2020年高三总复习数学人教旧版-必修3[第4讲 概率]讲义(教师版)

第4讲概率
1.了解随机事件、概率的概念以及事件的关系与运算
2.理解古典概型及其概率的计算
3.理解几何概型及其概率的计算
1.随机事件发生频率的稳定性与概率的意义以及频率与概率的区别
2.列基本事件空间，计算互斥事件、对立事件的概率
3.古典概型与几何概型的理解及其概率的计算
随机事件与随机试验
一、确定事件和随机事件的概念
1.必然事件：我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。

2.不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。

3.确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。

4.随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。

（ж：确定事件和随机事件我们一般用大写字母A、B、C……表示。

）
二、随机试验
对于随机事件，我们最重要的就是了解它发生的可能性的大小，而了解这种可能性的大小最直接的方法就是试验。

一个随机试验需要满足下列条件：
1、试验可以在相同的情形下重复进行
2、试验的所有结果是明确可知的，但不止一个
3、每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪个结果
三、基本事件与基本事件空间
在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
四、随机事件的概率
1、频数与频率：相同条件下，重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A
n n f A n
=为事件A 出现的概率.
ж：由于A 发生的次数至少为0，至多为n，因此，频率总在0与1之间，即01A
n n
≤
≤.2、概率及其记法：对于给定的随机事件A，如果随着试验的次数增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()P A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率.
例1.下列事件是随机事件的是（
）
①当x≥10时，lgx≥1②当x∈R，x 2
﹣1=0有解
③当a∈R，关于x 的方程x 2
+a=0在实数集内有解④当sinα＞sinβ时，α＞βA．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】①当x≥10时，lgx≥1，属于确定事件，②当x∈R，x 2
﹣1=0有解，解得x=±1，属于确定事件
③当a∈R，关于x 的方程x 2
+a=0在实数集内有解，需要根据a 的值确定解得个数，属于随
机事件，
④当sinα＞sinβ时，α＞β，属于随机事件，
练习1.将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．不能判定
【答案】C
【解析】将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件．所以事件是随机事件．
练习2.下列事件中，是随机事件的是（）
①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；
②某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
③异性电荷，相互吸引；
④某人购买体育彩票中一等奖．
A．②④B．①②④C．①②③④D．②③④
【答案】B
【解析】由随机事件的意义知，本题所给的4个事件中，只有③是一个必然事件，其他的事件都是随机事件.
事件是在S下发生的，因此在提及事件的时候，一定要注明事件发生的条件，脱离了条件的事件是毫无意义的.判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否.
例2.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【答案】A
【解析】先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}、{反，反}，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}.
练习1.某家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是（）
A．{（男，女），（男，男），（女，女）}B．{（男，女），（女，男）} C．{（男，男），（女，女）}D．{（男，女），（男，男），（女，男）（女，女）}【答案】D
【解析】∵家庭有两个小孩，
可能是一男一女，也可能是两男，也可能是两女，
基本事件在一个实验过程中出现的概率是相等的，
∴基本事件空间Ω={（男，女），（男，男），（女，男）（女，女）}
练习2.做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x，y），x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”：
（1）写出这个试验的基本事件空间；
（2）求这个试验基本的总数；
（3）写出“第1次取出的数字是2”这一事件．
【答案】见解析
【解析】（1）连续取两次，基本事件空间为Ω={（0，1），（1，0），（0，2），（2，0），（1，2），（2，1）}，
（2）这个试验基本的总数为6个，
（3）“第1次取出的数字是2”这一事件为（2，0），（2，1）．
建立基本事件空间时，要注意以下几个要点：1、基本事件：不可再分
．．
．．．．的随机事件
．．．．；2、所有基本事件组成的集合。

基本事件必须找全，缺一不可。

例3.下列说法正确的是（
）
A．某厂一批产品的次品率为
1
10
，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
D．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5【答案】D
【解析】某厂一批产品的次品率为
t ，
则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品说法是错误的，故A 不能选
气象部门预报明天下雨的概率，是说明有多大的把握有雨，而不是具体的什么地方有雨，故B 不正确，
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
说法是错误的，治愈率为10%是说明来的所有病人中有10%的被治愈，故C 不正确，掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5，
概率是一个固定的值，不随第几次试验有关，故D 正确．
例4.下列说法正确的是（）
A ．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B ．频率是客观存在的，与试验次数无关
C ．概率是随机的，在试验前不能确定
D ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D
【解析】∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这
个事件发生的概率，∴D选项说法正确．
例5.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：
满意情况不满意比较满意满意非常满意
人数200n21001000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（）
A．7
15B．
2
15C．
11
15D．
13
15
【答案】C
【解析】由题意，n=4500﹣200﹣2100﹣1000=1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200+2100=3300，
由古典概型公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为330011
= 450015.
练习1.下列说法正确的是（）
A．任何事件的概率总是在（0，1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解析】在A中，任何事件的概率总是在[0，1]之间，故A错误；
在B中，频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；在C中，由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C 正确；
在D中，概率是客观的，在试验前能确定，故D错误．
练习2.下列说法正确的是（）
A．某事件发生的概率为P（A）=1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的【答案】B
【解析】∵事件发生的概率0≤P（A）≤1，∴A 项错；
必然事件是一定发生的事件，不可能的事件是一定不发生的事件，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，∴B 项正确．
小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生．大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴C 项错；
某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，∴D 项错.
练习3.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次．（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；（2）请你估计袋中红球接近_______个．【答案】（1）
3
4
；（2）15【解析】（1）∵20×400=8000，∴摸到红球的概率为： ttt ttt
=0.75，因为试验次数很大，大
量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是3
4
；（2）设袋中红球有x 个，根据题意得：
th =0.75，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解．∴估计袋中红球接近15个．
就统计定义而言，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，而随机事件的概率满足（0,1）
在用试验法计算随机事件概率时，当试验次数足够多时，频率接近于理论概率。

事件的关系及概率的性质一、互斥事件与对立事件
1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件).
2.对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.二、概率的基本性质
1、(1)概率的取值范围为[0,1].
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)互斥事件的概率加法公式
①假定A 、B 是互斥事件，则P (A ∪B )＝P（A）+P（B）.
②一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A 1∪A 2∪…∪A n ”发生(是指事件A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).
(4)对立事件的概率公式
事件A 的对立事件记作A .由于A 与A 是互斥事件，所以P (Ω)＝P (A ∪A )＝P (A )＋
P (A )，又由Ω是必然事件，得到P (Ω)＝1.所以P (A )＋P (A )＝1，即P (A )＝1-P (A ).
三、注意：
对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是对多个事件来说的。

两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生.
例6.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从1到10)中任意抽取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”．
【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．
【解析】(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于还可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为10，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
例7.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．
【答案】（1）0.69；（2）0.93
【解析】分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．【答案】（1）
16；（2）2
3
【解析】(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－12－13＝1
6
.
（2）“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (甲不输)＝1－13＝2
3
，故甲不输的
概率为2
3
.
练习1.假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率．
【答案】0.225
【解析】因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．令A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
令D 表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，又因为A，B，C 是两两互斥事件，故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
练习2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C ＝“抽到三等品”．已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(
)
A．0.20B．0.39
C．0.35
D．0.90
【答案】C
【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P (A )＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
(1)只有当A、B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A、B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求解．
古典概型
一、古典概型
1、定义：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。

凡是具有这两个特点的概率模型称为古典概型。

2、特征：①有限性；②等可能性
3、古典概型的概率公式
()m
==
n A
P A事件包含的基本事件数
试验的基本事件总数
二、概率的一般加法公式
1、事件的交（或积）：由事件A和B同时发生构成的事件D，称为事件A和事件B的交（或积），记作D=A∩B（或D=AB）
2、概率的一般加法公式：如果A、B不是互斥事件，则
P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）
例9.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）
A． t B． h C．3 t D．2h
【答案】D
【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件
有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= t2h=2h．
例10.2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）
第一组（0，35]32
第二组（35，75]64
第三组（75，115]16
第四组115以上8
（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．
【答案】（1）见解析；（2）8 15
【解析】（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，
抽样比k=30 120=
1
4
第一组抽取32× =8天；
第二组抽取64× =16天；
第三组抽取16× =4天；
第四组抽取8× =2天
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．
所以6天任取2天的情况有：
AB，AC，AD，A1，A2，
BC，BD，B1，B2，CD，
C1，C2，D1，D2，12，共15种
记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：
A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种
所以，所求事件A的概率P= h
练习1.在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）
A．7
8B．
3
4C．
1
2D．
1
4
【答案】B
【解析】由题意知本题是一个几何概型，
∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，
∴△≥0
∴a2+b2≥π
试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}
∴S=（2π）2=4π2，
而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，
∴s=4π2﹣π2=3π2，
由几何概型公式得到P=3 ，
练习2.为加强对旅游景区的规范化管理，确保旅游业健康持续发展，某市旅游局2016年国庆节期间，在某旅游景点开展了景区服务质量评分问卷调查，调查情况统计如表：
分数分组游客人数
该旅游局规定，将游客的评分分为三个等级，评分在[0，60）的视为差评，在[60，85）的视为中评，在[85，100）的视为好评，现从上述600名游客中，依据游客评价的等级进行分层抽样，选取了6名游客，以备座谈采访之用．若从上述6名游客中，随机选取一名游客进行采访，求该游客的评分不低于60分的概率；
【答案】5 6
【解析】由题意得：
评分在[0，60）的概率p= ，
在[60，85）的概率p= 3，
在[85，100）的概率是p= 2，
故6名中该游客的评分不低于60分的概率是1﹣ =h ；
古典概型的求解步骤：1、算出所有基本事件的个数n；2、求出事件A所包含的基本事件数m；3、代入古典概型概率计算公式即可。

在进行前两步时，注意列举、列表、树状图综合应用。

几何概型
一、几何概型
1、定义：如果每个时间发生的概率只与构成改时间区域的长度（面积或体积）成比例，则
称这样的概率模型为几何概型。

2、特点：①基本事件无限多；②每个基本事件可能性相等。

3、几何概型概率计算公式：
()=
P A 构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例11.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色
部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）
A．
1
4
B．
8
πC．
12
D．
4
π【答案】B
【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=
2
，则对应概率P= 2
=
.
练习1.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角=6
π
α，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（
）
A． ⴠ32B．32C． ⴠ3 D．3
【答案】A
【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，
而阴影区域的边长为3﹣1，面积为4﹣23
故飞镖落在阴影区域的概率为 ⴠ23 =1﹣32．
几何概型的计算步骤：判断是否为几何概型确定并计算基本事件空间计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量代入公式计算
1.随机事件的概率
2.互斥与对立事件的概念及概率的求法
3.古典概型与几何概型。