四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学(文)试题

1．已知集合[1,1]A =-，{|(3)(21)0}B x x x =+-≤，则=B A A ．]21,3[- B ．]21,1[- C ．)21,1[- D ． )2
1,3(- 2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5名学生的听力成绩（单位：分）.
甲组 乙组
9 0 9
x
5 1 3 y
8 7
1
2
7
已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x 、y 的值分别为 A ．2，5 B ．5，5 C ．5，7 D ．8，7 3．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为 A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-
4．为了得到函数2sin 3y x =的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin += 的图象
A ．向右平移12
π
个单位长 B ．向右平移4
π
个单位长 C ．向左平移
12
π
个单位长 D ．向左平移
4
π
个单位长
5．设a 、b 是实数，则“0a b >>”是“22a b >”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若b a b a -=+，则实数λ的值为 A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 7．在区间]3,2[-上随机选取一个数M ， 不变执行如右图所示的程序框图，且 输入x 的值为1，然后输出n 的值为N ， 则2M N ≤-的概率为
A ．
5
1 B ．52
C ．53
D ．5
4
8．如右下图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．624+ B ．62+ C ．622+ D ．64+
9．过抛物线2
2y px =的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若40MN =，则HF =
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
10．函数)(x f 的定义域为D ，若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在D 上为单调函数；（2）存
在区间D b a ⊆],[，使得)(x f 在],[b a 上的值域为]2
,2[b
a ，则称函数)(x f 为“取半函数”。

若)(log )(t c x f x c +=0(>c ，且)1≠c 为“取半函数”，则t 的取值范围是 A ．)41,41(- B ．)41,0( C ．)21,0( D ．)1,2
1(
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上） 11．圆心在原点且与直线x y -=2相切的圆的方程为 12．已知偶．
函数)(x f 在),0[+∞单调递减，且0)2(=-f ， 若0)2(>-x f ，则x 的取值范围是
13．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则
此双曲线的焦距等于
14．如右图，为测量坡高MN ，选择A
和另一个山坡的坡顶C 为测量观测点。

从A 点测得M
点
的
仰
角
60=∠MAN ，C 点的仰角
45=∠CAB 以及 75=∠MAC ；从C 点测得 60=∠MCA 。

已知坡高50=BC 米，则坡高=MN 米
15．若函数)(x f y =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中,a b 不同时为0），则称函数
)(x f y =为“准奇函数”
，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”。

现有如下命题： ①函数()sinx 1f x =+是准奇函数； ②函数3
()f x x =是准奇函数；
③若准奇函数)(x f y =在R 上的“中心点”为))(,(a f a ，则函数
)()()(a f a x f x F -+=为R 上的奇函数；
④已知函数3
2
()362f x x x x =-+-是准奇函数，则它的“中心点”为(1,2)； 其中正确的命题是。

（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

答在答题卷指定位置。

16．(本小题满分12分)
已知函数)(2cos sin sin 2
5
)(R x x x A x f ∈+=
，且满足102)4cos(-
=+πA ，)2
,4(π
π∈A
（1）求sin A 的值； （2求()f x 的最大值。

17．(本小题满分I2分)
某学校有男老师45名，女老师15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组。

（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出2名老师做某项实验，方法是先从小组里选出1名老师做实验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做实验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率；
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，=ADC=90BAD ∠∠，
22,3DC AB a DA a ===，E 为BC 中点。

（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ； （2）线段PC 上是否存在
一点F ，使PA //平面BDF ？若有，请找出具体位置，
并进行证明；若无，
请分析说明理由.
19．（本小题满分12分）
已知数列}{n a 为等差数列，其中11,a =713a = （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足1
1
+⋅=
n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，
当不等式8n T n λ<+（*∈N n ）恒成立时，求实数λ的取值范围。

20．(本小题满分13分)
已知定点(2,0)A -，(1,0)F ，定直线l ：4x =，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的
距离的
1
2
.设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点。

（1）求C 的方程；
（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由。

21．(本小题满分14分)
已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，()x
g x kxe =（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对
数的底数），'
()g x 为()g x 的导函数，且'(0)1g =， （1）求k 的值；
（2）对任意0,x >证明：()()f x g x <；
（3）若对所有的x ≥0，都有)(x f ≥ax 成立，求实数a 的取值范围。

遂宁市高中2015届第二次诊断性考试
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分，满分50分
二、填空题：每小题5分，满分25分
11．22
2
=+y x 12．（0，4） 13．4 14．75 15．①③④
三、解答题：满分75分 16．(本小题满分12分) 解：（1）因为)2,4(
π
π∈A ，所以)4
3,2(4π
ππ∈+A ，又102)4cos(-
=+πA ， 所以10
2
7)4
(cos 1)4
sin(2=
+
-=+
π
π
A A ................3分 所以5
44
sin
)4
cos(4
cos
)4
sin(]4
)4
sin[(sin =
+
-+
=-
+
=π
π
π
π
π
π
A A A A 。

..............6分
（2）2
3
)21(sin 2sin 21sin 22cos sin 2)(22+
--=-+=+=x x x x x x f ，因为x R ∈ 所以sin [1,1]x ∈-，从而当1sin 2x =
时()f x 取得最大值3
2
...............12分
18．（本小题满分12分） 证明: (1)连结BD
90BAD ADC ∠=∠=
,3AB a DA a ==
所以2BD DC a ==
E 为BC 中点
所以BC DE ⊥……………3分 又因为PD ⊥平面ABCD , 所以BC PD ⊥
因为DE PD D =……………4分
所以BC ⊥平面PDE ……………5分
因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PDE ……………6分 (2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF ……………7分 连结,AC BD 交于O 点
//AB CD ,所以AOB ∆相似于∆又因为
1
2
AB DC =
，所1
2
AO OC =
从而在CPA ∆中,1
3AO AC =……10分
而1
3
PF PC =
所以//OF PA ………11分 而OF ⊂平面BDF
PA ⊄平面BDF
所以//PA 平面BDF ………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵71613162a a d d d =+⇒=+⇒=
所以1(1)21n a a n d n =+-=- ...............5分 （2）∵数列}{n b 满足1
1
+⋅=
n n n a a b
∴)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-=⋅=+n n n n a a b n n n ，
∴1
2)1211215131311(21+=
+--++-+-=
n n
n n T n ...............8分
要使不等式8n T n λ<+（*∈N n ）恒成立，只需不等式
1782)12)(8(++=++<
n
n n n n λ恒成立即可 ...............10分 ∵882≥+n n ，等号在2=n 时取得，∴25<λ ...............12分
20．(本小题满分13分)
解：（1）(10)F ，，设()P x y ，为E 上任意一点，依题意有22(1)142
x y x -+=- ∴22
143
x y +=。

..............5分
21．(本小题满分14分)
解：（1）()(1)x
g x k x e '=+ 所以(0)1g k '== .............3分 （2）证明：令()1x G x e x =--，'()1x G x e =-，当(0,)x ∈+∞，'
()0G x > 所以当(0,)x ∈+∞时()G x 单调递增，从而有()(0)0(0)G x G x >=>； 所以10x e x >+>ln(1)0x x ⇒>+>，(1)ln(1)x
xe x x ∴>++ 所以当(0,)x ∈+∞()()f x g x < ..............8分
（3）令()(1)ln(1)h x x x ax =++-，
则 '()ln(1)1h x x a =++-，令'()0h x =解得1 1.a x e -=-
（i ）当1≤a 时，所以110a x e -=-≤，从而对所有0>x ，'()0h x >;()h x 在[0,)+∞
上是增函数.
故有0,()(0)0x h x h >>=
即当1≤a 时，对于所有0≥x ，都有ax x f ≥)(.
（ii ）当1'11,01,()0,()(0,1)a a a x e h x h x e --><<-<-时对于所以在上是减函数， 101()(0)0a x e h x h -<<-<=所以对于有，
即ax x f <)(，
所以，当.)(0,1成立都有不是对所有的时ax x f x a ≥≥>
综上，a 的取值范围是].1,(-∞ ..............14分。