高考数学训练：三角函数和解三角形

规范解答集训(一) 三角函数和解三
角形
(建议用时：40分钟)
1．(2019·昆明模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,2a cos A －b cos C ＝c cos B .
(1)求角A ；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为334，求△ABC 的周长．
2．(2019·郑州三模)在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.
(1)求BD DC 的值；
(2)求角A 的大小．
3.如图，在平面四边形中，AB＝14，cos A＝3
5，cos∠ABD＝
5
13.
(1)求对角线BD的长；
(2)若四边形ABCD是圆的内接四边形，求△BCD面积的最大值．
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab.
(1)求角C的值；
(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b的取值范围．
1[解](1)∵2a cos A －b cos C ＝c cos B ，
∴2sin A cos A －sin B cos C ＝sin C cos B .
∴2sin A cos A ＝sin A ，
∵0＜A ＜π，sin A ≠0，可得cos A ＝12.
∴A ＝π3.
(2)由题意及(1)得，sin A ＝32，S ＝12bc sin A ＝334，∴bc ＝3.
∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝6，∴(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝6＋6＝12，∴b ＋c ＝2 3.
∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝3 3.
2.[解](1)在△ABD 中，由正弦定理得：BD sin A 2
＝AB sin ∠ADB ，在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin A 2
＝AC sin ∠ADC ， 因为sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23，
∴BD DC ＝AB AC ＝2.
(2)在△ABD 中，
由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83cos A 2.
在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A 2.
又BD 2CD 2＝4＝16－83cos A 27－43cos A 2
，解得cos A 2＝32. 又A 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴A 2＝π6，A ＝π3. 3.[解](1)在△ABD 中，
sin ∠ADB ＝sin[π－(A ＋∠ABD )]＝sin(A ＋∠ABD )＝sin A cos ∠ABD ＋cos
A sin ∠ABD ＝5665，
由正弦定理得BD sin A ＝AB sin ∠ADB
， 即BD ＝AB ·sin A sin ∠ADB
＝13. (2)由已知得，C ＝π－A ，所以cos C ＝－35，
在△BCD 中，由余弦定理可得BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝BD 2＝169，
则169＝BC 2＋DC 2＋65·BC ·DC ≥165·BC ·DC ，
即BC ·DC ≤516×169，
所以S △BCD ＝12·BC ·CD ·sin C ≤12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫516×169×45＝1698，当且仅当BC ＝DC ＝135
4时取等号．
所以△BCD 面积的最大值为1698.
4.[解](1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，
由余弦定理可知，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，
又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.
(2)由正弦定理可知，a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，
即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，
∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B )＝433⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6， 又∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜A ＜π2，0＜B ＝2π3－A ＜π2，
即π3＜A ＋π6＜2π3，所以，23＜4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4， 综上，a ＋b 的取值范围为(23，4]．.。