人教备战中考数学二模试题分类汇编——一元二次方程综合含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解下列方程：
（1）x 2﹣3x=1．
（2）
1
2
（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313
,22
x x +-==
;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．
∴12313313,22
x x +-=
=．
（2）（y+2）2=12， ∴
或
，
∴12223,223
y y =-+=--
2．已知关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根．
()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）13
4
k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】
()1根据方程有实数根得出()()
22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．
()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方
程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()
1关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根，
0∴≥，即()()22
[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，
解得134
k ≤
． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
22
2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22
1223x x +=，
224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
13
4
k ≤
， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，
方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
3．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．
4．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且22
1212615x x x x +=-，求k 的值.
【答案】（1）3
2
k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：
根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.
根据韦达定理可得：2
121211
14
x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：
因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫
⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦
⎝⎭
， 解得3
2
k ≥
. 根据韦达定理，
()2
21212111141 1.
114
k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为22
1212615x x x x +=-，所以()2
12128150x x x x +-+=，将上式代入可得
()
2
211811504k k ⎛⎫
+-++= ⎪⎝⎭
，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为3
2
k ≥
，所以4k =.
5．关于x 的方程()2
204
k
kx k x +++
=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；
()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存
在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】
()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式
0>，由此可以得到关于k 的不等
式，解不等式即可求出k 的取值范围.
()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在
()1中的取值范围内.
【详解】
解：()1依题意得2
(2)404
k
k k =+-⋅
>， 1k ∴>-， 又0k ≠，
k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；
()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根，
理由是：设方程()2
204
k
kx k x +++
=的两根分别为1x ，2x ，
由根与系数的关系有：1212214k x x
k
x x +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
21
2
k k +∴-
=， 43
k ∴=-，
由()1知，1k >-，且0k ≠，
4
3
k ∴=-不符合题意，
因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

6．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=23
2
⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=34
2
⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12
+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
______． 探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12
+×3×1=
()3a a 12
+．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱
AC 上有
()b b 12
+
条线段，棱AD 上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12
+×
()b b 12
+×3=
()()
3ab a 1b 14
++．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有
()a a 12
+条线段，棱AC
上有
()
b b 12
+条线段，棱AD 上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】探究一：（3）
()
a a1
2
+
；探究二：（5）3a（a+1）；（6）
()()
ab a1b1
4
++
；
探究三：（8）
()()
3ab a1b1
2
++
；【结论】：①
()()()
abc a1b1c1
8
+++
；【应用】：
180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有
()
a a1
2
+
线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×1×1=
()
a a1
2
+
，
故答案为
() a a1
2
+
；
探究二：（5）棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线
段，
则图中长方体的个数为()a a 12
+ ×6×1=3a （a+1），
故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有
()a a 12
+ 条线段，棱AC 上有
()b b 12
+条线段，棱AD 上只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+ ×
()b b 12
+×1=
()()
ab a 1b 14
++，
故答案为
()()
ab a 1b 14
++；
探究三：（8）棱AB 上有()a a 12
+ 条线段，棱AC 上有
()b b 12
+条线段，棱AD 上有6条
线段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+ ×
()b b 12
+×6=
()()
3ab a 1b 12
++，
故答案为
()()
3ab a 1b 12++；
(结论)棱AB 上有()a a 12
+ 条线段，棱AC 上有
()b b 12
+条线段，棱AD 上有
()c c 12
+条线
段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+×
()b b 12
+×
()c c 12
+=
()()()abc a 1b 1c 18
+++，
故答案为
()()()
abc a 1b 1c 18
+++；
(应用)由(结论)知，
()()()
abc a 1b 1c 18
+++，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
()()()2342131418
⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，
故答案为为180；
拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，
由题意得
33
(1)8
x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，
∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64
所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．
【点睛】
解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
7．已知关于x 的一元二次方程()2
2
11204
x m x m +++
-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184
x x x x m ++=-，求m 的值．
【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】
（1）解：()2
2114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-
⎪⎝⎭
22218m m m =++-+
29m =+
方程有两个实数根
0∴∆≥，即290m +≥
9
2
m ∴≥-
∴ m 的最小整数值为4-
（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，2
12124
x x m =- 由2
2
212121184x x x x m ++=-
得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭
13m ∴=，25m =-
9
2
m ≥-
3m ∴=
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
8．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．
【答案】(1)k ＞﹣1
2
；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】
(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×
14
k 2
＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】
(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14
k 2
＞0， ∴k ＞﹣
12
； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，
∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根． （1）求a 的取值范围；
（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a ≤17
4
；（2）x =1或x =2 【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；
（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得. 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤
174
； （2）由（1）可知a ≤
174
， ∴a 的最大整数值为4， 此时方程为x 2﹣3x +2=0， 解得x =1或x =2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（
1
2
-，0）或（
1
2
，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-
4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴11
a b
-=，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1
2
，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
或（
1
2
，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。