高二数学寒假作业 专题15 定积分(学)(1)

专题15 定积分
学一学------基础知识结论 1.曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线)(x f y =、x 轴，与直线a x =、b x =所围成，如图，计算时可分为四个步骤：
分割、近似代替、求和、取极限
.
2.定积分
（1）定积分的概念
如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，用分点
b x x x x a n =<<<<= 210将区间等分为个n 小区
间，在每个小区间
],[1i i x x -上任取一点i ξ（n i 3,2,1=）
，作和式
∑
∑==-=⋅∆n
i i n i i f n a
b f x 1
1
)()(ξξ，当
+∞→n 时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间上的],[b a 定积分，记作
⎰
b
a dx
x f )(，即∑
⎰
=-=n
i i b
a
f n a
b dx x f 1
)()(ξ
温馨提醒：① 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。

即
⎰⎰⎰=b
a
b
a
b
a
d f dt t f dx x f μ
μ)()()(
② 定义中区间的分法和的取法都是任意的。

③ 在定积分的定义⎰b
a
dx
x f )(中，限定下限小于限，即b a <，为了方便计算，可以把定积分的概念扩大，
使下限不一定小于上限，并规定：⎰⎰-=a
b
b
a dx x f dx x f )()(、⎰=a
a dx x f 0
)(
（2）定积分的性质：
①⎰⎰=⋅b
a
b
a
dx
x f k dx x f k )()( ②⎰⎰⎰±=±b
a
b a
b
a
dx
x g dx x f dx x g x f )()()]()([
③⎰⎰⎰+=b
c
c
a
b
a
dx
x f dx x f dx x f )()()( （b c a <<）
（3）定积分的几何意义
在区间],[b a 上，若)(x f 既可取正值又可取负值时，曲线)(x f y =的某些部分在x 轴上方，而其他部分
在x 轴下方，如果我们将在x 轴上方的面积赋予正值，在x 轴上方的面积赋予负值，那么在一般情形下，
定积分⎰b
a
dx
x f )(的几何意义是曲线)(x f y =以及直线a x =、b x =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的代
数和.
3.微积分基本定理（牛顿－莱布尼兹公式）
一般地，如果)(x f 是区间上的],[b a 的连续函数并且函数)()(x f x F ='，那么：
)
()()()(a F b F x F dx x f b
a b
a
-==⎰
.
温馨提醒：常见基本积分公式：①0
0==⎰b
a
b
a
C
dx ②a
b x
dx b a
b
a
-==⎰1
③a
b x xdx b a
b
a
sin sin sin cos -==⎰ ④
a b x dx x b a b
a
ln ln ln 1-==⎰
⑤a
b b
a
b a
x x
e e e
dx e -==⎰ ⑥a
b x
xdx b
a
b
a
cos cos cos sin +-=-=⎰
学一学------方法规律技巧 1．求定积分
求定积分的过程实际上就是求函数导数的逆过程，要想熟练的掌握定积分的运算，关键在于对一些觉函数的导数一定烂熟于心． 例1
dx （ ）
A ．﹣1
B ．1﹣
C ．1
D ．-1
【答案】C
【解析】先找到被积函数的原函数，再用微积分基本定理计算定积分即可dx=lnx =ln1﹣lne=﹣1．
2.定积分的应用
定积分的应用常见的是以下几方面：① 平面图形的面积：如果平面图形由连续曲线)(x f y =、)(x g y =，
与直线a x =、b x =所围成，那么这块图形的面积为：
⎰-=b
a
dx
x g x f S |)()(|
② 由曲线)(x f y =以及两条直线a x =、b x =和x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周面成的旋转体的
体积分式为：
dx
x f V b
a
⎰⋅=2)]([π
③ 变速直线运动的路程：作变速直线运动物体所经过的路程S 等于其速度函数)(t v （0)(≥t v ）在时间
区间
]
,
[b
a上的定积分，即：
dx
t v
S
b
a
⎰=)(
④变力作功：一物体沿变力
)
(x
F相同方向从a
x=移动到b
x=时，变力所作的功为：
dx
x
F
W
b
a
⎰=)(
例2、由曲线y=sinx，y=cosx 与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）
A．1B．C．D．2
例3已知二次函数f（x）=x2﹣x，设直线l：y=t2﹣t（其中0＜t＜，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是s2（t），
设g（t）=s1（t）+s2（t），当g（t）取最小值时，求t的值．
【答案】t=
【解析】据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t2﹣t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S1（t）+S2（t）=∫0t[（x2﹣x）﹣（t2﹣t）]dx+[（t2﹣t）﹣（x2﹣x）]dx。