汽车 二自由度系统的振动

对于两自由度系统来说，有两个固有频率。
按固有频率的大小排序，把数值较小的一个 称为第一阶固有频率，用ω 1来表示；
把数值较大的一个称为第二阶固有频率，用 ω 2来表示。
结论
1
k1l 2 m(l22

2 c
)
;
2

k2l 2
m(l12 c2 )
两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固 有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而 与振动的初始条件无关。
mx (k1 k2 )x (k2l2 k1l1) 0

J
c

(k1l12

k2l22 )

(k2l2

k1l1 ) x

0
上式可改写为
m

0
0 Jc
x



k1 k2 (k2l2 k1l1
)
(k(1kl122l2k2kl122l1))x
cos( p1t
1
1 )

2 B2e2t
cos( p2t
2
2 )
可知，弱阻尼二自由度系统的一般振动，是由两 个频率为p1和p2的衰减自由振动叠加而成的，这 是与无阻尼自由振动的相似之处； 而不同之处是，在同一频率的衰减自由振动中， 各坐标（即各质量的运动）之间的相位不同。
l1l
（
2
J
c

m
2 c
， c
为惯性半径），那么两个悬挂点处的位移（x1，
x2）便是主坐标。
► 此时， x1与x2相互不影响，即x1（前轮）的振动 不影响x2（后轮）的振动，不给后轮传力；而后轮
的振动不影响前轮的振动，不给前轮传力，即相互 不传力。这对于汽车减振设计非常有利。这 种特性常常作为车辆设计的一个动态衡量指 标，希望一个车轮在行驶过程中受到地面的 激励而发生跳动时不传给另一个车轮。
)
m me
Jc
me x

me2



k1
k2 0
0 x 0
k1l12

k
2
l
2
2



0
惯性项耦合，弹性项不耦合
方法3 采用前后悬挂点的垂向位移（x1，x2）为坐标
x2
静平 衡位置线
x1
Jc

x1 x2

x x
c 1
Jc m
,1

l1l2

2 c
l22


2 c
,2

l1l2

2 c
l12


2 c
k1l 2
m(l22


2 c
)
;2

k2l 2
m(l12


2 c
)
车体质量 分配系数
2 c 1
l1l2
汽车设计中，2希望行车时一
x x 0 个悬1挂的振动1不传1到另一个
基于ADAMS软件的动态仿真验证 车辆静平衡状态
前悬激励
后悬激励
车体质量分布系数不等 于1的情况
2 c 1
l1l2
重心改变后的车辆静平衡状态 只对前悬激励
小结：
2

c l1l2
1
c
Jc m
► 设计车辆时，如果调整车体的质量分布，使得前后
轮承担的重量满足时

2 c

( J c

me2 )
mex

k1l1
(
xl1
)

k2l2
(
xl2
)
m (x e ) k2 ( xl2 ) k1 ( x l1 )
( J c

me2 )
mex

k1l1
(
xl1
)

k2l2
(
xl2
►这样的一组坐标我们称为主坐标。
►主坐标：能够恰好使微分方程中的耦合项完 全为零，即无惯性耦合，又无弹性耦合 ，两 个方程变成为相当于无关的单自由度振动方 程。
3.2.2 方程解耦、固有频率及主振型
① 根据方法2得到的微分方程
m me
Jc
me x
me2

k1

k1(l1 l2) k1l1(l1 l2)

k2 (l1 k2l2 (l1
l2
) l2
)xx12


0 0
既有惯性耦合，又有弹性耦合
►结论：选取的广义坐标不同，则耦合形式不 同。
►能否选取一组广义坐标，使其既无惯性耦合 又无弹性耦合呢？
►回答是肯定的。
l2 )x2

0
m
l2 2
c2
l2
x1

m
l1l2 l2
c2
x2

k1x1

0
m
l12
c2
l2
x1

m
l1l2 l2
c2
x1

k2 x2

0
x1
1x2

2 1
x1

0
x2 2x1 22x2 0
A23 A13
m1132 c113 k11 m1232 c123 k12
m2132 c213 k21 m2232 c223 k22
3
A24 A14
m1124 c114 k11 m1224 c124 k12
三、 二自由度有阻尼的自由振动
二自由度有阻尼振动系统，如图所示。
振动运动微分方程
二自由度有阻尼振系
m1

0
0 m2
xx12


c1 c2

c2
c2 c2 c3

x1 x2


k1

k
k
2
2
k k2
k1 k2

k2
k2
k2

k3

设式解的形式为x1
x2

A1et A2et
代入微分方程得
((mm121122

c11 c21
k11) A1 (m122 c12 k12 )A2 0 k21) A1 (m222 c22 k22 ) A2 0
l1 l2
mx k1( x l1 ) k2 ( x l2 )

J
c

k1l1 ( x

l1
)

k2l2
(x

l1
)
mJ clx21x1Jmc xl21x2
k1(l1 l2 )x1 k2 (l1 l2 )x2 k1l1(l1 l2 )x1 k2l2 (l1 l2 )x2
这时（x,θ）

J
c

(
k1l
2
1

k
2l
2
2
)
0
即为主坐标
② 根据方法3得到的微分方程组
ml2x1 ml1x2 k1(l1 l2 )x1 k2 (l1 l2 )x2 0

J
c
x1

Jc x2
k1l1(l1
l2 )x1
k2l2 (l1
m Jc
方法1：以质心点c（x,θ）为广义坐标
静平 衡位置线
m Jc
mx k1(x l1 ) k2 (x l2 )
J
c

k1l1
(
x

l1
)

k2l2
(
x

l2
)
mx k1(x l1 ) k2 (x l2 )

J
c

k1l1
(
x

l1
)

k2l2
(
x

l1
)
mx (k1 k2 )x (k2l2 k1l1) 0

J
c

(k1l12

k2l22
)

(k2l2

k1l1 ) x

0
由于这两项的存在，使得两个方程耦联 起来，我们称此为耦合项。
因此，两自由度系统与单自由度系统的 主要区别是出现了耦合项。
0 0
mJ clx21x1Jmc xl21x2
k1(l1 l2 )x1 k2 (l1 l2 )x2 k1l1(l1 l2 )x1 k2l2 (l1 l2 )x2
0 0
ml2

Jc
ml1 Jc

xx12

特征行列式 为
特征方程的形式为
(m112 c11 k11) (m212 c21 k21)
(m122 (m222
c12 c22
k12 ) k22 )

0
A4 B3 C2 D E 0
设特征方程式的4个复数特征根为 1 1 ip1 2 1 ip1 3 2 ip2
2
k3

x1 x2


0 0
M

m11

m21
m12 m22


m1

0
0
m2

C

c11 c21
c12 c22


c1 c2

c2
c2
c2

c3

K

k11

k21
k12 k22


m2112 c211 k21 m2212 c221 k22
1
A22 A12
m1122 c112 k11 m1222 c122 k12
m2122 c212 k21 m2222 c222 k22
2
3.2 二自由度强迫振动
一、 谐波激振力下的强迫振动
二自由度无阻尼谐波激振系统 1. 强迫振动的微分方程
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 F1 sin t m2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2 F2 sin t
第三章 二自由度系统的振动
3.2 汽车二自由度无阻尼振动问题
教学内容：1、汽车二自由度无阻尼振动微分方程 的建立
2、汽车二自由度无阻尼振动问题： 解耦、主坐标、固有频率及主振型
教学重点和难点： 二自由度微分方程的解耦、主 坐标及主振型图
3.2.1 汽车二自由度无阻尼振动微分 方程的建立
汽车的简化
可简化成为弹性支承上 的刚体在平面内的振动 问题。
4 2 ip2
由加原理，微分方程组的通解可表示为
x1 A11e1t A12e2t A13e3t A14e4t
x2

A21e1t

A22e2t

A23e3t A24e4t
其中，
A21 A11
m1112 c111 k11 m1212 c121 k12
0
k2
0 x 0
k1l12

k
2
l
2
2



0
若e = 0（即刚度中心和质量中心重合）
m

0
0 Jc

x


k1
k2 0
展开后，得
0 x 0
k1l12

k
2
l
2
2



0
mx (k1 k2 ) x 0
m2124 c214 k21 m2224 c224 k22
4
将复数根代入上述各式，则有
因此，振动微分方程通解的最终形式为
x1 B1e1t cos( p1t 1) B2e2t cos( p2t 2 )
x2

1B1e1t


0 0
质量矩阵
刚度矩阵
惯性项不耦合，弹性项耦合
若另选取c1位置，使k1l1=k2l2 ，假设该点离质心位置为 e
刚度中心
方法2:
以c1点的垂向位移 x和绕质心轴的转 角θ为广义坐标。
Jc1 Jc me 2 这时，质心点c的垂向位移是：
xc x e
m (x e ) k2 ( xl2 ) k1 ( x l1 )
c 1
Jc m
,1

l1l2

2 c
l22


2 c
,2

l1l2

2 c
l12


2 c
k1l 2
m(l22


2 c
)
;2

k2l 2
m(l12


2 c
)
x1
1 x2


2
1
x1

0
x2 2 x1 22 x2 0
（x1，x2）便是 主坐标
主振型
当系统按某阶固有频率振动时所呈现的振动 形态称为主振型，与ω 1所对应的主振型称为第 一阶主振型；与ω 2所对应的主振型称为第二阶 主振型。
对应于这两个频率的主振型图如下图所示。
当前悬挂按 ω 1作上下振 动时，后悬挂 不动。
当后悬挂以 ω 2作上下振 动时，前悬挂 不动。
基于ADAMS软件的动态仿真验证
x 悬和挂前上、，后应轮使的车位2 体置质之量间分满布足
x 0 的关系2 。 2 2
固有频率的求解：
（二自由度微分方程的固有频 率）x1 Nhomakorabea2
1
x1

0
x2


2 2
x2

0
1
k1l 2 m(l22

2 c
)
;
2

k2l 2
m(l12 c2 )