二次根式整章教案学案表格式

如果
有意义，
．、实数
、实数
1、二次根式的【念】：
定义1：形如0(≥a a 的代数式叫做二次根式.
强调：二次根式被开方数不小于0。

2、二次根式的【性质】
二次根式整章学案
二次根式(1)
一、预习案
（一）复习回顾：（1）已知a x =2
，那么a 是x 的______;x 是a 的_______, 记为______,a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

（二）自主学习 (1)16的平方根是 ；
4
(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2
5t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

思考：16，
5
h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.
定义: 一般地我们把形如
a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3，16-，34
)0(3
≥a a ，12+x
2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

3、根据算术平方根意义计算 ：
(1) 2
)4( (2) （3）2)5.0( （4）2
)3
1(
根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,
4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2
)(a ,利用此公式可以把任意一个
非负数写成一个数的平方的形式。

如(5)2
=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如
练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
6 0.35 (2)在实数范围内因式分解
72-x 4a 2-11
（三）探究案
例：当x 是怎样的实数时，
2-x 在实数范围内有意义？
解：
练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？
________)(2=a 2)3(
①43-x
③
2、（1
有意义，则a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。

A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
3、(1)在式子
x
x +-121中，x 的取值范围是____________.
(2)已知42
-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.
(3)已知233--+-=
x x y ,则x y = _____________。

（四）训练案(一)填空题：1、=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2
53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。

3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。

4、在实数范围内因式分解：
（1）-=-229x x ( )2
=（x + ）(y - )（2）-=-2
23x x ( )2
=（x + ）(y - )
（二）选择题：1、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ）
A 、3+a
B 、3-a
C 、3+a
D 、32
+a
2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ） A 、 a ＜l B 、a ≤1 C 、a ≥1 D 、a ＞1 2、已知03=+x 则x 的值为
A 、 x >-3
B 、x <-3
C 、x =-3
D 、 x 的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。

A 、3= 2)3(
B 、 0.5=2)5.0(
C 、6.06.02
= D 、35)75(2
=
二次根式(2) 一预习案
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
x
--21
（2）二次根式
5
2
-x 有意义，则x 。

（3）在实数范围内因式分解：-=-2
2
6x x ( )2
=（x + ）(y - )
1、计算：
=24= =220
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,
0a a 时
2、计算：
-2)4(=
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3、计算：
=20 当==2,0a a 时
（二）探究案
1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
2、化简下列各式：
（1）、=23.0 （2）、=-2
)5.0( （3）、=-2
)6( （4）、
()2
2a =
（0<a ）
3、请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2
有什么区别与联系。

（三）训练案
1、化简下列各式
（1）)0(42≥x x (2) 4
x
2、化简下列各式 （1）)3()
3(2
≥-a a （2）
()232+x （x ＜-2）
注：利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，
进行化简的关键是准确确定 。

A 组
1、填空：（1）、2)12(-x -2
)32(-x )2(≥x =_________.
（2）、2
)4(-π=
（3）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2
)(________.
2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2
-+-x x
B 组
3 已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x
x
4 边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为
3
a
的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把()
2
1
2--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x
6、
x -4│-│7-x │。

二次根式的乘法
一、预习案
1．填空：（1=____；
（2=____；
（3．
二、探究案
1、 学生交流活动总结规律．
2、一般地，对二次根式的乘法规定为
例1、计算
（1 （2 （3）×（4 例2、化简
（1 （2 （3 （4 （5
（1）计算： ① ②55×215 ③312a ·
23
1ay
（2）化简:
;
三 学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1= （2）=4×
注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作
为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

四 训练案
1、选择题 （1）等式1112-=
-∙+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．
A ．4
5×25=85 B ．53×42=205 C ．43×32=75
D ．53×42=206
（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 2、化简：
（1）360； （2）4
32x ；
3、计算：
（1）3018⨯； （2）75
23⨯；
4、选择题
（1）若04
1
44222
=+
-+
+++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8
B ．222244
2)(244a a a a =⨯=⨯=
C ．5251694322==+=+
D ．12512131213)1213)(1213(12132
2
⨯=-⨯+=-+=
-
5、计算：（1）68×（-26）； （2；
6、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1) -3
32 (2) a
a 212-
二次根式的除法
一预习案
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯
3、填空： （1
； 规律：
（2
=____；
（3
；
（4=____．
一般地，对二次根式的除法规定：
二、巩固练习
1、计算：（1 （2 （3 （4
2、化简：
（1 （2 （3 （4
注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为
商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）分母中不含有二次根式。

三探究案
阅读下列运算过程：
3
==
5
==
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：
(1)
=_________(３
=_____ ___ (４
=___ ___ 四训练案
A组
1、选择题
（1
）．
A．
2
7
．
2
7
C
D
．
7
（2
的结果是（）
A．
-
3
B．
．
-
3
．
2、计算：
（1）
48
2
（2）
x
x
8
23
（3）
16
1
4
1
÷（4
B组
用两种方法计算：
（1
（2）
3
4
6
最简二次根式
一预习案
1、化简（1）496x = （2
=
（3
= (4= （5= 2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达
到的要求是什么？ 二 自主学习
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1． 2． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、化简:
(1) 20
8
三探究案
1、计算： 5
2
1312321
⨯÷
2、比较下列数的大小 （1）8.2与4
3
2
（2）7667--与
注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母
有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1） ；（2） 四 拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
12121
2)12)(12()12(1121-=--=
-+-⨯=
+， 232
32
3)
23)(23()23(12
31
-=--=
-+-⨯=
+，
同理可得：
3
21- =32-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+++
+2
311
21……+
2008
20091+）（1209+）的值．
五 训练案
1、选择题 （1y >0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
A （y >0）
B y >0）
C （y >0）
D ．以上都不对
（2）化简二次根式2
2
a a a +-
的结果是 A 、2--a B 、-2--a C 、2-a D 、-2-a
2、填空：（1．（x ≥0） （2）已知2
51-=
x ，则x
x 1
-
的值等于__________. 3、计算：（1）2
1
47431⨯
÷ (2) 2
15
4
1
)7418
1(2133÷-⨯
1、计算： a
b b a ab b 3)23(235÷-∙（a >0,b >0）
2、若x 、y 为实数，且，求y x y x -∙+的值。

二次根式的加减学案(1)
一预习案
（一）、计算．（1）x x 32+；（2）2
2
2
532x x x +-；（3）y x x 32++；（4）22
2
23a a a +-
二、探究案 学生活动：计算下列各式．
（1）（2） =
（3 = （4）=
由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如同的，但它们可以合并吗？_____．（与整数中同类项的意义相类似我们把33与32-，
a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为_____）
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成__________，•再将__________进行__________．
计算 （1（2
（3）（ 4））+
归纳： 第一步，_____ ____________________ _______________
第二步，_____ ____________________ _______________
三、巩固练习
(1) )27
131(
12-- (2) )512()2048(-++
(3) y
y
x y x x
1241+-+ （4）)461(9322
x x x x x x --
四、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（
23+y 2）-（x 五、训练案 （一）、选择题
1中，与是同类二次根式的是（ ）．
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和④
D ．③和④
2．下列各式：①②
1
7
=1；；，其中错误的有（ ）．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个 3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )
(A)3和18
(B)3和
3
1 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a
4．下列各式的计算中，成立的是( ) (A)5252=+ (B)15354=- (C)y
x y x +=+2
2
(D)52045=-
5．若1
21,1
21+=
-=
b a 则)(
a
b b a ab -的值为( ) (A)2 (B)－2
(C)2
(D)22
二、填空题
1、、-2是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式的最后结果是________．
3．若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次根式，则x ＝______． 4．若最简二次根式b a +3与
b
a b 2+是同类二次根式，则a ＝______，b ＝______．
5．计算：（1）
a a
a a a a a 1084
333273123-+- （2）5.0753
128132-+--
三、综合提高题 先化简，再求值．)364()36(3xy y
x x xy y x y x +-+，其中x =32，y =27．
二次根式的混合运算
一、预习案1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
（2）二次根式的乘除法法则是： （3）二次根式的加减法法则是：
（4）写出已经学过的乘法公式：① ② 2、计算：（1）6·a 3·
b 3
1
（2）
16
141÷ （3）
505
11221832++
-
二探究案 1、探究计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-
2、探究计算：（1）)52)(32(++ （2）2
)232(-
三展示反馈 计算： （1）12)3
2
3242731(⋅-- （2）)32)(532(+-
（3）2
)3223(+ （4））（）
注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是 、 ，
也可以代表 ，所以整式的运算法则和乘法公式适用于 的运算。

四 拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式222
()2a b a ab b ±=±+，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的 都可以看作是一个数的平方，
如3=（3）2，5=（5）2
，下面我们观察：
2221)211213=-⨯=-=-
反之，2
3211)
-=-=
∴ 2
31)-=
∴ 223-=2-1 仿上例，求：（1）；324+
（2）你会算124-吗？ （3）若n m b a +=±2，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．
训练案
A 组
1、计算：
（1）5)9080(÷+ （2）326324⨯-÷
（3）)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a >0,b >0）（4）-
2、已知1
21,1
21+=
-=
b a ，求102
2++b a 的值。

B 组
1、计算：（1）)123)(123(+--+
（2）20092009(3(3
《二次根式》复习
一 、预习案 1．若a ＞0，a 的平方根可表示为___________a 的算术平方根可表示________
2．当a ______有意义，当a ______没有意义。

3________
=______=
4．________1872_______;4814=÷=⨯ 5．_______20125_______;2712=-=+
二探究案
1、式子5
4
54--=
--x x x x 成立的条件是什么?
2、计算：(1) 25341
122÷⨯ (2)(3)
(4) 2
(-
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1）__________________ ______ ________________________ ______ ______
（2）__________________ ______ ________________________ ______ ______
（3）__________________ ______ ________________________ ______ ______
（4）__________________ ______ ________________________ ______ ______
（5）__________________ ______ ________________________ ______ ______
四训练案 A 组
1、选择题：（1）化简()25-的结果是（ ）A 5 B -5 C 士5 D
25
（2）代数式
2
4-+x x 中，x 的取值范围是（ ）
A 4-≥x
B 2>x
C 24≠-≥x x 且
D 24≠->x x 且
（3）下列各运算，正确的是（ ）
A 、565352=⋅
B 、532592519==
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯- C 、()12551255-⨯-=
-⨯- D 、y x y x y x +=+=+2222
（40)y >是二次根式，化为最简二次根式是（ ）
A 0)y
> B 、
0)y > C 0)y > D 、以上都不对 （5）
化
简
2723-的结果
是
（
）
3
3
A B C D -
-。