2022高考数学(理)一轮通用版讲义：13.1算法与程序框图、复数

第一节算法与程序框图、复数
[考纲要求]
1．了解算法的含义，了解算法的思想．
2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．
3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
4．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
5．了解复数的代数表示法及其几何意义．
6．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．7．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．
突破点一算法与程序框图
1．算法
1算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
2应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
名
称
定义程序框图顺
序结构
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
条
件结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
循
环结构
从某处开始，按照一定的条件反
复执行某些步骤的情况，反复执行的
步骤称为循环体
一、判断题对的打“√”，错的打“×”
1算法只能解决一个问题，不能重复使用．
2算法可以无限操作下去．
3一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件分支
结构和循环结构．
4条件分支结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．
5▱是赋值框，有计算功能．
6循环结构有两个出口：一个维持循环操作，重复执行循环体；另一个是结束循环操作，离开循环体．
答案：1×2×3√4√5×6×
二、填空题
1．2022·北京高考执行如图所示的程序框图，输出的s值为________．
答案：
2．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝________
答案：
3．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是___________________________
答案：求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项的和
考法一程序框图的输入、输出问题
[例1] 12022·河南郑州一中月考执行如图所示的程序框图，输出的S的值为
A．－ B．0
22022·合肥质检执行如图所示的程序框图，如果输出的的值为3，则输入的a的值可以是
A．20 B．21
C．22 D．23
[解析] 1依题意，数列的项以6为周期重复出现，且前6项和等于0，因为2022＝6×336＋3，所以数列的前2022项和等于336×0＋sin＋sin＋sinπ＝，执行题中的程序框图，输出S 的值等于数列的前2022项和，S＝，故选D
2根据程序框图可知，若输出的＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a＜21，故选A [答案] 1D 2A
[方法技巧]
1．程序框图输入、输出问题的解题思路
1要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构．
2要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
3按照题目的要求完成解答并验证．
2．确定控制循环变量的思路
结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
考法二程序框图的补全问题
[例2] 12022·全国卷Ⅱ为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
22022·德阳联考执行如图所示的程序框图，若输入m＝1，n＝3，输出的＝，则空白判断框内应填的条件为
A．|m－n|＜1 B．|m－n|＜
C．|m－n|＜D．|m－n|＜
[解析] 1由题意可将S变形为S＝－，则由S＝N－T，得N ＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋据此，结合N＝N＋，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋
2输入m＝1，n＝3
第一次执行，＝2,22－3＞0，n＝2，返回；
第二次执行，＝，2－3＜0，m＝，返回；
第三次执行，＝＝，2－3＞0，n＝
输出＝，故第三次执行后应满足判断框，此时m－n＝－＝－，故选B
[答案] 1B 2B
[方法技巧]
程序框图补全问题的求解方法
1先假设参数的判断条件满足或不满足；
2运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
3根据此时各个变量的值，补全程序框图．
1．执行如图所示的程序框图，则输出的
n等于
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 依据流程图可知，程序运行如下：
首先n＝0，＝，
第一次循环：
a＝sin＝sin≠，n＝1，＝π；
第二次循环：a＝sin＝sinπ≠，n＝2，＝π－＝；
第三次循环：a＝sin＝sin≠，
n＝3，＝－＝＝；
第四次循环：a＝sin＝sin＝，
此时跳出循环，输出n＝3
故选C
执行如图所示的程序框图，若输出S的值为－20，则条件框内可填写
A．i＞3 B．i＜4
C．i＞4 D．i＜5
解析：选D 初始值：i＝1，S＝10；
第一次循环：S＝10－21＝8，i＝2；
第二次循环：S＝8－22＝4，i＝3；
第三次循环：S＝4－23＝－4，i＝4；
第四次循环：S＝－4－24＝－20，i＝5
因为输出S的值为－20，所以条件框内可填“i＜5”．
3．我国古代数学著作《骨髀算经》有如下问
题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人
三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，
米几何”如图是解决该问题的程序框图，执行该
程序框图，若输出的S＝单位：升，则输入的值为
A．B．6
C．D．9
解析：选B 由程序框图知S＝－－－＝，解得＝6，故选B 执行如图所示的程序框图，若输出的值为21，则判断框内可填
A．n≥5B．n＞6
C．n＞5 D．n＜6
解析：选B 初始值：n＝0，S＝0；
第一次循环：n＝1，S＝1；
第二次循环：n＝2，S＝1＋2＝3；
第三次循环：n＝3，S＝3＋3＝6；
第四次循环：n＝4，S＝6＋4＝10；
第五次循环：n＝5，S＝10＋5＝15；
第六次循环：n＝6，S＝15＋6＝21；
第七次循环：n＝7
因为输出的值为21，所以结合选项可知判断框内可填“n＞6”，故选B
突破点二复数
1．复数的定义及分类
1复数的定义：
形如a＋b i a，b∈R的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b 2复数的分类：
2．复数的有关概念
复
数相等
a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝da，b，c，d∈R
共轭复数
a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－da，b，c，d ∈R
复
数的模
向量
是纯虚数，那么实数m 等于
A．－1 B．0
C．0或1 D．0或－1
[解析] 1i2＋3i＝2i＋3i2＝－3＋
2＝＝＝－
因为该复数的实部和虚部互为相反数，
因此2－2b＝4＋b，因此b＝－故选A
3法一：＝＝，因为此复数为纯虚数，
所以解得m＝－1或0，故选D
法二：设＝b i b∈R且b≠0，则b i1＋m i＝m2＋i，即－mb＋b i＝m2＋i，
所以解得m＝－1或0，故选D
[答案] 1D 2A 3D
[方法技巧]
复数的相关概念及运算的技巧
1解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．
2复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．
3复数代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
考法二复数的几何意义
[例2] 12022·北京高考在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
22022·南昌一模已知＝m2－1＋m i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是
A．－1,1 B．－1,0
C．－∞，1 D．0,1
[解析] 1＝＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．故选D
2因为＝m2－1＋m i在复平面内对应的点是m2－1，m，且该点在第二象限，所以解得0＜m＜1，所以实数m的取值范围是0,1．故选D
[答案] 1D 2D
[方法技巧]
复数几何意义问题的解题策略
1复数、复平面上的点Z及向量OD b”表示a除
以b的余数，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝A．0 B．25
C．50 D．75
解析：选B 初始值a＝675，b＝＝50，a＝125，b＝50；第二次循环c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环c＝0，a＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环，输出a的值为25，故选B
5．2022·贺州联考执行如图所示的程序框图，若输入的t ＝4，则输出的i＝
A．7 B．10
C．13 D．16
解析：选D 输入t＝4，i＝1，S＝0，S＜4，i＝1不是质数，S＝0－1＝－1，i＝4，S
＜4；i＝4不是质数，S＝－1－4＝－5，i＝7，S＜4；i＝7是质数，S＝－5＋7＝2，i
＝10，S＜4；i＝10不是质数，S＝2－10＝－8，i＝13，S ＜4；i＝13是质数，S＝－8
＋13＝5，i＝16，S＞4，退出循环，故输出的i＝
6．2022·全国卷Ⅰ设＝＋2i，则||＝
A．0
C．1
解析：选C ∵＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴||＝
7．2022·福州模拟若复数＝＋1为纯虚数，则实数a＝
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 因为复数＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－
8．2022·成都质检已知复数1＝2＋6i，2＝－1，2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为，则||＝
B．5
C．2 D．2
解析：选A 因为复数1＝2＋6i，2＝－2i，1，2在复平面内对应的点分别为A2,6，B0，－2，线段AB的中点C1，2对应的复数＝1＋2i，则||＝＝故选A
9．2022·广西五校联考下面是关于复数＝2－i的四个命题，p1：||＝5；p2：2＝3－4i；p3：的共轭复数为－2＋i；p4：的虚部为－1其中真命题为
A．p2，p3B．p1，p2
C．p2，p4D．p3，p4
解析：选C 因为＝2－i，所以||＝≠5，则命题p1是假命题；2＝2－i2＝3－4i，所以p2是真命题；易知的共轭复数为2＋i，所以p3是假命题；的实部为2，虚部为－1，所以p4是真命题．故选C
10．2022·甘肃模拟某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量单位：台，把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S＝
A．28 B．29
C．196 D．203
解析：选B 由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的S＝＝29，故选B 11．2022·石家庄高三一模执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是
A．i≤4B．i≥4
C．i≤5D．i≥5
解析：选C 执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25结合选项知，选C
12．2022·泉州模拟我国古代算书《孙子算经》
上有个有趣的问题“出门望九堤”：“今有出门望
见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九
禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何”
现在我们用如图所示的程序框图来解决这个问题，如果要使输出的结果为禽的数目，则在该框图中的判断框中应该填入的条件是A．S＞10000 B．S＜10000
C．n≥5D．n≤6
解析：选B 根据题意，利用程序框图求禽的数目，输出结果应为S＝9×9×9×9×9＝59049循环共执行了5次，所以判断框中应填入的条件是“S＜10000”或“n≤5”或“n＜6”．故选B
13．2022·天津高考阅读如图所示的程序框
图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输
出T的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 输入N的值为20，
第一次执行条件语句，N＝20，
i＝2，＝10是整数，
∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，∴i＝4＜5；
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，
∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2
14．2022·东北四校联考复数＝i为虚数单位在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵＝＝＝＋i，∴复数在复平面内对应的点为，位于第一象限．
答案：一
15．2022·南宁摸底执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是________．
解析：运行框图，输入S＝2，＝2022，满足条件＜2022，S＝＝－1，＝2022＋1＝2022；满足条件＜2022，S ＝＝，＝2022＋1＝2022；满足条件＜2022，S＝＝2，＝2022＋1＝2022，＜2022不成立，输出S＝2
答案：2
16．2022·广东七校联考公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为________．
参考数据：sin15°≈，°≈
解析：执行框图n＝6，S＝≈＜；n＝12，S ＝3＜；n＝24，S≈≥，满足条件，退出循环，故输出的n的值为24
答案：24
17．2022·齐齐哈尔八中期末已知复数＝i4－3i2022，则复数的共轭复数为________．
解析：因为i2022＝i4504·i3＝－i，所以＝i4＋3i＝4i＋3i2＝－3＋4i，
所以＝－3－4i
答案：－3－4i
18．2022·贵阳一模欧拉公式e i＝cos＋isini为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数域，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉
公式可知，e－2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第
________象限．
解析：依题意得，e－2i＝cos－2＋isin－2＝cos2－isin2的共轭复数的实部、虚部分别为cos2，sin2，又＜2＜π，所以cos2＜0，sin2＞0，因此e－2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
答案：二。