北京西城区高考二模数学理科试题(含解析)(修复的)

北京市西城区
2010 年 高 三 抽 样 测 试
数学试题（理科）
2010．05
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，
有且只有一个是符合题目要求的） 1．设集合}5,4,3{},3,2,1{},5,4,3,2,1{===B A U ，则)(B A C U ⋂等于 （ ）
A ．{1，2，3，4}
B ．{1，2，4，5}
C ．{1，2，5}
D ．{3}
2．“1ln >x ”是“1>x ”的
（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若0<<a b ，则下列不等式中正确的是
（ ）
A ．
b
a 1
1> B ．|||b a > C ．
2>+b
a
a b D ．ab b a >+ 5．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱⊥1AA 底面ABC ，其
正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为 （ ）
A ．3
B ．32
C ．22
D ．4
5．数列}{n a 满足),2,1()2(,3,1121 =-===+n a n a a a n n λ，则3a 等于 （ ）
A ．15
B ．10
C ．9
D ．5
6．在数列}{n a 中，.2,,111≥+==-n n a a a n n 为计算这个数列前10项的和，现给出该问
题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是 （ ）
A ．8≥i
B ．9≥i
C ．10≥i
D ．11≥i
7．设集合}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=S ， 集合},,{321a a a A =是S 的子集，
且321,,a a a 满足6,23321≤-<<a a a a a ，
那么满足条件的集合A 的个数为（ ） A ．78 B ．76
C ．84
D ．83
8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2AD ，设)2
,
0(,π
θθ∈=∠DAB ，以A ，
B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以
C ，
D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则
（ ）
A ．随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 为定值
B ．随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 为定值
C ．随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 也增大 C ．随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 也减小
第Ⅱ卷（非选择题 共11分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取
200名同学的成绩，成绩全部在50分至100 分之间，将成绩按下方式分成5组；第一组， 成绩大于等于50分且小于60分；第二组， 成 绩大于等于60分且小于70分；……第五 组，成绩大于等于90分且小于等于100分。

据此绘制了如图所示的频率分布直方图。

则这200名同学中成绩大于等于80分且小于 90分的学生有 名。

10．在6
2)1(x
x +
的展开式中，常数项是 。

（结果用数值表示） 11．如图，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于
点A ，PB 交圆于点D 。

若8,1,60==︒=∠BD PD ABC ， 则=∠PAC ，PA= 。

12．圆θθ
θ(sin 22cos 21:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x C 为参数）的半径为 ， 若圆C 与直线0=+-m y x 相切，则=m 。

13．设c b a ,,为单位向量，b a ,的夹角为60°，则c c b a ⋅++)(的最大值为 。

14．已知函数x a e x f x
ln )(+=的定义域是D ，关于函数)(x f 给出下列命题： ①对于任意),0(+∞∈a ，函数)(x f 是D 上的减函数； ②对于任意)0,(-∞∈a ，函数)(x f 存在最小值；
③对于任意),0(+∞∈a ，使得对于任意的D x ∈，都有)(x f >0成立；
④对于任意)0,(-∞∈a ，使得函数)(x f 有两个零点。

其中正确命题的序号是 。

（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。

15．（本小题满分13分） 如图，在四边形ABCD 中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°。

（1）求ABD ∠sin 的值； （2）求BCD ∆的面积。

16．（本小题满分13分）
一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、5，现从盒子中随机抽取卡片。

（I）若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；
（II）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。

17．（本小题满分13分）
如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。

（I）求证：C1D//平面ABB1A1；
（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。

18．（本小题满分13分）
已知0≥a ，函数)2
,(.)(12a
x ax x x f --∞∈+=设，记曲线)(x f y =在点
))(,(11x f x M 处切线为l l ,与x 轴的交点是)0,(2x N ，O 为坐标原点。

（I ）证明：;212
12a
x x x +=
（II ）若对于任意的)2,(1a
x --∞∈，都有16
9a
ON OM >⋅成立，求a 的取值范围。

19．（本小题满分14分）
椭圆14
2
2
=+y x 短轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线1:+=kx y l 与x 轴、y 轴分别交于两点E ，F ，交椭圆于两点C ，D 。

（I ）若FD CE =，求直线l 的方程；
（II ）设直线AD ，CB 的斜率分别为21,k k ，若1:2:21=k k ，求k 的值。

20．（本小题满分14分）
在数列}{n a 和}{n b 中，已知 ,3,2,1,)1(,=++==n b n a b a a n n
n ，其中2≥a 且
R b N a ∈∈,*。

（I ）若2211,b a b a <=，求数列}{n b 的前n 项和； （II ）证明：当2,2=
=b a 时，数列}{n b 中的任意三项都不能构成等比数列；
（III ）设集合},,,{},,,,{321321 b b b B a a a A ==，试问在区间[1，a]上是否存在实数
b 使得φ≠=B A C ，若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，说明理由。

参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1—4 BACB 5—10 ACDB
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．40 10．15
11．60°，3
12．13,2-或 13．3+1 14．②④
三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分
标准给分） 15．解：（I ）已知︒=60A ，
由余弦定理得,7cos 22
2
2
=⋅-+=A AD AB AD AB BD 解得,7=
BD
…………3分
由正弦定理，
,sin sin A
BD
ABD AD =∠
所以A BD
AD
ABD sin sin =∠
…………5分
.7
21237
2=⨯
=
…………7分
（II ）在,cos 2,2
2
2
C C
D BC CD BC BD BCD ⋅-+=∆中
所以,8
1
cos ,cos 22447=
⨯⨯-+=C C …………9分
因为),0(π∈C ，所以,8
7
3sin =
C
…………11分
所以，BCD ∆的面积.4
73sin 21=⋅⋅=
C C
D BC S …………13分
16．解：（I ）设A 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡
片上数字为偶数”
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为
,5
2
…………2分 则22
3)52()(C A P =.125
2653=⨯
…………5分 （II ）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4
…………6分 ,5
2
)1(=
=X P
…………7分 ,10
3
4523)2(=⨯⨯==X P
…………9分
,51
345223)3(=⨯⨯⨯⨯=
=X P
…………10分 ,10
1
345123)4(=⨯⨯⨯⨯==X P
…………11分
所以X 的分布列为
X 1
2
3
4
P
5
2 10
3 51 10
1
…………12分 .210
1
45131032521)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=X E …………13分
17．（I ）证明：四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1//CC 1，
又⊄1CC 面ABB 1A 1，所以CC 1//平面ABB 1A 1， …………2分
ABCD 是正方形，所以CD//AB ，
又CD ⊄面ABB 1A 1，所以CD//平面ABB 1A 1， …………3分 所以平面CDD 1C 1//平面ABB 1A 1， 所以C 1D//平面ABB 1A 1 …………4分
（II ）解：ABCD 是正方形，AD ⊥CD
因为A 1D ⊥平面ABCD ， 所以A 1D ⊥AD ，A 1D ⊥CD ，
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz ，
…………5分
在1ADA ∆中，由已知可得,31=
D A
所以)3,1,1(),0,0,1(),3,0,0(),0,0,0(11-C A A D ，
),0,1,1(),3,0,1(),3,1,0(11B D B -
),3,1,2(1--=BD …………6分
因为A 1D ⊥平面ABCD ， 所以A 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1 A 1D ⊥B 1D 1。

又B 1D 1⊥A 1C 1，
所以B 1D 1⊥平面A 1C 1D ，
…………7分 所以平面A 1C 1D 的一个法向量为n=（1，1，0） …………8分
设1BD 与n 所成的角为β， 则,438
23
|
|||cos 11-=-=
⋅=
BD n BD n β
…………9分
所以直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为.4
3
…………10分
（III ）解：平面A 1C 1A 的法向量为),,(c b a m =
则,0,0111=⋅=⋅A A m C A m 所以03,0=-=+-c a b a 令,3=
c 可得)3,3,3(=m
…………12分
设二面角D —A 1C 1—A 的大小为a ， 则.7
4221
26|
|||cos =
=
⋅=
n m n
m α 所以二面角A C A D --11的余弦值为
.7
42 …………13分
18．解：（I ）对)(x f 求导数，得,2)('a x x f +=
故切线l 的斜率为,21a x +
…………2分
由此得切线l 的方程为))(2()(1112
1x x a x ax x y -+=+-
令22
11121110,22x ax x y x x x a x a +==-+=
++得 …………5分
（II ）由2
2111
11(,),(,0)2x M x x ax N x a
++，
得3
11.2x OM ON x a
⋅=+
…………6分
记31111(),(,).22x a
g x x x a =∈-∞-+
对211112
1(43)
(),()(2)x x a g x g x x a +'=+求导数得，
…………8分
令113()0,(,).42
a a g x x '==-
∈-∞-得 当11(,),()
a
x g x '∈-∞-时的变化情况如下表：
所以，函数1()(,)4
g x -∞-
在上单调递减，
在3(,)42
a a
-
-上单调递增， …………10分 从而函数2
1327()().432
a g x g a -=的最小值为 …………11分 依题意
2279,3216a
a > …………12分 解得22
,33
a a >∞即的取值范围是(,+).
…………13分
19．解：（I ）设1122(,),(,),C x y D x y
222222244
,(4)230,
1
412(4)1648,
x y k x kx y kx k k k ⎧+=++-=⎨=+⎩∆=++=+由得
121222
23
,,44k x x x x k k -+=-
=++ …………2分
由已知1
(,0),(0,1).E F k
-
又11221
,(,)(,1)CE ED x y x y k
=----所以
…………4分 所以122111,x x x x k k --=+=-即
…………5分 所以2
214k k k -=-±+,解得k=2， …………6分
符合题意，
所以，所求直线l 的方程为210210x y x y -+=+-=或…………7分 （II ）21121211,,:2:111
y y
k k k k x x =
==+-， 所以
2112(1)2
,(1)1
y x y x -=+
…………8分
平方得22
2122
12(1)4,(1)
y x y x -=+ …………9分
222222
11
11221,4(1),4(1),4
y x y x y x +==-=-又所以同理代入上式，
计算得
21121212(1)(1)
4,35()30,(1)(1)
x x x x x x x x --=+++=++即…………12分
所以2131030,3,3
k k k k -+===
解得或 …………13分
因为
21121212(1)21
,,(1,1),,,,(1)13
y x x x y y k y x -=∈-=+所以异号故舍去
所以k=3
…………14分 20．解：（I ）因为11,1,1,a b a a b b ==++=-所以
…………1分
由2
22,210,a b a a <--<得
所以1212,a -<<+
…………3分 因为*
2,2,a a N a ≥∈=且所以 …………4分 所以31,{}n n b n b =-是等差数列， …………4分
所以数列2131
{}().222
n n n n b b b n n =+=+的前n 项为S …………5分 （II ）由已知52,n b n =+
假设32,32,32m n t +++成等比数列，其中*,,m n t N ∈，且彼此不等， 则2(32)(32)(32),n m t +
=++
…………6分
2229622932322,33(2)2,20,330,
n n mt m t n mt m t n m t n n mt ++=+++-=+-+-=-=所以所以若则
可得,m t m t =≠与矛盾。

…………7分 20,2,(2)2m t n m t n m t n +-≠+-+-若则为非零整数为无理数，
所以2
2
33,33n mt n mt --为无理数与是整数矛盾。

…………9分 所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列。

（III ）设存在实数[1,],b a C A
B φ∈=≠使，
000**00*,,,
(),(1)(),
(1),,
1
,,,2,
m C m A m B m a t N m a s b s N a b
a a s
b s a a t s N a ∈∈∈'=∈=++∈'-'=++=+∈≥设则且设则所以因为且
所以a b '-能被a+1整除。

…………10分
（1）当1,[1,],[0,1],t b a a b a =∈-∈-时因为
所以*;1
a b
s N a -=
∉+ …………11分
（2）当*
2()t n n N =∈时，
22212[(1)1](1)(1)1,
[1,],1[0,1],011,
n n n n a b a b a C a b b a b a b a -=+--=++
-++-∈-∈-≤-<+由于所以
所以，当且仅当1,1b a b a '=-+时能被整除。

…………12分
（3）当*
21()t n n N =+∈时 ，
2121211
21[(1)1](1)(1)1,
[1,],1[2,1],,11,,n n n n a b a b a C a b b a b a b a b a ++++-=+--=++++--∈+∈++=+=由于所以所以当且仅当即时
1a b a '-+能被整除。

…………13分
综上，在区间[1，a]上存在实数b ，使C A
B φ=≠成立，且当b=1时，
2*21*{|,};,{|,}.n n C y y a n N b a C y y a n N +==∈===∈当时
…………14分。