2021届高考数学教学案：第10章 第8讲 n次独立重复试验与二项分布含解析

2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第8讲n次独立重复试验与二项分布含解析第8讲n次独立重复试验与二项分布
[考纲解读］ 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念．(重点）
2．能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．（难点)
[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查:①条件概率的计算；②事件独立性的应用;③独立重复试验与二项分布的应用．题型为解答题，试题难度不会太大,属中档题型.
1。

条件概率及其性质
(1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做错误!条件概率，用符号错误!P(B｜A)来表示,其公式为P（B|A）＝错误!错误!（P（A）〉0）．在古典概型中，若用
n(A）表示事件A中基本事件的个数，则P（B|A）＝n AB
n A（n(AB）
表示AB共同发生的基本事件的个数)．(2）条件概率具有的性质
①错误!0≤P(B｜A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件,
则P（(B∪C)｜A)＝错误!P(B|A）＋P(C｜A）．
2．相互独立事件
（1)对于事件A,B，若A的发生与B的发生互不影响，则称错误! A，B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则P（B｜A)＝错误!P(B）,
P(AB)＝P(B｜A）P（A）＝错误!P(A）P(B)．
(3）若A与B相互独立，则错误!A与错误!，错误!错误!与B，错误!错误!与错误!也都相互独立．
（4)若P(AB)＝P（A)P(B），则错误!A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在错误!相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．A i(i＝1，2，…，n）表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝错误!P(A1）P(A2）…P(A n)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布，记作错误!X～B（n，p)，并称p为错误!成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k)＝错误!C错误!p k(1－p)n－k(k＝0,1，2，…，n）．
1．概念辨析
(1)相互独立事件就是互斥事件．（)
（2）对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P（B)都成立．（）
（3）二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝（1－p）．（）（4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P（X＝k)＝C 错误!p k（1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列,它表示了n 次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．()答案（1)×(2)×（3)×(4）√
2．小题热身
（1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20％,乙市占18％，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0。

2,P(B)＝0.18，P（AB）＝0。

12,则P（A｜B）和P（B|A)分别为()
A.错误!，错误!B。

错误!，错误!
C.错误!，错误!
D.错误!,错误!
答案C
解析由已知，得P(A｜B）＝错误!＝错误!＝错误!，
P（B｜A)＝P AB
P A＝错误!＝错误!.
（2)设随机变量ξ～B错误!，则P（ξ＝3）＝(）
A。

10
243 B.错误!
C。

错误! D.错误!
答案C
解析因为ξ～B错误!，所以P(ξ＝3）＝C错误!错误!3·错误!2＝错误!.
(3)一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要
维护和乙公司需要维护相互独立,它们需要维护的概率分别为0。

4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________．答案0。

88
解析P＝1－0。

4×0。

3＝0.88。

（4)小王通过英语听力测试的概率是错误!,他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．
答案错误!
解析所求概率P＝C错误!·错误!1·错误!2＝错误!。

题型一条件概率
1．从1，2,3，4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”,则P(B｜A）＝（)
A.错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
答案B
解析解法一：事件A包括的基本事件：(1，3）,（1,5）,（3，5）,（2，4）共4个．
事件AB发生的结果只有（2，4)一种情形,即n（AB)＝1.
故由古典概型概率P(B｜A）＝错误!＝错误!.故选B.
解法二:P（A)＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!.由条件概率计算公式，得P（B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!。

故选B.
条件探究1若将本例中的事件B改为“取到的2个数均为奇数"，则P（B|A)＝________。

答案错误!
解析P(A）＝错误!＝错误!,P（B)＝错误!＝错误!.
又B⊆A，则P(AB）＝P(B)＝错误!，
所以P（B｜A）＝错误!＝错误!＝错误!。

条件探究2将本例中的条件改为:从1，2，3,4，5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，则P(B|A）＝________.
答案1 2
解析从1，2，3，4,5中不放回地依次取2个数，有A错误!种方法；其中第一次取到的是奇数，有A错误!A错误!种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有A错误!A错误!种方法．则P（A）＝错误!＝错误!，P(AB)＝错误!＝错误!,
所以P（B|A)＝错误!＝错误!＝错误!。

2．如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分）内”,则P(B|A）＝________.
答案错误!
解析由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝
错误!＝错误!＝错误!。

事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB）＝错误!＝错误!＝错误!，
故P(B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.
解决条件概率问题的步骤
第一步,判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步,计算概率，这里有两种思路：
思路一缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B),可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P（A|B)＝错误!计算
思路二直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P （AB），P(B)，再利用公式P(A|B)＝错误!计算
提醒：要注意P（B|A)与P(A|B）的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率．
1．(2019·汉中模拟）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目,每人限报其中一项，记事件A为“四名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（A｜B)＝（）
A。

错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案C
解析由题意,得P(B）＝错误!＝错误!，P(AB）＝错误!＝错误!，所以P(A｜B）＝错误!＝错误!.
2．（2019·武侯区校级模拟）如果｛a n}不是等差数列，但若∃k ∈N*，使得a k＋a k＋2＝2a k＋1，那么称｛a n｝为“局部等差”数列．已知数列｛x n｝的项数为4,记事件A：集合{x1，x2,x3,x4｝⊆{1,2,3，4，5｝,事件B：{x n｝为“局部等差”数列，则条件概率P(B｜A)＝() A。

错误! B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案C
解析由已知数列｛x n}的项数为4，记事件A：集合｛x1，x2,x3，
x4}⊆{1，2，3,4,5｝,则事件A的基本事件共有A错误!＝120个,在满足事件A的条件下，事件B：｛x n}为“局部等差”数列，共有以下24个基本事件:其中含1,2,3的局部等差数列分别为1，2,3，5；5，1，2,3;4，1，2，3,共3个，同理含3,2，1的局部等差数列也有3个，含3，4，5和含5，4,3与上述相同，含2，3，4的有5,2，3,4；2,3，4，1，共2个,同理含4,3,2的也有2个．含1,3，5的有1，3,5,2；2，1,3,5；4，1，3，5；1，3，5,4，共4个，同理含5，3,1的也有4个．所以P(B｜A)＝错误!＝错误!。

题型二相互独立事件的概率
1．（2019·咸阳二模）已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试,他们被公司录取的概率分别为错误!,错误!，错误!,且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（)
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析由题意，得他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为P ＝1－错误!错误!错误!＝错误!。

2．（2019·全国卷Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获
胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0。

5，乙发球时甲得分的概率为0。

4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后,甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．
（1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜"的概率．
解（1）X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X＝2）＝0.5×0。

4＋(1－0。

5）×(1－0。

4)＝0.5。

（2）X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分．
因此所求概率为［0。

5×(1－0。

4)＋(1－0.5)×0.4］×0.5×0.4＝0。

1。

求相互独立事件概率的步骤
第一步,先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；
第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．
此外,也可以从对立事件入手计算概率。

1．(2019·湘潭三模）某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0。

4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进2个得4分，投进1个得2分，1个未进得0分，则其中1名同学得2分的概率为()
A．0。

5 B.0.48
C．0。

4 D。

0。

32
答案B
解析设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球"为事件B，则得2分的概率为P＝P（AB，－）＋P(错误!B)＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48。

2．某社区举办《“环保我参与"有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是错误!，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是错误!，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是错误!。

若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解（1）记“甲回答正确这道题"“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B,C,
则P(A)＝错误!，
且有错误!
即错误!
所以P(B）＝错误!，P(C）＝错误!。

(2)有0个家庭回答正确的概率为
P0＝P（错误!错误!错误!）＝P(错误!)·P（错误!）·P(错误!)＝错误!×错误!×错误!＝错误!，
有1个家庭回答正确的概率为
P1＝P(A错误!错误!＋错误!B错误!＋错误!错误!C)＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
P＝1－P0－P1＝1－错误!－错误!＝错误!。

题型三独立重复试验与二项分布
1．若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是（）
A.125
729 B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案C
解析一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－错误!×错误!＝1－错误!＝错误!，设X为3次试验中成功的次数,所以X~B错误!，故所求概率P(X≥1)＝1－P（X＝0）＝1－C错误!×错误!0×错误!3＝错误!,故选C。

2．为了弘扬国粹，提高民族自豪感，坐落于某实验中学内的艺术馆为学员们提供书法、国画、古琴、茶艺等教学服务，其中
学习书法和国画的学员最多．为了研究喜欢书法和喜欢国画之间的联系，随机抽取了80名学员进行问卷调查,发现喜欢国画的人的比例为70％，喜欢书法的人的比例为50％.
（1
(2)有人认为喜欢书法与喜欢国画有关，你同意这种看法吗？说明理由；
（3）假定学员们都按照自己的喜好进行了系统学习．根据传统,国画上有题字和落款才算完整作品，那么既学书法又学国画的学员们创作的作品可以称为“书画兼优”．为了配合实验中学七十年校庆，打算随机挑选5幅作品展览．设其中“书画兼优”的作品数为X，求X的分布列．
参考公式：K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d。

参考数据：
解（1）由题意,得c＋16＝80×（1－50％)，∴c＝24.∵a＋c＝80×70％，∴a＝32。

∵a＋b＝80×50%，∴b＝8.
∴a＝32,b＝8，c＝24。

(2）我同意这种看法．理由如下:
K2＝错误!≈3。

81。

∵3.81〉2.706，
∴有90%以上的把握认为喜欢书法与喜欢国画有关，∴我同意这种看法．
(3）由(1)知一幅作品“书画兼优”的概率为32
80＝错误!。

X的所有可能取值为0,1，2，3，4,5。

P（X＝0)＝C05错误!0错误!5＝错误!，
P(X＝1）＝C15·错误!·错误!4＝错误!,
P（X＝2）＝C25错误!2错误!3＝错误!，
P（X＝3）＝C错误!错误!3错误!2＝错误!，
P(X＝4）＝C错误!错误!4·错误!＝错误!，
P（X＝5)＝C55错误!5错误!0＝错误!.
∴X的分布列如下．
X012345
P错误!错误!错误!错误!错误!错误!
1．独立重复试验的实质及应用
独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程．
2．判断某概率模型是否服从二项分布P n(X＝k)＝C错误!p k(1－p)n－k的三个条件
（1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p。

(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的．
(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大"“很大"“非常大"等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.
1．春节期间,某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批的游客参加，规则是：每人花10元拿到5个圆圈，在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次,只要圆圈连续套住同一只鹅颈3次,就可以获得套住的那只玩具鹅．假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为错误!，且每次掷圆圈的结果互不影响，则该游客获得一只玩具鹅的概率为（)
A.错误!
B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案D
解析设“第i次套住鹅颈”为事件A i(i＝1，2，3，4，5)，则错误! i表示“第i次未套住鹅颈”，依题意可得该游客能获得一只玩具鹅
的3种情形:A1A2A3，错误!1A2A3A4,错误!1错误!2A3A4A5，
而P（A1A2A3)＝错误!3＝错误!，
P（错误!1A2A3A4）＝错误!3×错误!＝错误!，
P(错误!1错误!2A3A4A5)＝错误!3×错误!2＝错误!，
故该游客获得一只玩具鹅的概率为错误!＋错误!＋错误!＝错误!，故选D.
2．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V。

现有A,B，C三种不同配方的药剂，根据分析,A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5，0.6，0。

75,能控制V指标的概率分别为0.6,0.5，0.4,能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．
(1）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；
(2）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．解(1)A，B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P ＝P(A错误!错误!）＋P(错误!B错误!)＋P(错误!错误!C）
＝0。

5×（1－0.6）×（1－0。

75)＋(1－0。

5）×0.6×(1－0。

75）＋（1－0。

5)×(1－0.6）×0。

75＝0.275。

(2)∵A有治疗效果的概率为P A＝0.5×0.6＝0.3，
B有治疗效果的概率为P B＝0。

6×0。

5＝0.3，
C有治疗效果的概率为P C＝0。

75×0.4＝0.3，
∴A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0。

3,可看成3次独立重复试验，
即X～B(3，0.3）．
∵X的可能取值为0，1,2,3，
∴P(X＝k)＝C错误!×0.3k×（1－0.3）3－k，
即P（X＝0）＝C错误!×0.30×（1－0.3）3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0。

3×(1－0。

3）2＝0。

441，
P（X＝2)＝C错误!×0.32×（1－0.3)＝0。

189，
P(X＝3)＝C错误!×0.33＝0.027。

故X的分布列如下．
X0123
P
0.34
3
0.44
1
0。

189
0.02
7
组基础关
1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是错误!,从乙口袋内摸出1个白球的概率是错误!，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么错误!是()
A．2个球不都是白球的概率
B．2个球都不是白球的概率
C．2个球都是白球的概率
D．2个球恰好有一个球是白球的概率
答案A
解析∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球
都是白球的概率P＝错误!×错误!＝错误!，∴2个球不都是白球的概率是1－错误!＝错误!。

故选A.
2．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
使用时
间/天10~20
21～
30
31～
40
41～
50
51~60
个数1040805020
,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(）
A.错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
答案D
解析由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为错误!＝错误!，则所求概率为C错误!错误!2×错误!＋错误!3＝错误!.
3．位于坐标原点的一个质点M按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是错误!，质点M移动五次后位于点(2，3)的概率是（) A。

错误!5B。

C错误!×错误!5
C．C错误!×错误!3D。

C错误!×C错误!×错误!5
答案B
解析如图，由题可知质点M必须向右移动2
次，向上移动3次才能位于点（2,3），问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率．所求概率为P＝C错误!×错误!2×错误!3＝C 错误!×错误!5。

故选B。

4．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A 和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为错误!和p,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为错误!,则p等于（）
A。

1
10 B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析由题意得，错误!（1－p）＋错误!p＝错误!，
∴p＝错误!。

5．（2019·成都调研)某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为()
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案C
解析设A表示“甲同学收到李老师所发活动通知信息”,B表示“甲同学收到张老师所发活动通知信息”，由题意P(A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，∴甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为错误!＋错误!－错误!×错误!＝错误!。

故选C.
6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于出现3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为()
A。

错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析∵投掷一枚图钉，钉尖向上的概率为p(0〈p〈1)，连续掷一枚图钉3次,∴出现2次钉尖向上的概率为C错误!p2(1－p），出现3次钉尖向上的概率为p3.∵出现2次钉尖向上的概率小于出现3次钉尖向上的概率，∴C错误!p2（1－p）〈p3，即p2(3－4p）<0，解得p>错误!,
∴p的取值范围为错误!.
7．（2019·重庆模拟)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为(）
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案A
解析设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B为“学生丙第一个出场，”则P(A)＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!，则P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.
8．(2019·武昌区模拟）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝
{两次的点数均为奇数｝，B＝{两次的点数之和为4｝，则P（B|A)＝________。

答案错误!
解析根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次,有6×6＝36种情况，记A＝{两次的点数均为奇数},B＝｛两次的点数之和为
4}，事件A包含3×3＝9种情况,事件AB有2种情况，则P(A）＝3×3 36
＝错误!，P（AB)＝错误!，则P（B｜A)＝错误!＝错误!。

9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19，20层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为错误!，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P （ξ＝4)＝________.
答案错误!
解析依题意，ξ～B错误!，故P(ξ＝4）＝C错误!错误!4×错误!1＝错误!.
10．(2019·全国卷Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主"．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0。

5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案0。

18
解析甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场）获胜，前4场中有一场输．
若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0。

5×0。

6；
若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0。

5×0.5×0。

6。

∴甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0。

6×0.5×0。

5×（0。

6＋0。

4)×0.6＝0.18.
组能力关
1．（2019·广州市高三调研）已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为（）
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析分两类：①若从甲袋中取出黄球,则乙袋中有3个黄球和2个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为错误!；②若从甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为错误!；∴所求概率P＝错误!×错误!＝错误!.故选B.
2．(2020·安阳摸底）为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进则后一球也投进的概率为错误!，若他前一球投不进则后一球投进的概率为错误!.若他第1球投进的概率为错误!，则他第2球投进的概率为（）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析设该运动员第2球投进的概率为p2，第1球投进的概率
为p1＝错误!，∴p2＝错误!p1＋错误!(1－p1)＝错误!p1＋错误!＝错误!×错误!＋错误!＝错误!。

故选B。

3．(2019·德州一模)某超市在中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P（10≤X≤15）＝________.
答案错误!
解析中奖一次即可获得5元红包,没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会,且每名顾客每次中奖的概率均为0。

4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15）＝C24×0.42×0。

62＋C错误!×0.43×0。

6＝错误!。

4．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人,不超过100 km/h的有25人．
（1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(2）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾
驶员的车辆为X，求X的分布列．
解（1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员"为事件A，则事件A所包含的基本事件数为C错误! C错误!，所以所求的概率P（A)＝错误!＝错误!＝错误!。

（2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车,平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为
错误!＝错误!，
故X～B错误!。

所以P(X＝0）＝C错误!错误!0错误!3＝错误!，
P（X＝1)＝C错误!错误!错误!2＝错误!，
P(X＝2）＝C错误!错误!2错误!＝错误!，
P（X＝3)＝C错误!错误!3错误!0＝错误!。

所以X的分布列如下．
X0123
P错误!错误!错误!错误!
组素养关
1．(2019·安徽六校教育研究会第二次联考)为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，统计数据如表所示，
支付方
式微信
支付
宝
购物
卡
现金
立，假设以频率近似代替概率．
(1)求三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数的概率．
（2）记X为三人中使用支付宝支付的人数,求X的分布列．
解(1）由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为错误!，错误!,错误!,错误!.
设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数”，则P(A）＝P（Y＝3)＋P（Y＝2)＋P（Y＝1，且Z＝0)＝错误!3＋C错误!错误!2×错误!＋C错误!错误!×错误!2＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.
（2)由题意可知X~B错误!，故所求分布列如下．
2．(2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位市民,获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
(1）求a,b，c的值及居民月用水量在2~2。

5内的频数；
(2）根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？(w取整数）
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2。

5立方米的人数记为X，求其分布列．解(1）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的错误!也成等差数列,
设a＝0。

2＋d，b＝0。

2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5×(0。

2＋0。

2＋d＋0.2＋2d＋0。

2＋3d＋0。

2＋d＋0.1＋0。

1＋0.1)＝1，
解得d＝0。

1，∴a＝0。

3，b＝0。

4，c＝0。

5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0。

5×0。

5＝0.25。

居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×10000＝2500.
（2)由题图及（1）可知，居民月用水量小于2的频率为(0。

2＋0.3＋0。

4）×0。

5＝0.45，小于3的频率为0。

45＋(0。

5＋0。

3)×0.5＝0。

85，
∴为使80％以上居民月用水价格为4元/立方米，
应将w至少定为3。

(3）将频率视为概率，设A（单位：立方米）代表居民月用水
量,
可知P(A≤2。

5）＝0.7，
由题意,X～B（3，0。

7)，
P（X＝0)＝C错误!×0.33＝0。

027，
P（X＝1）＝C错误!×0.32×0.7＝0.189，P（X＝2)＝C错误!×0.3×0。

72＝0.441，P（X＝3）＝C错误!×0。

73＝0。

343。

∴X的分布列如下．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。