(河北专版)中考数学第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形

（河北专版）中考数学第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形试题
,河北8年中考命题规律)
年份题号考查点考查内容分值总分
2016 6 矩形、菱形、
正方形判定
以平行四边形
为背景考查添
加一定条件为
特殊平行四边
形
3 3
201516 矩形、正方形
的性质
以矩形为背
景，通过折
叠、剪开、拼
图，判断面积
4 4
20148 矩形性质、正
方形
的判定及性质
将矩形分割成n
个三角形，再
拼接为满足条
件的正方形，
求n不能取的
值
3 3
2013
11 菱形的性质通过菱形对角
线平分角的性
质判断三角形
相似，利用相
似三角形性质
求线段长度
3
12 矩形的作法由平行四边形
性质判定四边
形为平行四边
形，再根据矩
形性质判定矩
形作法是否正
确
3 6
201211 正方形性质通过两个正方
形重叠，求重
叠部分的面积
差
3 3
2011
14 菱形的性质与数轴结合由
菱形四条边相
等，求菱形的
边长
3
23 正方形的性
质及作法
(1)根据正方形
的性质证明线
段的数量关系
及位置关系；
(2)作正方形；
(3)利用正方形
性质判断四边
形为平行四边
9 12
,河北8年中考真题及模拟)
矩形性质的相关计算
1．(2016河北6题3分)关于▱ABCD的叙述，正确的是( C)
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
2．(2010河北14题3分)如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A对应的数为－1，则点B所对应的数为__5__．
(第2题图)
(第3题图)
菱形判定及相关计算
3．(2009河北3题2分)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于( D)
A．20 B．15 C．10 D．5
4．(2010河北4题2分)如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为( C)
A．6 B．9 C．12 D．15
(第4题图)
(第5题图)
5．(2013河北11题3分)如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝( B)
A．3 B．4 C．5 D．6
正方形性质的相关计算
6．(2014河北8题3分)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
(第6题图)
(第7题图)
7．(2012河北11题3分)如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a，b(a＞b)，则(a－b)等于( A)
A．7 B．6 C．5 D．4
8．(2016沧州十三中二模)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长
为( B)
A．16 B．12 C．24 D．20
9．(2016石家庄二十八中一模)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°
(第9题图)
(第10题图)
10．(2016承德一中一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__5或6__．
11．(2016唐山友谊中学二模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为__12__．
(第11题图)
(第12题图)
12．(2016保定育德中学二模)如图，菱形ABCD的周长为12 cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD 的长为__33__cm.
13．(2016张家口九中一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__33__．
(第13题图)
(第14题图)
14．(2016邢台中学二模)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED＝__65__°.
中考考点清单)
矩形的性质与判定
1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)．
2．性质
文字描述字母表示[参考图(1)]
(1)对边平行且相等AD綊BC，AB綊CD
(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD
(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图
形
3.判定
文字描述字母表示[参考图(1)]
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形
ABCD是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是矩形
菱形的性质与判定(高频考点)
近8年菱形的性质与判定考查5次，题型以选择题、填空题为主，考查形式为利用菱形的相关性质求长度，涉及相似三角形、数轴等，2014年首次以图形旋转为背景，在解答题中涉及菱形的判定，2013年在选择题中与相似三角形的判定及性质结合考查求边长，2011年在填空题中与数轴结合
考查菱形性质，2009～2010年在选择题中考查菱形性质的简单计算．
4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2)
5．性质
文字描述字母表示[参考图(2)]
(1)菱形四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA
续表
(2)对角相等
∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__
(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平
分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CA B＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC
(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图
形
6.判定
文字描述字母表示[参考图(2)]
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形
(2)四条边相等的四边形是菱形若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形
(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱
形若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形
正方形的性质与判定
近8年正方形的性质与判定的相关证明与计算考查5次，题型为选择题、解答题，其中2014年在选择题中考查正方形的判定，涉及到图形裁剪、拼接的相关知识，其余均考查正方形性质，且有2次与阴影部分面积相关．
7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3) 8．性质
文字描述 字母表示[参考图(3)] (1)四条边都相等 即AB ＝BC ＝CD ＝DA (2)四个角都是90° 即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90° (3)对角线互相垂直平分且相等 即AC⊥__BD__，AO ＝OC ＝OD ＝OB
(4)对角线平分一组对角
∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝
∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称
图形
9.判定
文字描述 字母表示[参考图(3)]
(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ，
∠ADC ＝90°，则四边形ABCD 是正方形
(2)有一角是直角的__菱形__是正方形
若∠ABC＝90°且四边形ABCD 是菱形，则四
边形ABCD 是正方形
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形
若AB ＝BC ，且四边形ABCD 是矩形，则四边
形ABCD 是正方形
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 若四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 平分BD ，BD
平分AC ，AC ＝BD ，则四边形ABCD 是正方形
易错 对特殊的平行四边形的判定理解不透彻
【例】如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．
(1)求证：△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？
【错解】(1)在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ＝
12AD ，CN ＝1
2
BC ，∴AM ＝CN ，在△MAB 和△NCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠C＝90°，AM ＝CN ，
∴△MAB ≌△NCD ， (2)四边形MPNQ 是平行四边形．
【错因分析】由于对特殊四边形的判定方法理解不透彻，所以不能对问题进行深入的探究和挖掘．
【解析】(1)在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ＝12AD ，CN ＝1
2
BC ，∴AM ＝CN ，在
△MAB 和△NCD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，
∠A ＝∠C＝90°，AM ＝CN ，
∴△MAB ≌△NCD ；
(2)四边形MPNQ 是菱形，理由如下：连接AP ，易证A ，P ，N 三点共线，且△ABN≌△BAM，∴AN ＝BM ，∵△MAB ≌△NCD ，∴BM ＝DN ，∵P ，Q 分别是BM ，DN 的中点，∴PM ＝NQ ，DQ ＝BP ，又易知DM ＝BN ，∠MDQ ＝∠NBP，∴
△MQD ≌△NPB ，∴MQ ＝NP ，∴四边形MPNQ 是平行四边形，∵M 是AD 的中点，Q 是DN 的中点，∴MQ ＝1
2
AN ，∴MQ ＝
12BM ，∵MP ＝1
2
BM ，∴MP ＝MQ ，∴四边形MQNP 是菱形．
,中考重难点突破)
矩形的性质与判定
【例1】(2016白银中考)如图，在△AB C 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF.
(1)线段BD 与CD 有何数量关系，为什么？
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．
【解析】(1)利用FA∥DC，证明△AFE≌△DCE.(2)由(1)，可知四边形AFBD 为平行四边形且D 为BC 中点，只需证明AD⊥BC 即可．
【学生解答】(1)BD ＝CD.理由如下： ∵AF ∥CB ，
∴∠AFE ＝∠DCE，∠FAE ＝∠CDE. 又E 是AD 的中点，
∴AE ＝DE.∴△AFE≌△DCE(AAS )． ∴AF ＝DC.
又AF ＝BD ，∴BD ＝CD ；
(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形． 理由如下：
∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.
又AF ＝BD ，且AF∥BD，∴四边形AFBD 是平行四边形， ∴四边形AFBD 是矩形．
【点拨】矩形是特殊的平行四边形，证明矩形的常用方法就是先证明四边形是平行四边形，然后证明有一个角是直角或对角线相等．
1．(2016石家庄二十八中一模)菱形具有而矩形不具有的性质是( B )
A ．两组对边分别平行
B ．对角线互相垂直
C ．对角线互相平分
D ．两组对角分别相等
2．(2016邢台金华中学一模)如图，把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，若∠1＝20°，则∠2等于( B ) A ．80° B ．70° C ．40° D ．20°
菱形的性质与判定
【例2】(2016贵阳中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE，连接AF ，DC.
(1)求证：四边形ADCF 是菱形；
(2)若BC ＝8，AC ＝6，求四边形ABCF 的周长．
【解析】根据旋转，可得AE ＝CE ，DE ＝E F ，可判定四边形ADCF 是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF 是菱形；(2)首先利用勾股定理可得AB 长，再根据中点定义，可得AD ＝5，根据菱形的性质，可得AF ＝FC ＝AD ＝5，进而可得答案．
【学生解答】(1)∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE，∴AE ＝CE ，DE ＝EF ， ∴四边形ADCF 是平行四边形．
∵D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC. ∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，DF ⊥AC ， ∴四边形ADCF 是菱形；
(2)在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵D 是AB 中点，∴AD ＝5，∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝CF ＝AD ＝5，∴四边形ABCF 周长为8＋10＋5＋5＝28.
3．(2016滨州中考)顺次连接矩形ABCD 各边中点，所得四边形必定是( D ) A ．邻边不等的平行四边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形
4．(2016鄂州中考)如图，菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A′.当CA′的长度最小时，CQ 的长为( B )
A ．5
B ．7
C ．8
D .13
2
正方形的性质与判定
【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN∥AB，D 为AB 边上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN 于E ，垂足为点F ，连接CD ，BE.
(1)求证：CE ＝AD ；
(2)当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．
【解析】(1)先求出四边形BECD 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD 是平行四边形，求出CD ＝BD ，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【学生解答】(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB， ∴AC ∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD；
(2)四边形BECD是菱形，
理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.
∵D为BA中点，∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°.
∵四边形BE CD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点拨】正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质，证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证一个角是直角或对角线相等．
5．(2016邯郸二十三中二模)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( C)
A．4个B．6个C．8个D．10个
(第5题图)
(第6题图)
6．(2016天津中考)如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在
对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQ
S正方形AEFG
的值等于__
8
9
__．
,中考备考方略)
1．(2016益阳中考)下列判断错误的是( D )
A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B ．四个内角都相等的四边形是矩形
C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
2．(2016兰州中考)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为( A )
A ．2 3
B ．4
C ．4 3
D ．8
(第2题图)
(第3题图)
3．(2016枣庄中考)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于点H ，则DH 为( A ) A .245 B .12
5
C ．5
D ．4 4．(2016舟山中考)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段A
E ，C
F ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长为( D )
A . 5
B .136
C ．1
D .5
6
(第4题图)
(第5题图)
5．(2016郴州中考)如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( C )
A ．7
B ．8
C ．7 2
D ．7 3
6．(2016徐州中考)如图，在菱形中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于( A )
A ．3.5
B ．4
C ．7
D ．14
(第6题图)
(第7题图)
7．(2016台州中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( C)
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
8．(2016天津中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′，DC相交于点E，则下列结论一定正确的是( D)
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
(第8题图)
(第9题图)
9．(2016丹东中考)如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB＝3，∠DCF＝30°，则EF的长为( A)
A．2 B．3 C.
3
2
D. 3
10．(2016宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A)
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
11．(2016苏州中考)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( B)
A ．(3，1)
B .⎝
⎛⎭
⎪⎫
3，43 C .⎝
⎛⎭
⎪⎫
3，53
D ．(3，2)
12．(2016廊坊二模)如图，四边形ABCD 是正方形，把△A EB 绕点A 沿顺时针方向旋转一定角度后得到△A FD ，连接EF ，则下列说法：①旋转角度是90°；②△AEB≌△AFD；③△AEF 是等腰直角三角形；④∠EAB＋∠AFD＝90°，其中正确的是( B )
A ．①②
B ．②③④
C ．①②③
D ．①②③④
13．(2016保定二模)如图，以菱形ABCD 的对角线AC 为边作矩形ACEF ，使得点D 在矩形ACEF 的边EF 上；再以矩形ACEF 的对角线AE 为边作平行四边形AEGH ，使点F 在GH 边上．记菱形ABCD 的面积为S 1，矩形ACEF 的面积为S 2，平行四边形AEGH 的面积为S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是( C )
A ．S 1＞S 2＞S 3
B ．S 1＜S 2＜S 3
C ．S 1＝S 2＝S 3
D ．S 1＞S 3＞S 2
14．(2016石家庄二十八中一模)如图所示，点O 是矩形ABCD 对角线的交点，E 是AB 上的点，将△CBE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC ＝3，则折痕CE 的长为__23__．
(第14题图)
(第15题图)
15．(2015安顺中考)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE ＝1，F 为AB 上的一点，AF ＝2，P 为AC 上一个动点，则PF ＋PE 的最小值为__17__．
16．(2016益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB，过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝7
8
，求线段OE 的长．
解：(1)∵∠CAB＝∠A CB ，∴AB ＝CB ，∴▱ABCD 是菱形．∴AC ⊥BD ；(2)在Rt △AOB 中，cos ∠OAB ＝AO AB ＝7
8
，AB
＝14，∴AO ＝14×78＝494，在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16，∴OE ＝AE －AO ＝16－49
4
＝
154
.
17．(2016石家庄四十二中一模)如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF ∥AB. (1)求证：CF ＝AD ；
(2)若∠ACB＝90°，试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．
解：(1)∵CD 是△ABC 的中线，∴D 为AB 的中点，AD ＝BD.又∵点E 是AF 的中点，∴DC ∥BF.又∵CF∥AB，∴四边形BFCD 为平行四边形，∴FC ＝BD ，∴FC ＝AD ；
(2)四边形BFCD 为菱形．理由：由(1)知四边形BFCD 为平行四边形．∵∠ACB＝90°，∴在Rt △ACB 中，中线CD ＝1
2
AB ＝BD ，∴四边形BFCD 为菱形．
18．(2016漳州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG∥C D ，交AE 于点G ，连接DG.
(1)求证：四边形DEFG 为菱形；
(2)若CD ＝8，CF ＝4，求CE
DE
的值．
解：(1)如图，由轴对称的性质得∠1＝∠2，ED ＝EF ，GD ＝GF ，∵FG ∥CD ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FE ＝FG.∴ED＝EF ＝GD ＝GF ，∴四边形DEFG 为菱形；
(2)设DE ＝x ，则FE ＝DE ＝x.∵CD＝8，∴EC ＝8－x.在Rt △EFC 中，FC 2＋EC 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2
，解得x ＝
5，∴CE ＝8－x ＝3，∴CE DE ＝3
5
.。