3
π 【答案】C 【解析】 【分析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
，
可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】
函数()2
22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫
=-+=-=-
⎪⎝
⎭
， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
12倍，得2sin 46y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛
⎫
==-+ ⎪⎝
⎭
的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.
若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()426
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，
12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242
T ππ
=
=．故选C ． 【点睛】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、
()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
命题p ：函数()x
x
f x e e
-=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦
函数单调性判断出真假． 【详解】
解：命题p ：函数()x
x
f x e e
-=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上
单调递减，因此是假命题．
命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．
则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177
-
B ．717
- C ．177
D ．
7
17
【答案】B 【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =
1213知：5cos 13θ==-，5
t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457
tan()4
1tan tan 4517
π
θθθ+︒+
=
=--︒．
4．已知函数()5sin 12f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移
12
π
个单位长度
B ．向右平移
12
π
个单位长度
C ．向左平移512
π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫+
=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12
π
个单位长度.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 5．函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()
sin x y x
-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，
当x π=时，sin 0x
x
=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．
6．设点P 是椭圆22
21(2)4
x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）
A ．4
B ．8
C ．
D ．【答案】B 【解析】
∵12F F =
∵122F F c ==
∴c =
∵222c a b =-，24b = ∴4a =
∴1228PF PF a +== 故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
7．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( )
A ．12
B ．10
C D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据b 在a 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-，可得min
2b =；再对所求模长进行平方运算，可将
问题转化为模长和夹角运算，代入min b 即可求得min
3a b
-.
【详解】
b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-
0b > cos ,0a b
∴<><
又[)cos ,1,0a b <>∈- min
2b
∴=
2
2
2
2
2
2
3696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+
min
3910a b
∴-=⨯=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值.
8．已知定义在[
)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ） A ．168 B ．249
C ．411
D ．561
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的
5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.
【详解】
当1x ≥时，()()33f x f x =，所以2
2
()3()3(
)33x x f x f f ===3(
)3n n
x
f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23
n n n
n n n
x x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以6
62019
(2019)3(12)3
f =-
-=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =
的最小实根为t ，4
5
168[3,3]∈，则565
33
(3,)2
t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-
令5
()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】
本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.
9．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124
C ．136
D ．180
【答案】A
因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】
711911212a a a a +==+， ∴712a =， ∴()
113137131313121562
a a S a +=
==⨯=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
10．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )
A ．
3
B ．
3
C ．
3
D ．
3
【答案】D 【解析】 【分析】
设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，1
22
r ⨯=r =
所以圆锥的体积2
13
V r π==. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 11．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C
求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由
101x
x
+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3
y x =是增函数，sin y x =是增函数，12
ln
ln(1)11x y x x
+==-+--是增函数，∴3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得1
12
a <<． 故选：C. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．
12．已知集合U =R ，{}
0A y y =≥，{
}
1B y y ==，则U
A
B =( )
A ．[)0,1
B ．()0,∞+
C ．()1,+∞
D ．[
)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】
求得集合B 中函数的值域，由此求得U
B ，进而求得U
A B ⋂
.
【详解】
由11y =
≥，得[)1,B =+∞，所以
()U
,1B =-∞，所以[)U
0,1A
B =.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角
060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高
100BC m =，则山高MN =__________m ．
【答案】1 【解析】
试题分析：在ABC 中，45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,100
1002sin 45AC ∴=
=︒在AMC 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得
,sin sin AM AC
ACM AMC
=∠∠即2
,sin 60sin 45AM =︒︒解得3AM =在Rt AMN 中，sin MN AM MAN =⋅∠1003sin 60=︒
150()m =．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过F
作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若APQ ∆为直角三角形，则该双曲线的离心率是______. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据APQ ∆是等腰直角三角形，且F 为PQ 中点可得AF PF =，再由双曲线的性质可得2
b a
c a
+=，解
出e 即得. 【详解】
由题，设点0(),P c y ，由22221(0,0)
x c x y
a b a b =⎧⎪⎨-=>>⎪⎩，解得20b y a =±，即线段2
b PF a =，APQ ∆为直角三角形，
2
PAQ π
∴∠=，且AP AQ =，又F 为双曲线右焦点，PQ 过点F ，且PQ x ⊥轴，AF PF ∴=，
可得2b a c a +=，22
c a a c a
-∴+=，整理得：2220a ac c +-=，即220e e --=，又1e >，2e ∴=.
故答案为：2 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.
15．已知向量,a b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，则cos ,a b <>= _________． 【答案】12
【解析】 【分析】
由数量积的运算律求得a b ⋅，再由数量积的定义可得结论． 【详解】
由题意2
2
2(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-， ∴1a b ⋅=，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=，∴1cos ,2
a b <>=． 故答案为：12
． 【点睛】
本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．
16．能说明“若()()1f x f x +<对于任意的()0,x ∈+∞都成立，则()f x 在()0,∞+上是减函数”为假命题的一个函数是________.
【答案】答案不唯一，如2
14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ 【解析】 【分析】
根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数. 【详解】
由题意，不妨设2
1()4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭， 则2
2
111(1)()120442f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-=--< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭在()0,∞+都成立， 但是()f x 在10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭是单调递增的，在1,+4⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
是单调递减的， 说明原命题是假命题.
所以本题答案为2
14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，答案不唯一，符合条件即可.
【点睛】
本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在()0,∞+上不是单调递减的函数，再
检验是否满足命题中的条件，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 和2F ，右顶点为A ，且13AF =，
短轴长为（1）求椭圆E 的方程；
（2）若过点A 作垂直x 轴的直线l ，点T 为直线l 上纵坐标不为零的任意一点，过2F 作2TF 的垂线交椭圆E 于点P 和Q
，当
2||24
TF PQ =时，求此时四边形1
TPFQ 的面积. 【答案】（1）22143
x y +=（2
【解析】 【分析】
（1
）依题意可得2223
a c
b a b
c +=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
，解方程组即可求出椭圆的方程；
（2）设(2,)(0)T m m -≠
，则2TF =
PQ 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程，
消去x ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，列出韦达定理，即可表示||PQ
，再根据2||24
TF PQ =
求出参数m ，从而得出TPQ S ∆，最后由点1F 到直线PQ 的距离得到1TPQ F PQ S S ∆∆=，由
112TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+=四边形即可得解；
【详解】
解：（1
）∵2223a c b a b c +=⎧⎪=⎨⎪=+⎩
，∴解得21a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=.
（2）∵(2,0)A ，∴可设(2,)(0)T m m -≠
，∴2TF =∵221
TF m
k m -=
=--， ∴1
PQ k m
=
，∴设直线PQ 的方程为1x my =+， ∴22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my ++-=，显然>0∆恒成立.
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m
y y m -+=+，122
934
y y m
-=+， ∴()()
()()2
22
2
12121212||PQ x x y y m y y y y =
-+-=-+-⎡⎤⎣
⎦ ()()()()22
2
2
21212222121636141343434m m m
y y y y m m m m +⎡⎤-⎛⎫⎡⎤=
++-=++=⎢⎥ ⎪⎣
⎦+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. ∴()222
2
223472
1||121121
TF m m PQ m m +=+⋅==++， ∴4218170m m --=，∴解得21m =，解得1m =±， ∴22TF =
，24||7PQ =
，∴124122
2277
TPQ S ∆=⨯⨯=
. ∵此时直线PQ 的方程为10x y ±-=，1(1,0)F -， ∴点1F 到直线PQ 的距离为22
d =
=，
∴11242
2TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+==四边形， 即此时四边形1TPFQ 的面积为242
. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 18．如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°．
（1）求BC 的长度；
（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？
【答案】（1）3m ；（2）当BP 为202103t =时，α+β取得最小值． 【解析】 【分析】
（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2tan CAD tan CAE ∠=∠得到
2200x --=，解得答案.
（2）设BP ＝t
，则(0CP t t =＜＜
，故(
)
10t
tan αβ+=
，设
(
)f t =
，求导得到函数单调性，得到最值.
【详解】
（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，
则(
)2
2
20
22100
11tan CAE
x tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠
-
2200x -
-=，解之得，x
=x =（舍）， （2）设BP
＝t
，则(0CP t t =＜＜
， (
)101t tan t αβ+===-
设(
)f t =
，(
)2'200f t t =
-+-
令f'（
t ）＝0，因为0t
＜＜
t =
当(
0t ∈，
时，f'（t ）＜0，f （t
）是减函数；
当(t ∈时，f'（t ）＞0，f （
t ）是增函数，
所以，当t =时，f （t ）取得最小值，即tan （
α+β）取得最小值， 因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，
所以tan （α+β）＜0，2
παβπ⎛⎫
+∈ ⎪⎝
⎭
，，
因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
上是增函数，所以当t =α+β取得最小值．
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．选修4—5；不等式选讲． 已知函数()|||1|f x x x =--．
(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；
(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥． 【答案】 (1)[]0,2;(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得()1,0,21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，由此得
11m -≤，解得02m ≤≤；（2）利用分析法，由（1）知，2M =，所以22
2x y +=，因为0,0x y >>，
要证2x y xy +≥，只需证()2
224x y x y +≥，即证()()2110xy xy +-≤，只需证1xy ≤ 即可得结果.
试题解析：（1）去绝对值符号，可得()1,0,
21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，
所以11m -≤，解得02m ≤≤， 所以实数m 的取值范围为[]
0,2．
（2）由（1）知，2M =，所以2
2
2x y +=． 因为0,0x y >>，
所以要证2x y xy +≥，只需证()2
224x y x y +≥， 即证()2
210xy xy --≤，即证()()2110xy xy +-≤.
因为210xy +>，所以只需证1xy ≤，
因为2
2
22xy x y ≤+=，∴1xy ≤成立，所以2x y xy +≥ 解法二：x 2+y 2=2，x 、y ∈R +，x+y≥2xy 02
π
θ≤≤
设：2022x sin y cos θπθθ
⎧=⎪⎛
⎫≤≤⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩
证明：x+y-2xy=2sin 2cos 22sin cos θθθθ+-⋅⋅ =()2sin cos 4sin cos θθθθ+-⋅ 令sin cos t θθ+=
212sin cos t θθ∴+=，02
π
θ≤≤
∴12t ≤≤
22sin cos 1t θθ=-
∴原式=()
2221t t --
=2222t t -++ =2
2222t t ⎛⎫--
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
=
当2t =
时，min 22220y =-⨯++=
∴ 2x y xy +≥
20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．
（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE ，利用三角形中位线可得AP ∥OE ，从而可证AP ∥平面EBD ； （2）先证明BD ⊥平面PCD ，再证明PC ⊥平面BDE ，从而可证BE ⊥PC ． 【详解】
证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE 因为四边形ABCD 为平行四边形 ∴O 为AC 中点， 又E 为PC 中点， 故AP ∥OE ，
又AP ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD 所以AP ∥平面EBD ；
（2）∵△PCD 为正三角形，E 为PC 中点 所以PC ⊥DE
因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD 平面ABCD ＝CD ， 又BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥CD ∴BD ⊥平面PCD
又PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BD
又BD DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE 故PC ⊥平面BDE 又BE ⊂平面BDE ， 所以BE ⊥PC ． 【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.
21．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，bsinB ﹣asinA ＝1
2
asinC ． （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求sin （2B+
3
π
）的值．
【答案】（Ⅰ） 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据条件由正弦定理得2
2
1
2
b a a
c -=，又c ＝2a ，所以222b a =，由余弦定理算出cos B ，进而算出sin B ；
（Ⅱ）由二倍角公式算出sin 2cos2，B B ，代入两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 （Ⅰ）
bsinB ﹣asinA ＝
12asinC ，所以由正弦定理得22
12
b a a
c -=， 又c ＝2a ，所以222b a =，由余弦定理得：
2223cos 24b a c B ac +-==，又()0,B π∈，所以sin 4
B =
；
（Ⅱ）21
sin 22sin cos cos 22cos 188
B B B B B ==
=-=，
sin 2sin 2cos cos 2sin 333B B B πππ⎛
⎫∴+=+=
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.
22．新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：
（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
（2）请根据上表完成下面22⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++.
（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及()E X .
【答案】（1）25
P =；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，6
()5
E X =.
【解析】 【分析】
（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率； （2）根据数据列出列联表，求出2K 的观测值，对照表格，即可得出结论；
（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X 可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解. 【详解】
（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率2211
3015
P ==， 中老年对新高考了解的概率82205
P ==. （2）22⨯列联表如图所示
2
2
50(221288) 5.56 3.84130202030
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. （3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人， 则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，
则03233
51(0)10C C P X C ===；12233563
(1)105C C P X C ====； 5122333
(2)10
C C P X C ===.
所以X 的分布列为
36()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题. 23．已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .
【答案】（1）11222222n
n n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；21
32244
n n n T n +=---
【解析】 【分析】
（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可； （2）利用分组求和法解决. 【详解】
（1）依题意有()
1111
21n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨
-=-+⎩ 又111142a b a b +=-=；.
可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，
由()()1
11112
(1)n n n n n
a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨
-=+⎩
解得1222
1222n
n n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨
⎪=--
⎪⎩
故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11
222222
n
n n n n n a b =+
+=--；. （2）(
)21
212(1)32
212
4
2
44
n n n
n n n n S n
+-+=++=-++-， (
)21
212(1)32
212
4
2
44
n n n n n n n T n
+-+=
--=----. 【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.。