证明射影变换把直线映成直线

证明射影变换把直线映成直线
射影变换是指将一个射影平面映射到另一个射影平面的变换。

在射影平面上，直线可以表示为一个点集，因此射影变换将直线映射为另一个点集。

要证明射影变换把直线映成直线，可以采用以下步骤：
1. 假设直线L是射影平面P上的一个点集，且L不包含射影平面的无穷远点。

2. 设T为射影变换，将射影平面P映射到另一个射影平面P'。

3. 设L'为直线L在P'上的像点集，即L' = T(L)。

4. 要证明L'是一条直线，需要证明L'满足射影几何中直线的定义：任意两点都在L'上，且L'不包含无穷远点。

5. 由于L在P中不包含无穷远点，因此L'在P'中也不包含无穷远点。

6. 设P1和P2是L上的两个点，则它们在P中不为同一点。

7. 由于T是射影变换，因此它是一一对应的，即对于任意两个不同的点P1和P2，它们在P'中的像点T(P1)和T(P2)也不同。

8. 因此，T(P1)和T(P2)都在L'上，即L'包含P1和P2。

9. 综上，L'是一条直线，证毕。

因此，射影变换将直线映射为直线。

这个结论在射影几何中是非常重要的，因为它保证了射影变换可以保持直线和交点不变，从而可以在射影几何的研究中得到广泛应用。

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