广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训数列含解析

2021-4-29 20XX年复习资料
教学复习资料
班级：科目：
数列
一、选择题
1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B ．b －a 2
C ．b －a 3
D ．b －a 4
C [由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a
3.]
2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36
D ．45
C [S 9＝92(a 1＋a 9)＝9
2
(a 2＋a 8)＝36.]
3．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1
d 等于( )
A ．12
B ．2
C ．14
D ．4 A [由题意得：10a 1＋1
2×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1
2
.]
4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )
A ．－9
B ．－11
C ．－13
D ．－15
D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.]
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 C [∵S n ＝a n －1(a ≠0)，
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，
即a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1，n ＝1，(a －1)a n －1
，n ≥2，
当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．]
6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
A ．90
B ．100
C ．145
D ．190
B [设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0，
∴d ＝2，从而S 10＝100.]
7．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16
D ．32 C [由于a 24＝a 2·
a 6，所以a 2·a 6＝16.] 8．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12
D ．24 A [由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．第3项为－12，公比为－12
－6
＝2，故数列的第四项为－24.]
9．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．n [(－1)n －1]2
B ．(－1)n ＋
1＋12
C ．(－1)n ＋12
D ．(－1)n －12
D [S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)
＝(－1)n －1
2.]
10．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7
a 3＝( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．52
B [依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1
＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2
a n
＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为
首项，2为公比的等比数列，因此a 7
a 3
＝4.]
11．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
C [由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q ＞0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22·21＝84.]
12．已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)
B ．⎣⎡⎭⎫－15
7，－2 C ．(－2，＋∞)
D ．⎝⎛⎭
⎫－15
7，－2 B [由题意可得等差数列{a n }的首项为a 1＝31，
由题意可得a 15≥1且a 16<1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
31＋14d ≥1，31＋15d <1，解关于d 的不等式组可得－15
7
≤d ＜－
2.故选B ．]
13．在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
B [由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之
和是100＝n (a 1＋a n )
2
，解得n ＝10.]
14．等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( ) A ．452
B ．12
C ．6
D ．454
C [在等差数列{a n }中，∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.]
15．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前5
项和等于( )
A ．15
8或5
B ．3116或5
C ．3116
D ．158
C [设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 6
1－q ，解得q ＝2(q ＝1舍
去)，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，1
2为公比的等比数列，前5项和为
1×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝⎛⎭⎫125
1－12
＝31
16
.] 二、填空题
16．在等比数列中，若a 2＝2，a 6＝162，则a 10＝ . 13 122 [由a 26＝a 2a 10得a 10
＝1622×12
＝13 122.] 17．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 ．
4 [依题意，a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋8d )＝5(a 1＋4d )＝10， 同理，5(a 1＋5d )＝30，两式相减得：d ＝4.]
18．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －
1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为 ．
3(9n －1)
4 [∵a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝
6(1－9n )
1－9
＝3(9n －1)4
.]
19．设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10
＝ .
10 [由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.] 三、解答题
20．设数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3－a 2＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n
2＋log 3a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3－a 2＝12， 得2q 2－2q －12＝0，即q 2－q －6＝0.解得q ＝3或q ＝－2， ∵q ＞0，∴q ＝－2不合题意舍去，∴a n ＝2×3n －1. (2)由b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3
n 2＋log 3a n ，且a n ＝2×3n －1，得 b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3
n
2×2×3n －1＝log 332n －1＝2n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列，
∴S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n )＝2(3n －1)3－1＋n (1＋2n －1)
2＝3n －1＋n 2.
21．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)
2(n ∈N *)，
(1)求证数列{a n }是等差数列；
(2)设b n ＝1
S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .
[解] (1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)
2(n ∈N *)，①
S n －1＝
a n －1(a n －1＋1)
2
(n ≥2)，②
①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2
n －1－a n －1
2
(n ≥2)，
整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．
n ＝1时，a 1＝1.∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可得S n ＝n (n ＋1)2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2
n (n ＋1)
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝
2n
n ＋1
.
结束语
同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

加油~~。