正弦交流电相关数学知识讲解浅析

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0引言
正弦交流电是电工基础课程中的一个重要的章
节，涉及三角函数、复数等大量数学知识。

技工院校的学生大多数学基础薄弱，而电工老师不可能拿出大量时间讲授相关数学知识，导致学生无法真正掌握其中原理。

作为电工相关专业的数学老师，有必要将数学的有关知识和原理渗透于正弦交流电的学习中，在数学和正弦交流电之间搭起一座桥梁。

这需要数学老师掌握相关的电工知识，科学系统地设计出一套行之有效的教学方案。

只要在三角函数和复数的教学中把握以下三条主线，就能为正弦交流电铺平道路。

本文浅析正弦交流电相关数学知识的讲解。

1在线段“旋转”中阐释两个“为什么”
“为什么线圈切割磁感线形成的交流电可以用一
个正弦型函数来表示？”“为什么正弦量可以用复数来表示？”很多学生被这两个问题困扰着。

要从本质上认识正弦交流电及掌握有关计算，就绕不开这两个核心问题。

从数学的角度来看，问题的本质都是研究线段“旋转”过程中在垂直方向或水平方向产生的投影值的变化规律。

1.1在“旋转”中阐释“为什么正弦量可以用复数来表示?”
正弦量用复数表示的推理过程与正弦函数图像的形成过程是相通的，运用相似的“旋转”原理。

如图1所示，在动态演示中，设有正弦电压u=U m sin （ω+φ），其波形如图1b 所示，在左边直角坐标系中取长度为U m
有向线段，初始位置与x 轴正方向的夹角为φ，并以角频率ω作逆时针旋转。

根据三角函数计算，同时结合动态图可见，旋转有向线段任一时刻t 在纵轴上的投影值刚好对应正弦量在该时刻的瞬时值u （t ）=U m sin
（ωt+φ）。

因为旋转的有向线段里面包含了正弦量的三个特征量，长度是正弦量的振幅U m ，初始位置是正弦量的初相φ，而旋转的角频率是ω，可见一个旋转的有
向线段可以表示一个正弦量。

图1
如果有两个正弦量，就可以在坐标里画出两个有向线段，如图2所示。

由于在同一正弦稳态性电路中，正弦量频率都是相同的，所以同频率的旋转有向线段的相对位置是不变的，可以把频率隐含起来，让旋转的有向线段固定在初始位置，如图3所示。

而固定的有向线段可用复数表示，所以正弦量也可用复数来表示，复数的模即为正弦量的幅值，辐角即为正弦量的初相位。

如u （t ）=U m sin （ωt+φ）的最大值相量就表示为复数U m =U m ∠φ，这样正弦量三要素转化为两个要素的分析，即最大值和初相位。

1.2在“旋转”中解释“为什么线圈切割磁感线形成正
弦交流电?”
有了前面的“旋转”问题作为铺垫，学生对旋转思作者简介:黄跃萍,本科,硕士学位,高级讲师,研究方向为数学教育。

正弦交流电相关数学知识讲解浅析
黄跃萍
(广东省机械技师学院,广东广州510450)
摘要:正弦交流电涉及三角函数、复数等数学知识,技工院校的学生数学基础薄弱,在正弦交流电的学习中只能生搬硬套。

这需要数学课堂将相关数学知识和原理渗透于正弦交流电的学习中,帮助学生从根本上掌握正弦交流电基本原理。

关键词:正弦交流电;正弦量;复数;相量法
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想有了更深的领会。

这时再用旋转原理回头解释正弦交流电产生过程就是顺理成章了。

用手摇发电机模型演示交流电的形成过程[1]，结合示波器，容易发现闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴线匀速转动，切割磁力线产生交流电波形图呈正弦规律变化。

而这仅仅从表象上去认识，要从本质上理解其中原理，还需要提取其中数学模型，作出动态示意图，在旋转中
分析其中原理。

a
b
图
2
a
b
图3
如图4所示，在线圈旋转过程中，从正前方观察线圈，只能看到线圈的AD 边。

我们可以看成线段AD 绕着O 点以角速度ω做逆时针旋转（图5），当线圈从垂直于磁感线的位置———中性面（即水平方向）开始旋转时，在时刻线圈平面与水平向右方向的夹角为ωt ，AD 在水平方向的投影为A D cos ωt （图6），而A B 长度保持不变，线圈的面积S ，因此线圈在垂直磁场方向的投影面积S 投=A B ·AD cos θ=S cos wt ，因此穿过线圈平面的磁通量Φ=BS cos ωt ，根据法拉利电子感应定律，
结合导数知识，感应电动势e=n ΔΦΔt
=n Φ'=-nBSωsin ωt 。

从数学角度分析，由于e =-nBSωsin ωt ，当线圈处
于水平位置时，sin ωt =0，e =0；而当线圈处于垂直位置时sin ωt =1，e=-nBSω，取得最值；从物理角度分析，当线圈处于中性面位置时，由于力矩的方向平行于磁力线的方向，无切割磁力线的运动，此处感应电动势为0；而当线圈处于垂直位置时，两边都垂直切割磁感线，此时感应电动势最大。

线圈的起始位置不同，对应正弦交流电的起始值也不同。

如图7所示，当线圈从与中性面向右方向夹角为φ处开始，以角速度ω逆时针旋转时，经过时间t ，线圈与中性面正方向的夹角为ωt+φ，此时磁通量为Φ=BS cos （ωt+φ），感应电动e=n ΔΦΔt =n Φ'=-nBSωsin
（ωt+φ）。

设感应电动势的最大值为E m ，则E m =-n BS ω，则电动势可以表示为e=E m sin （ωt+φ），其波形如图8
所示。

根据类比思想，可以推出正弦电压、电流可以表示为u=U m sin （ωt+φ），i=I m sin （ωt+φ），由此证明线圈切割磁感线形成的交流电可以用一个正弦型函数来
表示。

2从正弦型函数图像到正弦量波形图
正弦量的波形图是反映正弦量的大小及方向随时间变化的曲线。

通过分析波形图可获得正弦量的最大值、周期、角频率和初相等相关信息，同时通过波形图可进行正弦量的叠加计算。

因此在学习正弦交流电过程中学会分析波形图尤为重要。

而只有在数学课堂中掌握正弦型函数y=A sin （wx+φ）的图像，才能在电工课堂中的正弦量波形图中“游刃有余”。

从数学角度上，研究正弦型函数y=A sin （wx+φ）图像的核心问题是分析A,ω,φ对图像形状及位置的影响。

分别作y=A sin x、y =sin ωx 、y
=sin （x+φ）三类函数的
图4
图5图6
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图像，对比发现，A 决定图像的最高点和最低点，ω决定图像的周期T ，而φ决定了图像在原点位置向左（φ>0）或向右（φ<0）平移的角度|φ|。

最后，通过几何画板作y=A sin （wx+φ）的图像，分别拖动参数A、ω、φ，学生观察到拖动点A 可以改变函数的最值，拖动点ω可以改变函数的周期，拖动点φ可以改变图像在一个周期内起点的位置。

通过以上两种操作，学生清楚的认识A、ω、φ
对图像的影响。

图
7
图8
从物理角度上，通过在线圈切割磁力线实验，给A 、ω、φ赋予了物理意义：A 代表线圈处于中性面时正弦量获得的最大值（振幅），φ代表线圈旋转的起始位置与中性面正方面的夹角，ω代表线圈旋转的角速度。

通过连接线圈的示波器，学生可以清楚看到A、ω、φ对的波形图的影响。

这样，通过“五点法”分类作图、几何画板动态作图、线圈切割磁场实验，学生从不同的维度，在数学上、物理上牢牢把握住A、ω、φ对图像的影响。

3从复数四则运算到正弦量计算
在对正弦量进行定量分析过程中，常常需要对正
弦量进行加减乘除运算，这就涉及三角函数的和差化积、积化和差知识，计算过程烦琐，若采用波形图进行叠加计算则需要进行测量描点，过程麻烦且误差大，因此需要寻求更便捷的计算方法。

既然正弦量能用复数表示，那么也可以利用复数进行正弦量之间的计算，将三角函数的复杂计算转化为复数的简
单计算。

这就是相量法[2]，正是运用了数学中的“转
化”思想。

学生在复数[3]的学习过程中发现，用复数的代数形式计算乘除较为复杂，而计算和差可口算得到；相反用复数的三角形式、指数形式、极坐标形式进行和差计算比较复杂，而作乘除运算极其简单。

因此，将正弦量变换为复数表示之后，正弦量的四则运算变得“迎刃而解”了。

对于正弦量的加减运算，可以采用“正弦量→变换
复数三角形式→变换
复数代数形式→变换
运算结果→
变换
复数三角形式→变换
正弦量”的计算流程；而对于正弦量的乘除运算，则采用“正弦量→变换
复数三角形式→变换
运算结果→变换
正弦量”的计算流程。

这其中的难点在于，在做加减运算时，需要将代数形式的和差结果转化为复数三角形式再转为正弦量。

而转化过程中复数的模r 和辐角θ是代数形式和其他三种形式之间相互联系的“纽带”，而对辐角θ的确定常常是转化过程的学生的“绊脚石”，需要涉及诱导公式和反三角函数的知识，这需要数学老师在授课过程中重点展开学习，为相量法的学习扫清障碍。

4结语
在学习正弦型函数过程中，通过线圈切割磁力线实验探索正弦交流电产生原理，正弦型函数中原本枯燥的数字A,ω,φ因为被赋予了具体的物理意义而变得“鲜活”起来了；在学习复数过程中，学生认为复数是人为创造出来的数，不清楚在实际中能表达什么样的量，通过给复数的模与辐角赋予了物理意义———振幅和初相，由此指出复数可作为研究问题的一种工具和载体，来表达现实世界上一些需要两个有序实数对才能表达清楚的量，学生对复数的认识有如醍醐灌顶。

由此可见，数学知识和专业知识的学习是相辅相成的。

将数学知识渗透于专业知识中，在做到数学为专业服务的同时，通过对抽象的数学概念赋予了实际意义，理论联系实际，让学生在数学知识与专业知识的“交错”与“融合”中迸发出智慧的火花。

【参考文献】
[1]刘汉明.切割类感应电动势计算归类分析[J].中学生理科应试,2021(Z1):45-48.
[2]姬芳芳.相量法在正弦稳态电路中的应用研究[J].唐山师范学院学报,2021,43(6):26-31.
[3]方志平.利用复数求解三角函数问题[J].高中数学教与学,2022(9):13-16.
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