最新高考数学二轮复习大题专项练六导数B文

六导数(B)
1.(2018·广西二模)已知函数f(x)=ln (x+a)-x(a∈R),直线ly=-x+ln 3-是曲线y=f(x)的一条切线.
(1)求a的值;
(2)设函数g(x)=xe x-2x-f(x-a)-a+2,证明函数g(x)无零点.
2.(2018·咸阳一模)已知f(x)=e x-aln x(a∈R).
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a=-1时,若不等式f(x)>e+m(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数m的取值范围.
3.(2018·凯里市校级三模)已知函数f(x)=(m≠0).
(1)试讨论函数f(x)的单调性;
(2)对∀a,b∈(e,+∞),且a<b,证明a b>b a.
4.(2018·辽宁模拟)已知函数f(x)=-x+aln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=x2-2x+2a,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
1.(1)解函数f(x)=ln (x+a)-x(a∈R)的导数为
f′(x)=-1,
设切点为(m,n),
直线ly=-x+ln 3-是曲线y=f(x)的一条切线,
可得-1=-,ln (m+a)-m=-m+ln 3-,
解得m=2,a=1,
因此a的值为1.
(2)证明函数g(x)=xe x-2x-f(x-a)-a+2
=xe x-2x-f(x-1)-1+2
=xe x-x-ln x,x>0,
g′(x)=(x+1)e x-1-
=(x+1)e x-,
可设e x-=0的根为m,
即有e m=,即有m=-ln m,
当x>m时,g(x)递增,0<x<m时,g(x)递减,
可得x=m时,g(x)取得极小值,且为最小值,
则g(x)≥g(m)=me m-m-ln m
=1-m+m=1,
可得g(x)>0恒成立,
则函数g(x)无零点.
2.解(1)由f(x)=e x-aln x,
则f′(x)=e x-,f′(1)=e-a,切点为(1,e),
所求切线方程为y-e=(e-a)(x-1),即(e-a)x-y+a=0.
(2)由f(x)=e x-aln x,
原不等式即为e x+ln x-e-m(x-1)>0,
记F(x)=e x+ln x-e-m(x-1),F(1)=0,
依题意有F(x)>0对任意x∈[1,+∞)恒成立,
求导得F′(x)=e x+-m,F′(1)=e+1-m,F″(x)=e x-,
当x>1时,F″(x)>0,
则F′(x)在(1,+∞)上单调递增,有F′(x)>F′(1)=e+1-m,
若m≤e+1,则F′(x)>0,若F(x)在(1,+∞)上单调递增,且F(x)>F(1)=0,适合题意;
若m>e+1,则F′(1)<0,又F′(ln m)=>0,
故存在x1∈(1,ln m)使F′(x)=0,
当1<x<x1时,F′(x)<0,得F(x)在(1,x1)上单调递减,得F(x)<F(1)=0,与已知不符,舍去,
综上,实数m的取值范围是m≤e+1.
3.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=.
①当m>0时,对x∈(0,e),有f′(x)>0,故函数f(x)在(0,e)上单调递增;
对x∈(e,+∞),有f′(x)<0,故函数f(x)在(e,+∞)上单调递减;
②当m<0时,对x∈(0,e),有f′(x)<0,故函数f(x)在(0,e)上单调递减;
对x∈(e,+∞),有f′(x)>0,故函数f(x)在(e,+∞)上单调递增.
(2)证明对∀a,b∈(e,+∞),且a<b,由(1)当m=1时,函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(a)>f(b),
所以>,
所以bln a>aln b,所以a b>b a.
4.解(1)f′(x)=-1+=(x>0),
①a≤0时,由于x>0,故x-a>0,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)上递减,
②a>0时,由f′(x)=0,解得x=a,
在区间(0,a)上,f′(x)>0,在区间(a,+∞)上,f′(x)<0,
所以函数f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减,
综上,a≤0时,f(x)在(0,+∞)上递减,
a>0时,函数f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减.
(2)依题意,要满足对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),转化为f(x)max<g(x)max, 因为g(x)=x2-2x+2a,x∈[0,1],
所以g(x)max=2a,
由(1)得a<0时,f(x)在(0,+∞)上递减,值域是R,不合题意,
a=0时,f(x)=-x<0=g(x)max,符合题意,
a>0时,f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减,
故f(x)的极大值即为最大值,
f(a)=-a+aln a,故2a>-a+aln a,解得0<a<e3.
综上,a的范围是[0,e3].。