高考第三轮数学复习回归课本教案：直线与圆的参数方程

2010复习回归：直线与圆的参数方程
一．考试内容：
直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.
两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离.
用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.
曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.
圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念.圆的参数方程.
二．考试要求：
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点
斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根
据直线的方程判断两条直线的位置关系.
(3)了解二元一次不等式表示平面区域.
(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.
(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.
(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
【注意】本部分内容在高考中主要考查两个类型的问题：①基本概念和求直线方程；②直线
与圆的位置关系等综合性试题. 求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．
三．基础知识:
1.直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
112121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2..两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①
11112222
||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 3.夹角公式 (1)2121
tan |
|1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212
tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120
A A
B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.
4. 1l 到2l 的角公式 (1)2121
tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212
tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120
A A
B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π. 5．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线
0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)
P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为
111222()()0A x B y C
A x
B y
C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方
程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变
量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是
0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
6.点到直线的距离
d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
7. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：
若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C
++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C
++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
8. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或
0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；
111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
9. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 222
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ
=+⎧⎨
=+⎩.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是
11(,)A x y 、22(,)B x y ).
10. 圆系方程
(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0
x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中
0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程
是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．
(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆
2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是
2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．
11.点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =
d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.
13.直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;
0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B
A C Bb Aa d +++=. 14.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;
条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;
条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;
无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .
15.圆的切线方程
(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．
①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
当00(,)x y 圆外时, 0000()()022
D x x
E y y x x y y
F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两
条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆222
x y r +=．
①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;
②斜率为k
的圆的切线方程为y kx =±
四．基本方法和数学思想
1.设三角形的三个顶点是A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3）,则⊿ABC 的重心G 为（3
,3321321y y y x x x ++++）； 2.直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2: A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0；
3.两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是222
1B A C C d +-=；
4.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；
5.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;
6.以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;
7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行
域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；
8.圆的性质的应用.初中知识回顾:
五．高考题回顾
一、相切问题：
1．（04年辽宁卷.13）若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线
在y 轴上的截距是 .
2. 北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长
为( )（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π
3. （天津卷）将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x
－4y=0相切，则实数λ的值为
A ．－3或7
B ．－2或8
C ．0或10
D ．1或11
二、公共点问题：
4.（04年北京卷.理12）曲线C ：{
cos 1sin x y θθ==-+（θ为参数）的普通方程是________，如果曲线C 与直线0x y a ++=有公共点，那么实数a 的取值范围是_______.
5.(全国卷I)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 22
2=+有两个交点时，其斜率k
的取值范围是（ ） （A ）），（2222- （B ）），（22- （C ）），（4
242-（D ）），（8181- 6(04年福建卷.文理13）直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等
于 .
三、方程问题：
6.(04年上海卷.文理8）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,
则圆C 的方程为 .
7. （湖南卷）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、
B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .
四、对称问题：
8.（04年全国卷二.文理4）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的
方程为（ ）.
A.22(1)1x y ++=
B.221x y +=
C.22(1)1x y ++=
D.22(1)1x y +-=
9.（上海）直线y=2
1x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 x+2y-2=0 ． 五、最值问题：
10.（04年全国卷三. 文16）设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的
距离的最小值为 .
六、线性规划问题：
11. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组⎩
⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（C ） （A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2
12. (湖北卷）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一
种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的
条件下，最少要花费 元.
13. （江西卷）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩
⎪⎨⎧≤->-+≤-- . 七.与向量相结合
14.(湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅ ＝ .
六.课本中习题归纳
一、直线的方程及其位置关系
1（1）直线的倾斜角α的取值范围是 。

（2）两条直线的夹角α的取值范围是 。

（3）两个平面的夹角α的取值范围是 。

(4) 两个平面的所成的角α的取值范围是 。

（5）直线与平面所成的角α的取值范围是 。

（6）两个向量的夹角α的取值范围是 。

(7)两异面直线所成的α的取值范围是 .
2直线10x y ++=的一个方向向量是 ，若α=（1，k ）也是它的一个方向向量则
k= .
3直线1l 的倾斜角0
30α=,直线2l 过点,且21l l ⊥,则直线2l 的方程是 .
4经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的方程是 ,它的斜率为 , 倾斜角为 .
5已知直线l 经过点(1,2)-,且斜率的绝对值等于1,则直线l 的方程是 .倾斜
角为 .
6经过(,6),(1,3)A m B m -两点的直线的斜率为12, 经过(,2),(,21)C n D n n --两点的直线
的倾斜角为060,则m n += .
7已知直线l 经过点(2,3)-,倾斜角为045,则直线l 的方程是 .
8已知直线l 在y 轴上的截距是2-,则直线l 的方程是 .该直线在x 轴上的截距是 .
9已知三角形的三个顶点分别是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --.
(1)中线AD 所在直线的方程是 ;
(2)高AH 所在直线的方程是 ;
(3)角平分线AM 所在直线的方程是 ;
(4)△ABC 的面积等于 ;
(5)重心G 的坐标是 ,
10已知直线260x y -+=与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,O 为原点,则△AOB 的面积等
于 ; △AOB 的内切圆的半径等于 ;
11已知直线l 经过点(1,4)P ,分别交x 轴，y 轴于点A ，B 。

O 为原点。

则△AOB 的面积
最小时，直线l 的方程是 。

12直线(21)(3)(1)0m x m y m --+--=恒过一个定点，则这个定点的坐标是 。

13直线sin cos 0x y αα++=的倾斜角的取值范围是 。

14直线l 过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距相等，则直线l 的方程是 。

15直线l 过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程是 。

16已知直线1:2470l x y -+=，2:50l x ay -+=。

（1）若12//l l ，则a = ；（2）若12l l ⊥，则a = 。

17直线l 过点(1,4)-，
（1）若直线l 与直线2350x y ++=平行，则直线l 的方程是 ；
（2）若直线l 与直线2350x y ++=垂直，则直线l 的方程是 。

18已知直线1:23l y x =-+，2:2230l x y --=，则
（1）1l 与2l 的夹角为 ，（2）1l 到2l 的角为 。

19等腰三角形一腰所在直线1:220l x y --=，底边所在直线2:10l x y +-=，点(2,0)
-在另一腰上，则这条腰所在直线3l 的方程是 。

20已知直线1:2100l x y +-=，2:32l x =，
则（1）点(1,2)P -到1l 的距离为 ，（2）点(1,2)P -到2l 的距离为 。

21直线2780x y -+=关于直线2760x y --=对称的直线的方程为 。

22直线220x y -+=关于直线220x y ++=对称的直线的方程为 。

23已知两点(7,4)A -、(5,6)B -，则线段AB 的垂直平分线的方程是 .
24光线从点(2,3)M -射到x 轴上一点(1,0)P 后被反射，则反射光线所在的方程
是 。

25不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，表示的平面区域的面积等于 ，其内部
有 个整点。

26已知实数,x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值是 ，最小值是 。

27已知非负整数,x y 满足215218327x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩
，则z x y =+的最小值是 。

28已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则22z x y =+的最大值是 ，最小值是 。

二、圆的方程及其位置关系
1以(1,3)C 为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的方程是 。

2已知圆的方程是221x y +=，
（1
）经过点(22
M 的切线方程是 ； （2）经过点(1,1)P 的切线方程是 。

3已知圆的方程是221x y +=，
(1) 斜率等于1的切线的方程是 。

(2) 在y
的切线的方程是 。

4过三点(0,0)A 、(1,1)B 、(4,2)C 的圆的方程是 。

5已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 的坐标为(12,0)。

当点P 在圆上运动 时，线段PA 的中点M 的轨迹方程是 。

6两圆2210100x y x y +--=，2262400x y x y +++-=的公共弦的长是 。

7两圆2264120x y x y +-++=，22142140x y x y +--+=的位置关系是 。

8曲线22
x y x y +=+所围成的图形的面积是 。

三、直线与圆的位置关系
1经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线 40x y --=上的圆的方程是 。

2函数sin 1()cos 2
x f x x -=-的最大值是 ，最小值是 。

3正方形的中心为(1,0)C -，一条边所在的直线的方程是350x y +-=，
则一条邻边的方程是 。

4经过(2,1)A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆的方程是 。

5圆228x y +=内有一点(1,2)o P -，AB 为过点o P 且倾斜角为α的弦，
（1） 当34
πα=时，求AB 的长； （2） 当弦AB 被点o P 平分时，写出直线AB 的方程。

6设满足y x a ≥-的点(,)x y 的集合为A ，满足y x b ≤-+的点(,)x y 的集合为B ， 其中,a b 是正数，且A B ≠∅。

（1） 求,a b 之间满足的关系；（2）求A B 所表示的图形的面积。