四川省新津中学2013-2014学年高二数学6月月考试题 文

高二数学6月月考试题(文科)
考试时间：120分钟 总分：150分
参考公式：
一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1.已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则M
N =（ B ）
A ．{}1|≤x x
B ．{}10|≤<x x
C ．{}10|<<x x
D ．{}10|≤≤x x
2. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和1492
2=-+-k
y k x 有（ B ） A. 相同的短轴 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
3．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ B ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α
4．已知2log (),0
()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩
，则=)2014(f ( C )
A ．1-
B ．2
C ．0
D ．1
5. 某 算 法 的 程 序 框 图 如 图，执 行 该 算 法 后 输 出 的 结 果i 的值为 ( C )
A .4 B. 5 C. 6 D. 7
6．设z=x +y ，其中x ，y 满足20,0,0,x y x y x k +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤≤⎩
当Z 的最大值为6时，k 的值为（ A ）
A.3
B.4
C.5
D.6
7.三棱锥D —ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为（ A ） A.2
B. 2
C. 3
D. 4
8．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)( )(1x f x f n n '=+，+∈N n ，若ABC
∆的内角A 满足122014()()()0f A f A f A +++=，则A sin 的值是 ( C )
样本数据1x ，2x ，
，n x 的标准差
(
)()()22
2
121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣
⎦
其中x 为样本平均数 柱体体积公式 V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
锥体体积公式：
1
3
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积、体积公式 24S R =π，34
3
V R =π
其中R 为球的半径
A.132 D. 12
9.若P 为ABC ∆内一点，且20PB PC PA ++=，在ABC ∆内随机撒一颗豆子，则此豆子
落在PBC ∆内的概率为( A ) A ．
12 B ．13 C ．14 D ．2
3
10．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)[)34, 1.21=-=-．下列命题
①函数[)()f x x x =-的值域是(]0,1；②若{}n a 是等差数列，则[){}
n a 也是等差数列； ③若{}n a 是等比数列，则[){}
n a 也是等比数列；④若()1,4x ∈，则方程[)1
2
x x -=
有3个根． 正确的是（ D ）A ．②④ B ．③④ C ．①③ D ．①④
二、填空题（本大题共5小题, 每小题5分, 共25分）
11. 若命题“2
,20x R x x m ∃∈-+≤”是假命题，则m 的取值范围是____ m>1____
12. 双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线均与0142
2=+-+x y x 相切,则该双曲线
离心率等于 2
13．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足
8
4
17S S =，则公比q = 2± 14．已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为
4
2
15. “无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何
图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:___sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ______.
图甲 图乙
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。

用x n 表示编号为
编号n 1 2 3 4 5
成绩x n
70
76
72
70
72
6（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的
概率。

解：（1）
6
1
1756n n x x ===∑
561
6675707672707290,n n x x x =∴=-=⨯-----=∑………………3分
62
2222222111
()(5135315)4966n n s x x ==-=+++++=∑，7.s ∴=…………6分
（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，…9分 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：
{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为2.5
………………12分
17．（本小题满分12分）
已知函数2
()2cos sin 2f x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（2）已知ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若2,2=
=b a ，且
,12=⎪⎭
⎫
⎝⎛A f 求ABC ∆的面积. 解：（1）2
()2cos sin 21cos 2sin 2f x x x
x x =-=+- )14
x π
=++
所以函数()f x
的最小正周期ππ
==
2
2T ，值域为1⎡⎤⎣⎦ （备注：当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈483ππ，x 时，求函数()f x 的单调区间和值域？483ππ≤≤-x ，
322
4
4x π
π
π∴-
≤+
≤
，令2024x ππ-≤+≤，则8
-83π
π≤≤-x ∴函数()f x 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-8-83ππ，，单调减区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-48ππ，
322
4
4x π
π
π-
≤+
≤
，cos 2124x π⎛
⎫∴-≤
+≤ ⎪⎝
⎭，()01f x ∴≤≤
∴函数()f x 的值域为1⎡
⎤⎣⎦
） ()
2)11
24A f A π⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
,
cos()0
4
A π
∴+=,
π
<<A 0 ,
4
54
4
ππ
π
<
+
<∴
A 24ππ=+∴A ,4π=∴A ,
2,2==b a ,由正弦定理得B sin 24
sin
2=
∴
π
,2
1
sin =∴B B A b a >∴>, 6
π
=
∴B 12
7ππ=
--=∴B A C 2
314622127sin 2221sin 21+=+⨯=⨯⨯==
∴∆πC ab S ABC 18. （本小题满分12分）
已知点（1,2）是函数()(01)x f x a a a =≠＞且的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和
()1n S f n =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）将数列{}n a 前30项中的第3项，第6项，…，第3k 项删去，求数列{}n a 前30项中剩
余项的和.
18．解：（Ⅰ）把点（1,2）代入函数()x
f x a =，得2a =.()121,n n S f n ∴=-=- 当1n =时，
111211;a S ==-=当2n ≥时，1n n n a S S -=- 1(21)(21)n n -=---12n -= 经验证可知1n =时，也
适合上式， 12n n a -∴=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{}n a 为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第30项也为等比数列，首项31324,a -==公比3
28,
=30a 为其第
10项
∴此数列的和为10304(18)4(21)
187
--=-又数列
{}
n a 的前30项和为
3030301(12)21,12S ⨯-==-- ∴所求剩余项的和为303030
4(21)3(21)(21)77
----=
19(本小题满分12分)
如图，已知三角形ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形,
CD ⊥平面ABC,AB=2, 3
tan EAB ∠=
. （Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ADE ；
（Ⅱ）当AC=x 时，V(x )表示三棱锥A —CBE 的体积，当V(x )取最大值时，求三角形ABD 的面积。

19．解：
在直角三角形ACD 和BCD 中，易求5ABD ，面积S=12222⨯⨯= （12分）
20．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b
+=(0)a b >>2
动点P 21。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点M (0，1
3
-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在
一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由题设可知221a c a c b c ⎧-=⎪
⎨-=⎪⎩，解此方程组得
2a 1b =. 所以椭圆C 的方程是2
212
x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为1
3
y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．
设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,189
16.
189k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33
y kx y kx =-=- 所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--
2221212121
(1)()()339
v k x x u k kv x x u v =+-+++++++
22222
2(666)4(3325)
62
u v k ku u v v k +--+++-=
+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，
所以2222
618180,0,33250.
u v u u v v ⎧+-=⎪
=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==
此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分 解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=
若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116
().39
x y ++= ………………7分
由22221,
116().39x y x y ⎧+=⎪
⎨++=⎪
⎩
解得01x y =⎧⎨
=⎩. 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：
当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，
过点T （0，1）； 当直线l 的斜率存在，设直线方程为1
3
y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--=
设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212
212,189
16.189k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
…………………10分
因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，
21212121212416
()1(1)()39
TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++
222216161632160.189
k k k k ---++==+
所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21、（本题满分13分）已知函数()ln f x x =，2
()()3g x f x ax x =+-，函数()g x 的图像在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．
（1）求a 的值； （2）求函数()g x 的极小值；
（3）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，（12x x <） 证明：
21
11
k x x <<． 21.解：（1）依题意得2
()ln 3g x x ax x =+-，则1
'()23g x ax x
=
+- 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)1230g a =+-= ∴1a =
（2）由（1）得2231'()x x g x x -+=(21)(1)
x x x
--=
∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，令'()0g x =得1
2
x =
或1x = 函数()g x 在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2
单调递减；在(1,)+∞上单调递增．故函数()g x 的极小值为(1)2g =- （3）证法一：依题意得2121
2121
ln ln y y x x k x x x x --=
=
--， 要证
2111k x x <<，即证212211
ln ln 11
x x x x x x -<<-
因210x x ->，即证
21221211
ln x x x x x
x x x --<< 令
21
x t x =（1t >）
，即证1
1ln 1t t t -<<-（1t >） 令()ln 1k t t t =-+（1t >）则1
'()10k t t
=-<∴()k t 在（1，+∞）上单调递减， ∴()()10k t k <= 即ln 10t t -+<，ln 1t t ∴<---------------① 令1()ln 1h t t t =+-（1t >）则22111
'()t h t t t t
-=-
=0>∴()h t 在（1，+∞）上单调递增，
∴()(1)h t h >=0，即1
ln 1t t
>-（1t >）--------------② 综①②得11ln 1t t t
-<<-（1t >），即
21
11
k x x <<． 【证法二：依题意得2121
22112121
ln ln ln ln y y x x k x kx x kx x x x x --=
=⇒-=---，
令()ln ,h x x kx =-则1
(),h x k x
'=
- 由()0h x '=得1x k =，当1x k >时，()0h x '<，当1
0x k <<时，()0h x '>，
()h x ∴在1(0,)k 单调递增，在1
(,)k
+∞单调递减，又12()(),h x h x =
121,x x k ∴<
<即21
11k x x <<。