湖南省衡阳市第一中2021-2022学年年高一下学期创新班第一次月考数学试题(含答案解析)

湖南省衡阳市第一中2021-2022学年年高一下学期创新班第
一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组中，终边相同的是（）
A ．()21+k π与()41
2
k k Z π+∈B ．3
k π
π+
与()
3
k k Z π
π-
∈C ．2
k π
π+
与()2
k k Z π
π-
∈D ．223k π
π+
与()223
k k Z ππ-∈2．为了得到函数()1
sin 212y x =
-的图像，只需把1sin 22
y x =的图像上的所有点（）
A ．向左平移1
2个单位B ．向右平移1
2个单位C ．向左平移1个单位
D ．向右平移1个单位
3．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（
）
A ．()2sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭B ．()32sin 24f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
C ．()1
2sin 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭D ．()1
32sin 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭4．如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么cos θ=（
）
A ．
3
10
B ．
35
C ．
710
D ．
45
5．已知2sin 21cos 2αα-=，则tan α的值是（）
A ．1
2
B ．不存在
C ．1
2或不存在
D 6．已知角α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是（）
A ．sin sin αβ=
B ．()sin 2πsin αβ-=-
C ．cos cos αβ
=D ．()cos 2πcos αβ
-=7．已知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，π0,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
cos sin tan cos sin x x
y x x +=-，则（）A ．π4y x -=B ．π24y x -=C ．π
2
y x -=
D ．π
22
y x -=
8．若02
π
α<<，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423
πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）
A B ．C D ．二、多选题
9．满足不等式[]sin cos ,0,2πx x x ≤∈的x 的值可以是（）
A ．
π12
B ．
3π8
C ．
5π6
D ．
5π4
10．已知函数()2sin(3)6f x x π
=-，则（
）
A ．()f x 的最大值是2
B ．()f x 的最小正周期为
3
πC ．()f x 在06π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是增函数
D ．()f x 的图像关于点(0)6
π
，对称11．下列各式中，值为1
2的有（）
A ．sin 7cos 23sin83cos67︒︒+︒︒
B ．cos36cos72-
C ．sin10sin 50-
D ．
1(1tan 37)(1tan18)++ 12．若函数1()cos 22cos 2f x x a x =-的最小值为5
2
-，则a 的值可以为（
）A ．32
-
B ．74
-
C ．
32
D ．
1
3
三、填空题
13．求值：cos585︒=___________
14．如果cos 0θ>，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ--的化简为_________
15．已知1sin 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin 2α=___________
16．,63x ππ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得关于x 的不等式函数()()sin 22sin cos a x x ϕϕϕ>+-+成立，则
实数a 的取值范围是_________
四、解答题
17
．在①sin
cos 22αα=，②25cos 28α=
，③2tan
2
21tan 2
αα=-三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：若锐角α满足________，求sin(2)cos()παπα--+的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知)an(t 34
π
α+=-．
(1)求
tan 2tan α
α
的值；(2)求21cos sin 21cos 2ααα
-+-的值．
19．已知函数()2cos()6
f x x π
ω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π．
(1)求ω的值；
(2)设,[0,2
π
αβ∈，58(5)35f απ+=-，510(5)613f βπ-=，求cos()αβ+的值．
20．如图，有一块半径为1
2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上．记梯形ABCD 的周长为y
．
(1)设∠CAB ＝θ，将y 表示成θ的函数；(2)求梯形ABCD 周长的最大值．
21
．已知函数())f x x =ω+ϕ，0,22ππωϕ⎛
⎫>-<< ⎪⎝
⎭的图象关于直线56x π=对称，
若实数12x x ，
满足()(
)12f x f x -=时，12||x x -的最小值为2
π
．(1)求()f x 的解析式；
(2)将函数()y f x =的图象向右平移6
π
个单位后，得到()y g x =的图象，求()g x 的单调
22．已知函数2
1()cos sin cos 2
f x x x x =+-，其中x ∈R ．
(1)解不等式1()2
f x ≥；
(2)若函数3π()224g x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，且对任意的120x x t ≤<≤，恒有1212()()()()f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】分别求出各选项在[)0,2π范围内终边相同的角，比较即可.【详解】对A ，()212ππk k π+=+与π终边相同，41π
2π22
k k π+=+与π2终边相同，A 错；
对B ，3k π
π+与π4π33、终边相同，()2133
k k ππππ-=-+与2π5π
33、终边相同，B 错；对C ，2k π
π+
与π3π22、终边相同，()122
k k ππππ-=-+与π3π
22、终边相同，C 对；对D ，223k ππ+与2π3终边相同，()4213
k ππ-+
=与4π
3终边相同，D 错.故选：C 2．B
【分析】由()11
1
sin 21sin
222
2x x ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
即可比较判断.【详解】()111sin 212222y x x ⎡⎤⎛⎫=
-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，故只需把1
sin 22y x =的图像上的所有点向右平移1
2个单位.故选：B 3．D
【分析】通过函数的图象，求出A ，T 的值，利用周期公式求出ω的值，再根据五点法作图求出ϕ的值即可．
【详解】解：由函数()f x 的图象知2A =，32(422
T ππ
π=⨯+=，212
T πω∴=
=，由五点法作图可得122
π
ϕπ⨯+=，且||ϕπ<，34
π
ϕ∴=
，∴函数()f x 的解析式为13()2sin()24
f x x π
=+．
故选：D ．4．B
【分析】根据三角函数的定义求解.
【详解】因为小正方形的面积为1，所以小正方形的边长为1，所以设直角三角形直角边为,1x x +，
因为大正方形的面积为25，所以大正方形的边长为5，所以由勾股定理得22(1)25x x ++=即2120x x +-=，解得3,4x x ==-（舍），所以3
cos 5
θ=.
故选：B.5．C
【分析】结合倍角公式化简、因式分解，即可求tan α的值.【详解】由2sin 21cos 2αα-=得
()24sin cos cos 212cos cos 2sin cos 0ααααααα=+=⇒-=，
故cos 0α=或1tan 2
α=.故选：C 6．A
【分析】根据任意角三角函数的定义结合任意角的周期性逐项分析判断.
【详解】设角α与标准单位圆的交点为()1,P a b ，则β与标准单位圆的交点为()2,P a b -，故sin sin b αβ==，cos ,cos a a αβ==-，A 正确，C 错误；∵()sin 2πsin sin ααβ-==，B 错误；∵()cos 2πcos cos ααβ-==-，D 错误.故选：A.7．A 【分析】由
cos sin tan cos sin x x y x x +=-可得tan tan 4x y π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，根据角的范围可得到答案.
【详解】由题意知cos 0x ≠，则
cos sin tan cos sin x x
y x x +=-，即1tan tan 1tan x y x
+=-，
所以
π
tan
tan 4tan π1tan tan 4
x
y x +=-⋅，即πtan tan 4x y ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2y ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则tan 0y >，所以πtan 04x ⎛⎫+> ⎪⎝
⎭，
ππ3π444x <+<，πtan 04x ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭，则πππ442x <+<
所以有π4x y +=即π
4
y x -=.故选：A.8．C
【分析】根据题意求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
和sin 42πβ⎛⎫
- ⎪⎝⎭的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由题意，可得442
πππα<+<，4422ππβπ
<-<，
因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos cos cos cos sin sin 24
42442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1
33==
.故选：C.9．AD
π04x ⎛
⎫-≤ ⎪⎝
⎭，由整体法求解或者逐个代入检验
即可.
【详解】由[]sin cos ,0,2πx x x ≤∈得πsin cos 04x x x ⎛
⎫-=-≤ ⎪⎝⎭
，ππ7π,444x 轾-Î-犏犏臌，可解得ππ7π,0π,444x 轾轾-Î-犏犏犏犏臌臌 ，即π5π
0,2π44x 轾轾Î犏犏犏犏臌
臌 ，选项AD 均符合.故选：AD 10．AC
【分析】对A ，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B ，D 根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C ，先求出()f x 的单调递增区间，即可判断.
【详解】解：对A ，()2sin(3)6
f x x π
=- ，
故当sin(3)16
x π
-=时，max ()2sin(326f x x π=-=，故A 正确；
对B ，()f x 的最小正周期223
T ππω==，故B 错误；
对C ，令232,26
2
k x k k z π
π
π
ππ-+≤-
≤
+∈，
解得：222,9
393
k k x k z π
πππ
-
+
≤≤+∈，故()f x 的单调递增区间为：222,,9393k k k z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，当0k =时，()f x 的一个单调递增区间为：2,99ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，
故()f x 在06π⎡⎤
⎢⎣⎦
，上单调递增，故C 正确；
对D ，令3,6
x k k z π
π-=∈，
解得：,18
3
k x k z π
π
=
+
∈，故()f x 的对称中心为：,0183k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，令6
x π=，
即
,6
18
3
k k z π
π
π
=
+
∈，解得：1
3
k z =∉，
故(0)6
π
，不是()f x 的对称中心，故D 错误.故选：AC.11．AB
【分析】对A ，由诱导公式及正弦和公式化简求值；
对B ，由余弦和差公式、辅助角公式、正弦倍角公式化简求值；对C ，由辅助角公式化简求值；对D ，先去括号，由正切和公式化简得
()1
1tan 551tan 37tan18tan18tan 37+︒-︒︒+︒︒
，通过讨
论()()1tan 37tan181tan18tan 37f x x =-︒︒++︒︒的单调性判断
()
1
tan 55f ︒是否符合..
【详解】对A ，()1sin 7cos 23sin83cos67sin 7cos 23cos7sin 23sin7
23sin 302
︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，A 对；
对B ，()()cos36cos72cos 5418cos 54182sin 54sin182cos36cos72︒-︒=︒-︒-︒+︒=︒︒=︒︒2sin 36cos36cos72sin144sin 361
sin 362sin 362sin 362
︒︒︒︒︒=
===︒︒︒，B 对；
对C
，()12sin1022sin 6010sin102sin 50sin 50sin 50⎫︒-︒⎪
︒-︒︒-︒⎝
⎭==︒︒︒
，C 错；对D ，
11
(1tan 37)(1tan18)1tan 37tan18tan18tan 37=+︒+︒+︒+︒+︒︒
()()()11
1tan 37181tan 37tan18tan18tan 371tan 551tan 37tan18tan18
tan 37==
+︒+︒-︒︒+︒︒+︒-︒︒+︒︒设()()2
1tan 37tan181tan18tan 37,tan 37tan18tan 451f x x =-︒︒++︒︒︒︒<︒=，∴()f x 单调递
增，
又()12f =，∴()()tan 55tan 452f f °>°=，∴11
(1tan 37)(1tan18)2
<++，D 错.
故选：AB 12．AC
【分析】应用二倍角余弦公式可得221
()(cos )2
f x x a a =---
，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论a 与区间[1,1]-的位置关系，求a 的值.【详解】由题设，()22211()2cos 12cos (cos )22
f x x a x x a a =
--=---，令cos [1,1]t x =∈-，则22
1
()()()2
f x
g t t a a ==---
，其开口向上且对称轴为t a =，当1a <-时，min 15()(1)222
f x
g a =-=+
=-，则32a =-；
当11a -≤≤时，2
min 15
()()22
f x
g a a ==--
=-
，则a =舍)
或a =；当1a >时，min 15()(1)222
f x
g a ==-=-，则3
2a =；
综上，32a =或32
a =-.故选：AC 13
．2
-
【分析】由诱导公式化简求值.
【详解】()()(
)cos585cos 720135cos 135cos135cos 9045sin 452
︒=︒-︒=-︒=︒=︒+︒=-︒=-.
故答案为：2
-.14．sin θ
-【分析】先由条件判断角的范围，即可去绝对值化简.
【详解】∵cos 0θ>，且tan 0θ<，∴2,2,2k k k πθππ⎛⎤
∈-+∈ ⎥⎝⎦
Z ，
∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ--=-+-=-.故答案为：sin θ-.15．7
9
-
【分析】先由和角公式得sin cos αα+=
，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.
【详解】由π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得3
sin 221αα+=，即sin cos 3αα+=
，两边同时平方得222
sin 2sin cos cos 9
αααα++=，
即9
1sin 22α+=
，解得sin2α=79-.
故答案为：7
9-.
16．1,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
【分析】由三角恒等变化得出()()sin 22sin cos x x ϕϕϕ+-+sin x =，再由sin x 的范围得出实数a 的取值范围.
【详解】因为()
sin(2)sin cos()cos sin x x x ϕϕϕϕϕ+=+++所以()()sin 22sin cos x x ϕϕϕ+-+cos sin()sin cos()x x ϕϕϕϕ=+-+sin()sin x x ϕϕ=+-=.
因为,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以1sin 22x ⎡∈⎢⎣⎦
.要使得关于x 的不等式函数()()sin 22sin cos a x x ϕϕϕ>+-+成立，只需1
2
a >.故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
17【分析】利用三角函数的诱导公式和恒等变换公式即可求解.【详解】依题意，
若选①：则有sin
cos 228
αα=
，且α为锐角，
因为sin cos 22αα1sin 2α=sin α=，
又因为α为锐角，所以1cos 4
α==
，
所以()()
sin(2)cos()sin cos παπααα--+=--
-1sin cos 4αα=-+=-
=若选②：则有25cos 28α=，且α为锐角，因为25cos 28
α=，所以21cos 5cos 228αα+==，解得：1cos 4α=
，所以sin 4α=，所以()()
sin(2)cos()sin cos παπααα--+=--
-1sin cos 4αα=-+=-=
若选③：则有2tan
2
2
1tan 2αα
=-，且α为锐角
因为2tan
2
21tan 2αα
=-
，所以1tan 2α=
解得：tan α=
sin α=1cos 4α=，所以()()
sin(2)cos()sin cos παπααα--+=--
-11sin cos 444
αα=-+=-=；18．(1)23
-
(2)1【分析】由正切和公式化简解方程得tan 2α=，
（1）由倍角公式化简求值；
（2）由倍角公式，平方关系，弦化切化简求值.
【详解】（1）1tan (ta )an 43t n 1απαα
+==--+，解得tan 2α=.∴222tan tan 2221tan tan tan 1tan 3
αααααα-===--.（2）222221cos sin 2sin 2sin cos tan 2tan 11cos 22sin 2tan αααααααααα
-+++===-.
(2)33
65
-【分析】（1）由2πT ω=求值；
（2）由58(5)35f απ+=-，510(5)613f βπ-=整理得4sin 55cos 13αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，结合平方关系及余弦和公式求值即可.
【详解】（1）由2π10πT ω
==得15ω=；（2）由5158(5)2cos[(5)]3536551510(5)2cos[)]656613f f παπαππβπβπ⎧+=++=-⎪⎪⎨⎪-=-+=⎪⎩整理得4sin 55cos 13αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵,[0,]2παβ∈
，∴312cos ,sin 513
αβ==，∴33cos()cos cos sin sin 65
αβαβαβ+=-=-
.20．(1)2π2sin 2sin 2,0,4y θθθ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭(2)52【分析】（1）过O 作OE ⊥CD 于E ，连接CO ，由几何关系得π2,22
COB θCOE θÐ=Ð=-，则可由三角函数表示y ；（2
）sin t θ骣琪=Î琪桫
，讨论二次函数最大值即可.【详解】（1）AB 是直径，则AC BC ⊥，sin sin AD BC AB θθ
===如题图，O 为圆心，过O 作OE ⊥CD 于E ，连接CO ，则π2,22
COB θCOE θÐ=Ð=
-，∴22sin cos 2CD CE OC COE θ==Ð=，∴2π2sin cos 212sin 2sin 2,0,4y θθθθθ⎛⎫=++=-++∈ ⎪⎝⎭.（2
）sin t θ骣琪=Î琪桫，则2222y t t =-++
，对称轴12t ⎛=∈ ⎝⎭，∴当12t =时，y 有最
21．(1)π())6
f x x =-(2)ππ,π,2
k k k 轾-Î犏犏臌Z
【分析】（1）由()()12f x f x -=时，12||x x -的最小值为
2
π得周期，求得ω，由整体法得对称轴，列方程求得ϕ；（2）先平移得()y g x =的解析式，再由整体法求单调递减区间.
【详解】（1）由()()12f x f x -=时，12||x x -的最小值为
2
π得πT =，∴2π2T ω==.∵()f x 的图象关于直线56x π=对称，∴5ππ2π,62φk k ´+=+ÎZ ，又22ππϕ-<<，∴π6ϕ=-.
∴π())6
f x x =-；
（2）πππ()222662g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，由[]22ππ,2π,x k k k Î-ÎZ 得ππ,π,2
x k k k 轾Î-Î犏犏臌Z ，∴()g x 的单调递减区间为ππ,π,2k k k 轾-Î犏犏臌
Z .22．(1)ππ,π,Z 4k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦(2)π4
【分析】(1)根据三角恒等变换化简解析式，并根据三角函数性质求解；
(2)根据三角函数的性质以及单调性的定义求解.
【详解】（1）由题可得21
1cos 211()cos sin cos sin 22222
x f x x x x x +=+-=+-11π
sin 2cos 2sin(2)2224
x x x =
+=+，
令1()2f x ≥可得π1)242x +≥即πsin(2)42x +≥，所以ππ3π2π22π,Z 444k x k k +≤+≤+∈，解得πππ,Z 4
k x k k ≤≤+∈，所以不等式的解为ππ,π,Z 4k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
.
（2）π()()sin 23πsin 224(2)24x x f x g x x ⎛⎫-=
+-+= ⎪⎝⎭，由ππ2π22π,Z 22k x k k -+≤≤+∈解得πππ2π,Z 44
k x k k -+≤≤+∈，所以si 2)n (()f x x g x =-在πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
单调递增，又因为1212()()()()f x f x g x g x -<-即1122()()()()f x g x f x g x -<-成立，所以si 2)n (()f x x g x =-在[]0,t 单调递增，所以π04t <≤，所以实数t 的最大值为π4
.。