2016届高考数学理教师用书14.3坐标系与参数方程(苏教版)

§14.3 坐标系与参数方程
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos_θ，y ＝ρsin_θ. 另一种关系为ρ2
＝x 2
＋y 2
，tan θ＝y
x
. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程
θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝
⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴的直线；
ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程
ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆；
ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝
⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为|r |的圆；
ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝f
t ，y ＝g t
并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参
数方程，其中变量t 称为参数． 4．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)．
(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r
2
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋r cos θ
y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．
(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．
(4)抛物线方程y 2
＝2px (p >0)的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2pt 2
y ＝2pt (t 为参数)．
1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
答案 4 3
2．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4t 2
，
y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.
答案 4
3．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋t sin 40°，
y ＝3＋t cos 40°
(t 为参数)的倾斜角为________．
答案 50°
4．(2014·天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，
B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．
答案 3
解析 由ρ＝4sin θ可得x 2
＋y 2
＝4y ，即x 2
＋(y －2)2
＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .
设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2
＋(y －2)2
＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝3
3
a ， ∴B 点的坐标为(
3
3
a ，a )． 又∵B 在x 2
＋y 2
－4y ＝0上，∴(
33
a )2＋a 2
－4a ＝0， 即43
a 2
－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋3
2sin θ)＝1.
从而C 的直角坐标方程为12x ＋3
2y ＝1，
即x ＋3y ＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π
2)．
(2)M 点的直角坐标为(2,0)．
N 点的直角坐标为(0，
23
3
)． 所以P 点的直角坐标为(1，
3
3
)． 则P 点的极坐标为(233，π
6
)，
所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6
(ρ∈R )．
思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2
的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． 在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解 将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x 2
＋y 2
＝2x ， 即(x －1)2
＋y 2
＝1，
直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42
＝1， 解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.
题型二 参数方程与普通方程的互化
例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ，y ＝sin θ
(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54
t 2，
y ＝t
(t ∈R )，
求它们的交点坐标．
解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 2
5＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2
＝45
x ，
联立解得交点为⎝
⎛⎭⎪⎫
1，255.
思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2
θ＋cos 2
θ＝1,1＋tan 2
θ＝1
cos 2
θ
等． (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性． (2014·重庆)已知直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________. 答案
5
解析 参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由ρsin 2
θ－4cos θ＝0，得
ρ2
sin 2
θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2
－4x ＝0，即y 2
＝4x . 由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ＋1，y 2
＝4x
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝2，
故直线和抛物线的交点坐标为(1,2)，故交点的极径为
12
＋22＝ 5.
题型三 极坐标、参数方程的综合应用
例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线
C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3＋3
2
t ，y ＝12t
(t 为参数)，M ，
N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．
解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2
＋y 2
－4x ＝0， 所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 化参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3＋3
2
t ，y ＝12
t (t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0.
圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝5
2，
此时，直线与圆相离， 所以MN 的最小值为52－2＝1
2
.
思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用． (1)(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π
6)＝1的距离是________．
(2)在极坐标系中，点A 的坐标为(22，π
4)，曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，则OA (O 为极点)
所在直线被曲线C 所截弦的长度为________． 答案 (1)1 (2) 2
解析 (1)点(2，π
6
)化为直角坐标为(3，1)，
直线ρsin(θ－π6)＝1化为ρ(32sin θ－1
2cos θ)＝1，
32y －1
2
x ＝1， 即12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －3
2
y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
12×3－32×1＋112
2
＋－
3
2
2
＝1.
(2)由题意知直线OA 的直角坐标方程为x －y ＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2x ，即(x －1)2
＋y 2
＝1，易知曲线C 为圆，且圆心C 到直线OA 的距离为
1
2
，故直线OA 被曲线C 所截弦
的长度为21－1
2
＝ 2.
参数的几何意义不明致误
典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝12
t ，y ＝22＋32t
(t 为参数)，若以直角坐标系xOy
的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π
4)．
(1)求直线l 的倾斜角；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .
易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答
解 (1)直线的参数方程可以化为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝t cos 60°，y ＝2
2＋t sin 60°，[2分]
根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，2
2
)， 倾斜角为60°.[4分]
(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2
2
，[6分] ρ＝2cos(θ－π
4)的直角坐标方程为
(x －
22)2＋(y －22
)2
＝1，[8分] 所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝6
4. 所以AB ＝
10
2
.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而
α则是直线的倾斜角．
与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ
的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角.
方法与技巧
1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2
＝x 2
＋y 2
，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．
2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2
θ＝1cos 2θ
.
3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范
1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)
1．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2t (t
为参数)，直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2t
代入抛物线方程y 2
＝4x ， 得⎝ ⎛
⎭⎪⎫2＋
22t 2＝4⎝
⎛⎭⎪⎫1－22t ，
解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.
2．已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin α，
y ＝cos 2
α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ
＋π
4
)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin α，
y ＝cos 2
α，α∈[0,2π)得
x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．
(2)由ρsin(θ＋π
4
)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋2＝0，x 2
＋y ＝1得x 2
－x －3＝0.
解得x ＝1±132
∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．
3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π
4)＝a ，且点A 在
直线l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π
4)＝a 上，可得a ＝ 2.
所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝2
2
<1， 所以直线l 与圆C 相交．
4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，
试求PQ 的最大值．
解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2
＝12ρsin θ， ∴x 2
＋y 2
－12y ＝0，即x 2
＋(y －6)2
＝36. 又∵ρ＝12cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6， ∴ρ2
＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，
∴x 2
＋y 2
－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2
＋(y －3)2
＝36， ∴PQ max ＝6＋6＋
3
2
＋32
＝18.
5．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.
(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上． 解 (1)由公式⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
得M 的直角坐标为(1，－3)；
N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．
(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－0
3－2＝ 3.
∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．
6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝1
2
x ，
y ′＝1
3y
后，曲线C ：x 2＋y 2
＝36变为
何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
解 圆x 2
＋y 2
＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，y ＝3y ′，
∴4x ′2
＋9y ′2
＝36，即
x ′29＋
y ′2
4
＝1.
∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 2
4
＝1，其焦点坐标为(±5，0)．
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1．(2014·福建)已知直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a －2t ，
y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，
故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |
5≤4，
解得－25≤a ≤2 5.
2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2
－22ρcos(θ－π4)＝2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4， 所以x 2
＋y 2
＝4；
因为ρ2
－22ρcos(θ－π4
)＝2，
所以ρ2
－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，
所以x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin(θ＋π4)＝2
2
.
3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)∵C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋5cos t
y ＝5＋5sin t .
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，
即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，
把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，
化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＋y －2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2.
∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．
∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极
坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2
t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．
解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，
直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，
(1,3)．
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，
由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2＋1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.。