解析几何初步ppt(42份) 北师大版12
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2 2 2 xOy平面的距离为d= 00 00 03 3 .
答案：3
【要点探究】
知识点
空间两点间距离公式
对空间两点间距离公式的两点说明
(1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的延伸、推
广，而平面内两点间距离公式又是空间两点间距离公式的特例.
(2)公式的推导
A .3 3 B . 2 C . 2
)
D .5
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3， |AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中 点，求M，N两点间的距离.
【解题探究】1.题(1)中如何求AB中点P的坐标？
2.题(2)中，M点的坐标如何确定？
广，其形式和结构特征是相同的，只是多出一组坐标.
【即时练】 1.已知点A（0，1，1），B（-2，0，2），则线段AB的长为 （
A . 3 B . 2 C . 2 D . 6
）
2.已知A（-2，1，m)，B(-2，2，0)，若|AB|=1，则m=_____.
【解析】1.选D.|AB|=
0 2 1 0 1 2 1 16 . 4
点P在对角线AB上运动时”，你能求出|PQ|的最小值吗？
1 P(x，x，z)，则 【解析】依题意Q ( 0 ， 1 ，设 )， 2
1 1 1 2 2 2 2 2 1 |PQ|= x x 1 ( z ) 2 ( x ) ( z ) ， 2 2 2 2
1 时，|PQ| = 2 ， 所以当x=z= min 2
【变式训练】如图所示，PA，AB，AD两两互
相垂直，四边形ABCD为矩形，M，N分别为AB，
PC的中点，求证：MN⊥AB.
【解题指南】要证明MN⊥AB，可证明△AMN为直角三角形，
即证|AN|2=|AM|2+|MN|2.
【证明】如图所示，以A为坐标原点，分别以 AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a，0，0)，
2 2 2 c时，对角线的长d=__________. a b c
2.空间两点间的距离公式：空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，
xx yy z z 1 2 1 2 1 2 y2，z2)间的距离|AB|=____________________________.
1 1 1 1 13 2 2 32 P Q ( 1) ( 0) ( 2 ) . 2 2 2 4 4 42
(2)如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0).
因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2，
【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距 离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的 坐标. (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来， 要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面 直角坐标系的知识确定.
所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2).
3 因为N为CD1的中点，所以N ( ，3 ， 1 ). 2
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，所以M(1，1，2). 由两点间距离公式，得
3 2 2 1 2 2 M N ( 1 ) （ 3 1 ） （ 1 2 ） . 2 2
【延伸探究】题(2)中，其他条件不变，若P为CC1上一点，
答案： 4 1
8
类型二
空间两点间的距离公式的应用
【典例2】 (1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-2，11)，B(4，2，
3)，C(6，-1，4)，则△ABC是________三角形.
(2)如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同 一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立 空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线 AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点，点Q在 棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.
【变式训练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=3，BC=4， CA=5，M是AB的中点，N是B1C的中点，如图所示，求MN的长.
【解析】由于|AC|2=|BC|2+|AB|2，知AB⊥BC. 以B为原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系.
2 2 2 【解析】(1)|OP|= 2 0 1 0 1 0 1 16 . 4
答案： 6
2 0 0 1 0 0 5 . (2)|PQ|=
2 2 2
答案： 5 (3)由A向xOy平面作垂线，垂足为原点O(0，0，0)，所以A到
【解题探究】1.判断三角形的形状可以采用什么方法？
2.题(2)如何表示|PQ|？
【探究提示】1.求出三条边的长度，再利用勾股定理进行判断.
2.求出P，Q的坐标，利用两点间的距离公式表示|PQ|.
【自主解答】(1)因为|AB|=
2 2
1 4 2 2 1 1 3 8 9 ，
则A(3，0，0)，B(0，0，0)，
所以M( 3 ，0 ，0 ) .
2
C(0，4，0)，B1(0，0，2)， 所以N(0，2，1).
32 2 2 2 9 所以由两点间的距离公式得 M N ( ) 2 1 . 2 2
所以MN的长为2 9 .
2
【补偿训练】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BD的 中点，G在棱CD上，且CG= 1 CD，E为C1G的中点，则EF的长为
1 1 2 1 2 1 2 2 1 |PQ|= () ( 1 ) ( z ) ( z ) ， 2 2 2 所以当z= 1 时，|PQ|min= 2 ， 2 2
1 恰为CD的中点. 此时Q ( 0 ， 1，Q )， 2
2 2
【延伸探究】题(2)中，当条件变为“点Q为棱CD的中点，
1 2 2 9 5 m 2 m 2 5 ( m ) ， 5 5 1 所以当m= 时，|AB|取得最小值 3 5 ， 5 5 11 441 此时A，B坐标为 A ( 2 ， ， ) ， B (， ， ) . 55 555 11 441 3 5 答案： A ( 2 ， ， ) ， B (， ， ) 55 555 5
4
________.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点.由题
， 01)(0 ， ，1，1)，C(0，1，0)， 意，得F ( ， C 1 1 2 2
G ( 0 ，3 ，0 则 )，E
4
7 1 ( 0， ， ) . 8 2
1 71 1 2 4 1 2 2 所以|EF|= ( 0 ) ( ) ( 0 ) . 2 82 2 8
|CP|= 1 ，求|MP|和|NP|的值.
2
【解析】由题意得P ( 3 , 3 , 1， )
2
4 1 4 1 2 2 1 2 所以 M P （ 3 1 ） （ 3 1 ） ( 2 ) ， 2 4 2 3 2 1 1 0 1 0 2 2 N P ( 3 ) （ 3 3 ） ( 1 ) . 2 2 4 2
x x y y ， z z1 z2 . 求解 2 2 2
2.作M在A1B1，A1D1上的投影，由线段比例关系可确定M点 的坐标.
【自主解答】(1)选B.设P，Q的坐标分别为P(x1，y1，z1)，
Q(x2，y2，z2).
0 2 1 1 2 1 3 则 x 1 ， y 0 ， z . 1 1 1 2 2 22 3 所以 P ( 1 ，， 0 ). 2 2 1 1 1 2 1 1 3 x ， y ， z 2 ， 2 2 2 2 2 22 2 所以Q ( 1 ，1 ， 2 ). 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2.|AB|= 所以 m=0. 2 2 2 1 m 1 ， m1
答案：0
【题型示范】 类型一 求空间两点间的距离
【典例1】
(1)已知三点A(0，1，2)，B(-2，-1，1)，C(1，2，3)，则AB
的中点P与BC的中点Q之间的距离为(
平面内的两点.
(3)错误.互换两点坐标，结果不变.
答案：(1)√
(2)×
(3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)原点O(0，0，0)与点P(2，1，1)两点间的距离为_______
_____.
(2)x轴上的点P(2，0，0)与y轴上的点Q(0，1，0)之间的距离
为____________. (3)点A(0，0，3)到平面xOy的距离为____________.
2 2 2
2
A C 1 6 1 1 4 5 ， 21 7 B C 4 6 2 1 3 4 4 ， 1
2 2 2
所以|AC|2+|BC|2=|AB|2， 所以△ABC为直角三角形. 答案：直角
1 1 1 ( )， Q(0，1，z)，则 (2)依题意P ， ， 设点 2 2 2
①推导思路：求线段长度常常放在三角形中，根据各坐标分量
的几何意义构造三角形来求解，即通过构造辅助平面，将空间
问题转化到平面中处理；
②证明方法：运用了由特殊到一般的方法，过程中运用到线面 垂直、线线垂直的相互转化.
【知识拓展】求空间两点间的距离的步骤
【微思考】
(1)空间两点间的距离公式有何特征？ 提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的 算术平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么 关系？ 提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推
2 2 2
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)长方体的对角线长度都相等.(
)
)
(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点.(
(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改
变.( )
【解析】(1)正确.建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公 式，可以求出长方体对角线的长度，即知它们相等. (2)错误.空间两点间的距离公式适合空间任意两点，包括同一
所以|AN|2=|MN|2+|AM|2.
所以MN⊥AB.
【补偿训练】已知A(2，m，m)，B(1-m，1-m，m)，则|AB|的最 小值为________，此时A点与B点的坐标分别为____________. 【解题指南】将|AB|利用距离公式，转化为二次函数，求二次
函数的最小值.
2 2 2 【解析】|AB|= 1 m 2 1 m mm m
2
1 恰为AB的中点. 此时P点坐标为 ( 1 ，1 ， P )， 2 2 2
【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用
利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次
函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类
题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将
几何问题代数化，分析函数即可.
3.3
空间两点间的距离公式
1.决定空间两点间距离的主要因素是什么？空 问题 间两点间的距离与两点的顺序有关吗？ 引航 2.平面内两点间的距离与空间两点间的距离有 何异同之处？
1.长方体的对角线：如图连接长方体两个 A，C′的线段AC′ 称为长方体的对 顶点_________________ 角线.当长方体的长、宽、高分别为a，b，
D(0，b，0)，C(a，b，0)，P(0，0，c).因为M，N分别是AB，
a a bc (， 0 ， 0 ) ， N (， ， ) . PC的中点，所以 M 2 222 2 2 2 2 2 2 c c 2 a 2 b 2 ab 所以 A M ， M N ， A N ， 4 4 4
答案：3
【要点探究】
知识点
空间两点间距离公式
对空间两点间距离公式的两点说明
(1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的延伸、推
广，而平面内两点间距离公式又是空间两点间距离公式的特例.
(2)公式的推导
A .3 3 B . 2 C . 2
)
D .5
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3， |AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中 点，求M，N两点间的距离.
【解题探究】1.题(1)中如何求AB中点P的坐标？
2.题(2)中，M点的坐标如何确定？
广，其形式和结构特征是相同的，只是多出一组坐标.
【即时练】 1.已知点A（0，1，1），B（-2，0，2），则线段AB的长为 （
A . 3 B . 2 C . 2 D . 6
）
2.已知A（-2，1，m)，B(-2，2，0)，若|AB|=1，则m=_____.
【解析】1.选D.|AB|=
0 2 1 0 1 2 1 16 . 4
点P在对角线AB上运动时”，你能求出|PQ|的最小值吗？
1 P(x，x，z)，则 【解析】依题意Q ( 0 ， 1 ，设 )， 2
1 1 1 2 2 2 2 2 1 |PQ|= x x 1 ( z ) 2 ( x ) ( z ) ， 2 2 2 2
1 时，|PQ| = 2 ， 所以当x=z= min 2
【变式训练】如图所示，PA，AB，AD两两互
相垂直，四边形ABCD为矩形，M，N分别为AB，
PC的中点，求证：MN⊥AB.
【解题指南】要证明MN⊥AB，可证明△AMN为直角三角形，
即证|AN|2=|AM|2+|MN|2.
【证明】如图所示，以A为坐标原点，分别以 AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a，0，0)，
2 2 2 c时，对角线的长d=__________. a b c
2.空间两点间的距离公式：空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，
xx yy z z 1 2 1 2 1 2 y2，z2)间的距离|AB|=____________________________.
1 1 1 1 13 2 2 32 P Q ( 1) ( 0) ( 2 ) . 2 2 2 4 4 42
(2)如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0).
因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2，
【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距 离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的 坐标. (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来， 要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面 直角坐标系的知识确定.
所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2).
3 因为N为CD1的中点，所以N ( ，3 ， 1 ). 2
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，所以M(1，1，2). 由两点间距离公式，得
3 2 2 1 2 2 M N ( 1 ) （ 3 1 ） （ 1 2 ） . 2 2
【延伸探究】题(2)中，其他条件不变，若P为CC1上一点，
答案： 4 1
8
类型二
空间两点间的距离公式的应用
【典例2】 (1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-2，11)，B(4，2，
3)，C(6，-1，4)，则△ABC是________三角形.
(2)如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同 一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立 空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线 AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点，点Q在 棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.
【变式训练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=3，BC=4， CA=5，M是AB的中点，N是B1C的中点，如图所示，求MN的长.
【解析】由于|AC|2=|BC|2+|AB|2，知AB⊥BC. 以B为原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系.
2 2 2 【解析】(1)|OP|= 2 0 1 0 1 0 1 16 . 4
答案： 6
2 0 0 1 0 0 5 . (2)|PQ|=
2 2 2
答案： 5 (3)由A向xOy平面作垂线，垂足为原点O(0，0，0)，所以A到
【解题探究】1.判断三角形的形状可以采用什么方法？
2.题(2)如何表示|PQ|？
【探究提示】1.求出三条边的长度，再利用勾股定理进行判断.
2.求出P，Q的坐标，利用两点间的距离公式表示|PQ|.
【自主解答】(1)因为|AB|=
2 2
1 4 2 2 1 1 3 8 9 ，
则A(3，0，0)，B(0，0，0)，
所以M( 3 ，0 ，0 ) .
2
C(0，4，0)，B1(0，0，2)， 所以N(0，2，1).
32 2 2 2 9 所以由两点间的距离公式得 M N ( ) 2 1 . 2 2
所以MN的长为2 9 .
2
【补偿训练】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BD的 中点，G在棱CD上，且CG= 1 CD，E为C1G的中点，则EF的长为
1 1 2 1 2 1 2 2 1 |PQ|= () ( 1 ) ( z ) ( z ) ， 2 2 2 所以当z= 1 时，|PQ|min= 2 ， 2 2
1 恰为CD的中点. 此时Q ( 0 ， 1，Q )， 2
2 2
【延伸探究】题(2)中，当条件变为“点Q为棱CD的中点，
1 2 2 9 5 m 2 m 2 5 ( m ) ， 5 5 1 所以当m= 时，|AB|取得最小值 3 5 ， 5 5 11 441 此时A，B坐标为 A ( 2 ， ， ) ， B (， ， ) . 55 555 11 441 3 5 答案： A ( 2 ， ， ) ， B (， ， ) 55 555 5
4
________.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点.由题
， 01)(0 ， ，1，1)，C(0，1，0)， 意，得F ( ， C 1 1 2 2
G ( 0 ，3 ，0 则 )，E
4
7 1 ( 0， ， ) . 8 2
1 71 1 2 4 1 2 2 所以|EF|= ( 0 ) ( ) ( 0 ) . 2 82 2 8
|CP|= 1 ，求|MP|和|NP|的值.
2
【解析】由题意得P ( 3 , 3 , 1， )
2
4 1 4 1 2 2 1 2 所以 M P （ 3 1 ） （ 3 1 ） ( 2 ) ， 2 4 2 3 2 1 1 0 1 0 2 2 N P ( 3 ) （ 3 3 ） ( 1 ) . 2 2 4 2
x x y y ， z z1 z2 . 求解 2 2 2
2.作M在A1B1，A1D1上的投影，由线段比例关系可确定M点 的坐标.
【自主解答】(1)选B.设P，Q的坐标分别为P(x1，y1，z1)，
Q(x2，y2，z2).
0 2 1 1 2 1 3 则 x 1 ， y 0 ， z . 1 1 1 2 2 22 3 所以 P ( 1 ，， 0 ). 2 2 1 1 1 2 1 1 3 x ， y ， z 2 ， 2 2 2 2 2 22 2 所以Q ( 1 ，1 ， 2 ). 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2.|AB|= 所以 m=0. 2 2 2 1 m 1 ， m1
答案：0
【题型示范】 类型一 求空间两点间的距离
【典例1】
(1)已知三点A(0，1，2)，B(-2，-1，1)，C(1，2，3)，则AB
的中点P与BC的中点Q之间的距离为(
平面内的两点.
(3)错误.互换两点坐标，结果不变.
答案：(1)√
(2)×
(3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)原点O(0，0，0)与点P(2，1，1)两点间的距离为_______
_____.
(2)x轴上的点P(2，0，0)与y轴上的点Q(0，1，0)之间的距离
为____________. (3)点A(0，0，3)到平面xOy的距离为____________.
2 2 2
2
A C 1 6 1 1 4 5 ， 21 7 B C 4 6 2 1 3 4 4 ， 1
2 2 2
所以|AC|2+|BC|2=|AB|2， 所以△ABC为直角三角形. 答案：直角
1 1 1 ( )， Q(0，1，z)，则 (2)依题意P ， ， 设点 2 2 2
①推导思路：求线段长度常常放在三角形中，根据各坐标分量
的几何意义构造三角形来求解，即通过构造辅助平面，将空间
问题转化到平面中处理；
②证明方法：运用了由特殊到一般的方法，过程中运用到线面 垂直、线线垂直的相互转化.
【知识拓展】求空间两点间的距离的步骤
【微思考】
(1)空间两点间的距离公式有何特征？ 提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的 算术平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么 关系？ 提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推
2 2 2
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)长方体的对角线长度都相等.(
)
)
(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点.(
(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改
变.( )
【解析】(1)正确.建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公 式，可以求出长方体对角线的长度，即知它们相等. (2)错误.空间两点间的距离公式适合空间任意两点，包括同一
所以|AN|2=|MN|2+|AM|2.
所以MN⊥AB.
【补偿训练】已知A(2，m，m)，B(1-m，1-m，m)，则|AB|的最 小值为________，此时A点与B点的坐标分别为____________. 【解题指南】将|AB|利用距离公式，转化为二次函数，求二次
函数的最小值.
2 2 2 【解析】|AB|= 1 m 2 1 m mm m
2
1 恰为AB的中点. 此时P点坐标为 ( 1 ，1 ， P )， 2 2 2
【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用
利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次
函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类
题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将
几何问题代数化，分析函数即可.
3.3
空间两点间的距离公式
1.决定空间两点间距离的主要因素是什么？空 问题 间两点间的距离与两点的顺序有关吗？ 引航 2.平面内两点间的距离与空间两点间的距离有 何异同之处？
1.长方体的对角线：如图连接长方体两个 A，C′的线段AC′ 称为长方体的对 顶点_________________ 角线.当长方体的长、宽、高分别为a，b，
D(0，b，0)，C(a，b，0)，P(0，0，c).因为M，N分别是AB，
a a bc (， 0 ， 0 ) ， N (， ， ) . PC的中点，所以 M 2 222 2 2 2 2 2 2 c c 2 a 2 b 2 ab 所以 A M ， M N ， A N ， 4 4 4